高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念测试题

7.1.2　复数的几何意义

基础过关练

题组一　复数与复平面内点的对应关系

1.已知复数z=-i,则z在复平面内对应的点Z的坐标为 (　　)

A.(0,-1)　　　B.(-1,0)　　　C.(0,0)　　　D.(-1,-1)

2.(2021湖南娄底一中高一下期中)复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应的点关于              (　　)

A.实轴对称    B.第一、三象限的角平分线对称

C.虚轴对称    D.第二、四象限的角平分线对称

3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是              (　　)

A.4+8i　　　B.8+2i　　　C.2+4i　　　D.4+i

4.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在              (　　)

A.第一象限　　　B.第二象限     C.第三象限　　　D.第四象限

5.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:

(1)位于第四象限?

(2)在实轴负半轴上?

(3)位于上半平面(含实轴)?

题组二　复数与平面向量的对应关系

6.在复平面内,向量=(2,-3)对应的复数为 (　　)

A.2-3i　　　B.2+3i　　　C.3+2i　　　D.-3-2i

7.(2021重庆外国语学校高一下期中)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,已知A、B、C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则向量对应的复数是              (　　)

A.1-2i　　　B.2+2i　　　C.2-2i　　　D.3+6i

8.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为坐标原点.

(1)求向量对应的复数;

(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.

题组三　复数的模及其应用

9.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 (　　)

A.1或3　　　B.1　　　C.3　　　D.2

10.在复平面内,若点P对应的复数z满足|z|≤1,则点P的集合构成的图形是              (　　)

A.直线　　　B.线段    C.圆　　　D.单位圆以及圆内部

11.若复数z=+(a2-a-6)i(a∈R)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为　　　　. 

12.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　　　　　　　　. 

13.(2020北京房山高一下期末)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a的取值范围是　　　　. 

14.已知复数1,-1+2i,-3i,6-7i,在复平面内画出这些复数对应的向量,并求出各复数的模.

15.已知复数z1=-i,z2=-i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形?

题组四　共轭复数

16.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是              (　　)

A.3,3　　　B.5,1　　　C.-1,-1　　　D.-1,1

17.设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z= (　　)

A.+i　　　C.1　　　D.-1-2i

18.若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2 (　　)

A.关于实轴对称　　　B.关于虚轴对称

C.关于原点对称　　　D.关于直线y=x对称

19.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　,=　　　　.  

答案全解全析
基础过关练

1.A　复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故z在复平面内对应的点Z的坐标为(0,-1).

2.A　设z1=1+i在复平面内对应的点分别为P,Q,则P(1,),Q(1,-),则P,Q关于实轴对称.故选A.

3.C　复数6+5i对应的点A的坐标为(6,5),-2+3i对应的点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C的坐标为(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.

4.A　∵x+y+(x-y)i=3-i,

∴

∴复数x+yi=1+2i在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.

5.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足

∴∴-7<m<3.

(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足

∴∴m=4.

(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.

6.A　由复数的几何意义,知=(2,-3)对应的复数为2-3i.故选A.

7.D　由题意得点A,B,C的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),

设点D的坐标为(x,y),由,得(x-1,y-3)=(2,2),∴x-1=2,y-3=2,

解得x=3,y=5,故D(3,5),∴=(3,6),则对应的复数为3+6i.故选D.

8.解析　(1)由已知得,,所对应的复数分别为1+4i,-3i,2,

则=(1,4),=(0,-3),=(2,0),

所以=(1,1),=(1,-4),

故对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i.

(2)解法一:由已知得,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点坐标为,由平行四边形的性质知,BD的中点坐标也是.

设D(x0,y0),则所以D(3,7),故D对应的复数为3+7i.

解法二:由已知得,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D(x0,y0),则=(-1,-7),=(2-x0,-y0).

因为四边形ABCD为平行四边形,所以,所以

故D对应的复数为3+7i.

解法三:由(1)知=(1,4),=(0,-3),=(2,0),所以=(1,7),=(2,3),

由平行四边形的性质得=(3,10),所以=(3,7),故D对应的复数为3+7i.

9.A　依题意可得=2,解得m=1或m=3,故选A.

10. D　由|z|≤1,得||≤1(O为原点),所以满足条件的点P的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆及其内部.

11.答案　

解析　∵复数z为实数,

∴a2-a-6=0且a+2≠0,

∴a=3,

∴z1=2-5i,∴|z1|=.

12.答案　|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|

解析　由3-4i=x+yi(x,y∈R),

得x=3,y=-4.

∴|x-yi|=|3+4i|==5,

|y+2i|=|-4+2i|=.

易得|1-5i|=,

∵2,∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.

13.答案　(-,)

解析　解法一:∵z=3+ai(a∈R),∴|z|=,由已知得32+a2<42,∴a2<7,

∴a∈(-,).

解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.

由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,

∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知-.

14.解析　设复数1,-1+2i,-3i,6-7i在复平面内对应的点分别为A,B,C,D,对应的向量分别为,,,,如图所示.

|1|=1,

|-1+2i|=,

|-3i|==3,

|6-7i|=.

15.解析　|z1|=|=2,

|z2|==1.

∵|z2|≤|z|≤|z1|,∴1≤|z|≤2,对应的点的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.

16.D　∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,

∴

17.A　因为+i,所以复数z=-i.故选A.

18.A　设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则Z1(a,b),Z2(c,d).由z1=得,a+bi=c-di,则a=c,b=-d,所以z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2关于实轴对称.

方法总结

共轭复数的特点:

1.在复平面内,共轭复数对应的两个点关于实轴对称;

2.共轭复数的模相等,即|z|=||.

19.答案　12;-12i

解析　由题意得所以m=3,因此z=12i,故|z|=12,=-12i.