【假期专项练习】新定义问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

2021-2022学年八上期末金牌新定义问题训练

（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分

一、解答题

1. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题：

在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”整式与真分式和的形式，例如：

将分式化为带分式；

当取哪些整数值时，分式的值也是整数？

当时，分式的最大值是          ．

2. 阅读理解若在一个两位正整数的个位数字与十位数字之间添上数字，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“至善数”，如的“至善数”为；若将一个两位正整数加后得到一个新数，我们称这个新数为的“明德数”，如的“明德数”为．
   的“至善数”是______，“明德数”是_______。
   求证：对任意一个两位正整数，其“至善数”与“明德数”之差能被整除；
   若一个两位正整数的“明德数”的各位数字之和是的“至善数”各位数字之和的一半，求的值．

3. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，，，这三个数都是“和谐数”．
   当时，          ；
   设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数吗？为什么？

4. 阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
，

．

填空：______________，_____________．

计算：；；

试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式其中为实数．

5. 定义：若数可以表示成为自然数的形式，则称为“塞班”数．

例如：，，所以，，是“塞班”数．

请写出两个以内的“塞班”数．

像，这样的“塞班”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“塞班”数一定被除余．

已知两个“塞班”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是，求这两个“塞班”数．

6. 【概念理解】我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“完美三角形”．

【简单应用】

如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点点不与，重合．
              ，              ，              填“是”或“不是”“完美三角形”．

若，试说明：是“完美三角形”．

【应用拓展】

如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使，B.若是“完美三角形”，求的度数．
 

7. 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图，在四边形中，画出所在直线，边、分别在直线的两旁，则四边形就是凹四边形．
    性质初探

在图所示的凹四边形中，求证：深入研究

如图，在凹四边形中，与所在直线垂直，与所在直线垂直，、的角平分线相交于点．
求证：；

随着的变化，的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索与的数量关系；如果没有变化，请求出的度数．

8. 我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”
   概念理解：
   
   
    

如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点点不与，重合

的度数为____，____填“是”或“不是”“和谐三角形”；
若，求证：是“和谐三角形”．
应用拓展：
如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“和谐三角形”，求的度数．

9. 根据全等形的定义，我们把四个角分别相等且四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形．
    

某同学在探究全等四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确直接在横线上填写“真”或“假”．

四条边分别相等的两个凸四边形全等；          命题

四角分别相等的两个凸四边形全等；          命题

两个面积相等的正方形全等；          命题

三角分别相等，且其中两角的夹边相等的两个凸四边形全等          命题

如上图，在四边形和四边形中，，，求证：四边形与四边形全等．

10. 阅读材料：
    如图，在中，，，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于，求证：．
    根据全等三角形的定义：能够完全重合的三角形是全等三角形，小明就思考出两种方法，方法一：按照的样子，构造复制与其全等的；方法二：按照的样子，构造复制与其全等的，从而将问题解决．
    请你选择小明的一种方法，将阅读材料中的问题解决；
    参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
    如图，在平面直角坐标系中，，，，，过作于点，点在线段上，且，点为线段上任意一点，延长至，使，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

11. 定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
     

如图，中，，，求证：是倍角三角形

如图，的外角平分线与的延长线相交于点，延长到点，使得，连接，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

12. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．与为偏等积三角形，如图，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度．

13. 【定义】

数学课上，陈老师对我们说，如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好线”，如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好好线”．

【理解】
 

如图，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．

如图，已知是一个顶角为的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．

【应用】

在中，已知一个内角为，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值：                                                                

在中，，和分别是的“好好线”，点在边上，点在边上，且，，请你根据题意画出示意图，并求的度数．

14. 我们数学八年级上册书本第页作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．
    小明在做此题时发现有多种剪法，图为其中一种方法示意图．
    定义：如果我们把条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的等分线图．
    显然，如图所示的剪法是这个三角形的等分线图．
    如图，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的等分线的示意图．
    请你探究：如图，边长为的正三角形是否具有等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的等分线图若两种方法分得的三角形分别成对全等三角形，则视为一种．

15. 定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇特线，称这个三角形为奇特三角形．

如图，在中，，，线段是奇特的一条奇特线，求的度数

如图，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连结求证：是的一条奇特线

如图，若是奇特三角形，，为钝角，求出所有可能的度数．

16. 定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

如图，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则________．

如图，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形．

如图，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，．

求证：≌．

若，，求的长．