人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂检测题

专题强化练6　空间中的垂直关系

一、选择题

1.(2020河北石家庄第二中学高一下月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点为E,AC与BD交于点O,平面α过点E且与直线OC1垂直,若AB=1,则平面α截该正方体所得截面图形的面积为(　　)

A.

C.

2.(2020山东烟台第二中学高一下月考,)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有              (　　)

A.AG⊥平面EFH　　　B.AH⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF　　　D.HG⊥平面AEF

3.()在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AA1⊥平面A1B1C1,则下列选项中,能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为              (　　)

A.∠A1CA=45°

B.∠BCA=45°

C.四边形ABB1A1为正方形

D.四边形BCC1B1为正方形

二、填空题

4.(2020安徽合肥一六八中学高二上期中,)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　　　　个. 

5.(2021河南开封高一上期末,)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在正方体的表面上移动,且满足B1P⊥D1B,则满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是　　　　. 

三、解答题

6.(2021安徽合肥高二上期末联考,)如图,在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.

(1)求证:DM⊥平面BPC;

(2)求证:平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

7.(2020四川南充高三第一次适应性考试,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.

(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?证明你的结论;

(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　连接A1C1,OE,BE,ED,C1E.

易得O,OE2=,E,

∴O,∴OE⊥OC1.

易得BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥OC1.

又OE∩BD=O,∴OC1⊥平面BDE,

∴所得截面为△BDE.

易知BD⊥OE,∴S△BDE=,

∴平面α截该正方体所得截面图形的面积为.

故选A.

2.B　易知AH⊥HE,AH⊥HF,

又HE∩HF=H,

∴AH⊥平面EFH,∴B正确;

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;

易知AG⊥EF,EF⊥AH,又AG∩AH=A,

∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF,

∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线l垂直于平面AEF,则l一定在平面HAG内,∴C不正确;

∵HG与AG不垂直,∴HG⊥平面AEF不正确,∴D不正确.

故选B.

3.A　如图,连接AC1.

易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,又AB⊥AC,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面ACC1A1.

∵A1C⊂平面ACC1A1,∴AB⊥A1C,

当异面直线BC1与A1C相互垂直时,由AB∩BC1=B,可得A1C⊥平面ABC1,

∵AC1⊂平面ABC1,∴A1C⊥AC1,∴四边形ACC1A1为正方形,∴∠A1CA=45°,

反之亦然,即∠A1CA=45°时,可得BC1⊥A1C成立.

故选A.

二、填空题

4.答案　1或无数

解析　设平面α外一点为A,平面α内一点为O.

若OA⊥α,则过OA的任一平面都与平面α垂直,所以过OA存在无数个平面与平面α垂直;

若OA不垂直于α,则过点A有唯一的直线l与平面α垂直,OA与l确定唯一的平面与α垂直,所以过OA存在唯一的平面与平面α垂直.

5.答案　2

解析　连接AC,B1C,AB1,BD,BC1(图略).

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知AC⊥DD1,AC⊥BD,B1C⊥BC1,B1C⊥C1D1.

∵BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,又BD1⊂平面BDD1,∴AC⊥BD1.

同理B1C⊥BD1,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.

∴满足条件的点P构成的图形为△AB1C.

由正方体的棱长为2,可知△AB1C是边长为2的等边三角形.

∴点P构成的平面图形的面积×(2)2=2.

三、解答题

6.解析　(1)证明:由题可知DM是△APB的中位线,∴DM∥AP,又∵AP⊥PC,∴DM⊥PC,

∵△PMB为正三角形,D为PB的中点,

∴DM⊥PB,

又∵PB⊂平面BPC,PC⊂平面BPC,PB∩PC=P,∴DM⊥平面BPC.

(2)证明:∵DM⊥平面BPC,DM∥AP,

∴AP⊥平面BPC,∵BC⊂平面BPC,

∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A,

∴BC⊥平面APC,∵BC⊂平面ABC,

∴平面ABC⊥平面APC.

(3)∵AB=20,∴PB=BM=AB=10,

∴DM=5,∴AP=2DM=10,

∵BC=4,∴AC=,

∴PC=.

∵PC2+BC2=PB2,∴PC⊥BC.

∴S△PBC=,

∴S△BCD=.

∴三棱锥D-BCM的体积V=.

7.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.

证明如下:当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴BD⊥PA.

又AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,

∴BD⊥平面PAC.

故当a=2时,BD⊥平面PAC.

(2)设M是符合条件的棱BC上的点.连接AM.

∵PA⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD,

∴DM⊥PA,又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA⊂平面PAM,PM⊂平面PAM,

∴DM⊥平面PAM,∵AM⊂平面PAM,

∴DM⊥AM,

∴点M是以AD为直径的圆和BC的交点,

∴半径r=≥AB,即a≥4,

∴a的取值范围是[4,+∞).