高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算同步训练题

7.2　复数的四则运算

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

基础过关练

题组一　复数的加、减运算

1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2= (　　)

A.8i　　　B.6      C.6+8i　　　D.6-8i

2.(2021吉林江城中学高一下月考)复数(-3+i)-(5-i)+(2+5i)的模为 (　　)

A.-6+7i　　　B.6+7i        C.　　　D.85

3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= (　　)

A.-3i　　　B.3i           C.±3i　　　D.4i

4.(2020河南名校联盟高二上期末联考)已知为复数z的共轭复数,z+1=i+2,则z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限　　　B.第二象限     C.第三象限　　　D.第四象限

5.若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　. 

6.已知i为虚数单位,计算:

(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);   (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 

题组二　复数加、减运算的几何意义

7.已知=(5,-1),=(3,2),对应的复数为z,则=(　　)

A.5-i　　　B.3+2i　　　C.-2+3i　　　D.-2-3i

8.已知z为复数,若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是　　　　. 

9.(2021云南昆明外国语学校高一下月考)已知|z1|=1,|z2|=,|z1-z2|=2,则|z1+z2|=　　　　. 

10.(2021广东佛山高一下阶段性检测)已知|z|=1,则|z-1+i|的最大值是　　　　. 

11.(2021江苏南通启东中学高二下月考)在复平面内,正方形的三个顶点分别对应复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,求另一个顶点对应的复数.

12.(2021安徽屯溪一中、科大附中高一下期中联考)已知O为坐标原点,向量分别对应复数z1、z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.

(1)求实数a的值;

(2)求以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的面积.

答案全解全析
基础过关练

1.B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.

2.C　(-3+i)-(5-i)+(2+5i)=-6+7i,复数-6+7i的模为,故选C.

3.B　设z=a+bi(a,b∈R),

∵z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,

∴a=0,b+3≠0,又|z|=3,∴|b|=3,

∴b=3,∴z=3i.

4.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z+1=i+2可得a+1+bi=2a+(1-2b)i,

所以.

所以z在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选A.

5. 答案　5;-1;2

解析　z1+z2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z2-z1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以

6.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)

=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]

=5i-(4+i)=-4+4i.

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.

方法技巧

把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”就可以了.

7.D　因为=(5,-1),=(3,2),所以=(-2,3),所以z=-2+3i,所以=-2-3i.

8.答案　1

解析　由|z-2|=|z+2|,即|z-2|=|z-(-2)|,知z对应的点在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,即虚轴上.

|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离,

∴|z-1|min=1.

知识拓展

设复数z,z0在复平面内对应的点分别为A,B,则|z-z0|的几何意义是点A与点B之间的距离.

9.答案　2

解析　易知z1,z2对应向量的模为矩形的两邻边长,

所以|z1+z2|=|z1-z2|=2.

10.答案　3

解析　∵|z|=1,∴z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,

又∵|z-1+i|=|z-(1-i)|,

∴|z-(1-i)|表示单位圆上一点与点(1,-)之间的距离,

∴|z-1++1=2+1=3.

11.解析　解法一:设复数z1,z2,z3对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D的坐标为(x,y),O为坐标原点,易知=(1,2),=(-2,1),=(-1,-2),=(x,y),则=(x-1,y-2),=(1,-3).

易知,

∴

故点D对应的复数为2-i.

解法二:设复数z1,z2,z3对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D的坐标为(x,y),O为坐标原点,则A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2).

易知AC、BD为正方形的对角线.

∵点A与点C关于原点对称,

∴原点O为正方形的中心,

∴点O也是线段BD的中点,

∴x-2=0,y+1=0,

∴x=2,y=-1.故点D对应的复数为2-i.

12.解析　(1)由题意可得-(10-a2)i,

因为z2=+(2a-5)i,

所以-(10-a2)i++(2a-5)i

=+(a2+2a-15)i.

又因为+z2是实数,

所以解得a=3.

(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,

则Z1,Z2(-1,1),

因此,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积为|Z1Z2|×1=.