第六章 平面向量及其应用复习提升练习-2022版高中数学必修第二册人教A版

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略向量的方向致错

1.()已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ的值为 (　　)　 　　　　　 　　　　　

A.1　　　B.0　　　C.-1　　　D.±1

2.()已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量共线的单位向量为　　　　. 

易错点2　对向量夹角的概念理解不清致错

3.()在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= (　　)

A.-　　　D.3

4.()设a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-2)∪

C.

5.()设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

易错点3　忽略三角形边角关系的隐含条件致错

6.()设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,则a的取值范围是　　　　. 

7.()在△ABC中,三边a,b,c互不相等,且a为最长边,若a2<b2+c2,则A的取值范围是　　　　. 

8.()某观测站C在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路上B处有一人正沿公路驾车驶向A城,BC相距31 km,行驶20 km后到达D处,此时CD间的距离为21 km,问:这人还要行驶多少千米才能到达A城?

易错点4　忽略三角形解的个数致错

9.()在△ABC中,B=30°,AB=4,AC=4,求△ABC的面积.

10.()在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解这个三角形.

思想方法练

一、分类讨论思想在向量运算中的应用

1.()在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则k的值为　　　　. 

2.()已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||,则点P的坐标为　　　　. 

二、数形结合思想在向量运算中的应用

3.()已知单位向量a,b的夹角为120°,则当x取何值时,|a-xb|的值最小?并求此时b与a-xb的夹角.

4.()如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为CD边上的动点,求的最小值.

三、函数与方程思想在解三角形中的应用

5.()已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.

(1)求A;

(2)若a+b=2c,求sin C.

6.()已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin=bsin A.

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

四、数学建模思想在解三角形中的应用

7.()如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路右侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m. 

答案全解全析

易混易错练

1.C　∵向量a+λb与b+λa的方向相反,

∴(a+λb)∥(b+λa).由向量共线定理可知,存在一个实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b,∵a与b不共线,∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ=±1.当λ=1时,向量a+b与b+a是相等向量,其方向相同,不符合题意,故舍去.∴λ=-1.

易错警示

在解决向量共线问题时,注意向量的方向,必要时进行检验或分类讨论.

2.答案　

解析　∵A(1,3),B(4,-1),

∴=(3,-4),||=5,

∴与,即.

3.A　如图所示,由题意可得a、b、c这三个向量两两夹角都是,且模都等于1,

故有a·b=b·c=c·a=1×1×cos,∴a·b+b·c+c·a=-,故选A.

易错警示

在求向量夹角时,一定要先将向量平移到同一起点再进行计算,本题易误认为a、b、c这三个向量两两夹角都是,从而导致解题错误.

4.A　∵a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,

∴a·b=1-2λ>0,即λ<,

又当λ=-2时,a与b的夹角为0°,

∴实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪.故选A.

易错警示

本题易忽略a与b同向的情况,即a与b的夹角为0°.解此类题要注意:当两向量的夹角为锐角时,要排除它们同向的情况;当两向量的夹角为钝角时,要排除它们反向的情况.

5.解析　设向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为θ,由θ为钝角,得

cos θ=<0,

∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,

化简得2t2+15t+7<0,解得-7<t<-.

当θ=π时,(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.

设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,

则

∴所求实数t的取值范围是.

6.答案　(2,8)

解析　由2a+1,a,2a-1为三角形的三边长,可得2a-1>0,即a>,∴最大边长为2a+1,∴2a-1+a>2a+1,解得a>2.

∵三角形为钝角三角形,

∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2,解得0<a<8.

综上,a的取值范围是(2,8).

易错警示

本题易忽略①三角形的三边长均为正数;②三角形中两边之和大于第三边.

7.答案　

解析　∵a2<b2+c2,

∴b2+c2-a2>0,则cos A=>0,

∴A<.

又∵a为△ABC的最长边,∴A>.

故A的取值范围是.

易错警示

本题易忽略a为最长边,从而得出错解0<A<.

8.解析　如图,令∠ACD=α,∠CDB=β,

在△CBD中,由余弦定理的推论得

cos β=,∴sin β=.

∵β=α+60°,∴sin α=sin(β-60°)

=sin βcos 60°-sin 60°cos β

=,

在△ACD中,由正弦定理得,∴AD==15(km).

∴这个人还要行驶15 km才能到达A城.

易错警示

通过解三角形解决实际问题时,要充分理解题意,挖掘题中各种信息,转化为三角形的边角关系进行解题.

9.解析　由正弦定理,得sin C=.

又∵AB>AC,

∴C=60°或C=120°.

当C=60°时,A=90°,

∴S△ABC=;

当C=120°时,A=30°,

∴S△ABC=.

∴△ABC的面积为8.

易错警示

在△ABC中,满足AB·sin B<AC<AB,因此角C应该有两个解.

10.解析　由正弦定理,得,

∴sin C=,

∵c>a,∴C=60°或C=120°.

当C=60°时,B=75°,

则b=+1;

当C=120°时,B=15°,则b=-1.

∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.

思想方法练

1.答案　-

解析　由题可得=(1-2,k-3)=(-1,k-3).

由于不确定哪个内角为直角,故分情况讨论.

当A=90°时,=2×1+3×k=0,∴k=-.

当B=90°时,=2×(-1)+3×(k-3)=0,∴k=.

当C=90°时,=-1+k(k-3)=0,∴k=.

经检验,均符合条件.

综上,k的值为-.

思想方法

在向量这一章中,分类讨论主要体现在:向量方向的不确定,图形位置的不确定,参数符号的不确定以及条件或结论的不唯一性等.

2.答案　或(-5,8)

解析　∵点P在直线AB上,且||,∴.

点P的位置不确定,故需分类讨论.

当时,设P的坐标为(m,n),

则=(m-3,n+4),=(-1-m,2-n),

∴

∴P.

当时,同理可得出P的坐标为(-5,8).

综上所述,满足条件的点P的坐标为或(-5,8).

3.解析　解法一:因为单位向量a,b的夹角为120°,所以|a-xb|2=a2-2xa·b+x2b2=x2+x+1=,

所以当x=-时,|a-xb|取最小值,最小值为,因为=0,所以b与a-xb的夹角为.

解法二:画出图形进行求解.

如图所示,设=a,=b,易知|a-xb|就是点A与直线OB上某点间的距离,所以|a-xb|的最小值等于点A到直线OB的距离,即AH的长度.在△AOH中易得OH=,AH=时,|a-xb|取最小值,最小值为,因为=0,所以b与a-xb的夹角为.

思想方法

从平面向量的定义可以看出,它兼具数与形的双重特性,可以用向量方法解决空间及平面的夹角、距离等几何问题,同时也可利用向量的坐标构建方程或者函数关系解决问题.

4.解析　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=120°,所以A(0,0),B(1,0),D,设C(1,m),E(x,y),则,,因为AD⊥CD,所以=0,即=0,解得m=,即C(1,),因为E在CD上,所以,由C、E、D三点共线,得,即x=y-2,因为=(x,y),=(x-1,y),所以=(x,y)·(x-1,y) =x2-x+y2=y+6,令f(y)=4y2-5y+6,y∈,易知函数f(y)=4y2-5 上单调递减,在上单调递增,所以f(y)min=4×.

向量的坐标化使几何意义下的数量积转换成了代数意义下的函数问题,利用二次函数的单调性求最值.

5.解析　(1)由(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C得sin2B+sin2C-2sin Bsin C=sin2A-sin Bsin C,

结合正弦定理,并整理得b2+c2-a2=bc,

∴cos A=,

∵0<A<π,∴A=.

通过边、角的转化构建关于未知数的等式(方程),进而求解问题.

(2)由sin A+sin B=2sin C,∵A=,∴B+C=,

∴=2sin C,

∴sin,又C∈,

∴C-,∴C=,

∴sin C=sin

=sin

=.

6.解析　(1)asin=bsin A,即asin=bsin A,

由正弦定理可得sin Acossin A,

∵sin A>0,

∴cos,

若cos=0,则B=(2k+1)π,k∈Z,此时B不是三角形的内角,

∴cos≠0.

∴sin,由0<B<π,可得B=.

(2)由余弦定理可得b=,

由三角形ABC为锐角三角形,可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2,

∴<a<2,∴△ABC的面积S=.

以边长为自变量,构建面积与边长之间的函数关系,从而达到求解的目的.

思想方法

解三角形问题本质就是求三角形的边或角,常见形式就是利用正弦定理和余弦定理构建等式(方程),恰当进行边与角的互化,从而求出边、角与面积.有些解三角形问题涉及最值,通常需要找到一个参数或变量,利用这个参数或变量表示其他的边与角,然后建立函数关系,利用函数性质进行求解.

7.答案　100

解析　依题意,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理可得,所以BC=300(m),在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300 m,所以tan 30°=,所以CD=100(m).

把实际问题抽象为解三角形问题.

思想方法

数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象做出抽象或模拟而形成的一种数学结构,建模思想在解三角形中的应用就是将实际生活中的高度、角度、距离等测量问题抽象成解三角形问题.