2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题

专题强化练1　平面向量数量积及其应用

一、选择题

1.(2020浙江杭州学军中学高一上期末,)对任意向量a,b,下列关系式不恒成立的是              (　　)

A.|a·b|≤|a||b|

B.(a+b)2=|a+b|2

C.|a-b|≤||a|-|b||

D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2

2.(2020北京房山高三上期末,)设a,b均为单位向量,则“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的              (　　)

A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件

3.(2021安徽卓越县中联盟高一下期中,)已知a,b是单位向量,且|a+b|=|a-b|,向量e是与a-b同向的单位向量,则向量a在向量a-b上的投影向量为              (　　)

A.e　　　B.e　　　D.

4.(2021安徽亳州二中高一下期中,)已知向量a=(sin θ,-2),b=(1,cos θ),且a⊥b,则sin 2θ+2cos2θ的值为              (　　)

A.1　　　B.　　　D.3

5.(2021江苏镇江一中高一下期中,)已知等边三角形ABC的边长为6,点P满足=0,则||=(　　)

A.

6.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)在△ABC所在的平面内,使||2的值最小的点P是△ABC的              (　　)

A.外心　　　B.内心　　　

C.垂心　　　D.重心

二、填空题

7.()如图,在四边形ABCD中,AB=CD=1,B≠C,点M和点N分别是边AD和BC的中点,延长BA和CD,分别交NM的延长线于点P,Q,则()·()的值为　　　　. 

三、解答题

8.(2021黑龙江龙西北地区八校高一下联考,)已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,单位向量e与向量b方向相同且向量a在向量b上的投影向量为-e.

(1)求a与b的夹角θ;

(2)求|a-2b|;

(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?

9.(2021江苏无锡太湖高级中学高一下期中,)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.

(1)求的值;

(2)若N为线段AC(含端点)上任意一点,求的最小值.

答案全解全析

一、选择题

1.C　对于A,设a,b的夹角为θ,则|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|,故A中关系式恒成立;

对于B,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=|a+b||a+b|cos 0=|a+b|2,故B中关系式恒成立;

对于C,|a-b|≥||a|-|b||,只有取等号时,|a-b|≤||a|-|b||才成立;

对于D,(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,故D中关系式恒成立.

故选C.

2.C　由题可得,|a|=|b|=1.若a,b的夹角为,则|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×1×+1=3,即|a+b|=;

若|a+b|=,则(a+b)2=a2+2a·b+b2=3,即a·b=,设a,b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ=,所以θ=.

所以“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的充要条件.故选C.

3.A　∵|a+b|=|a-b|,∴a2+2a·b+b2=2(a2-2a·b+b2),∴6a·b=a2+b2,

∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1,a·b=,

∴a·(a-b)=a2-a·b=1-,

|a-b|=,

∴向量a在向量a-b上的投影向量为e=×e=e.故选A.

4.C　∵向量a=(sin θ,-2),b=(1,cos θ),且a⊥b,

∴a·b=sin θ-2cos θ=0,

∴tan θ==2,

∴sin 2θ+2cos2θ=

=.

故选C.

5.C　因为=0,所以=0,即,所以=27,故|.故选C.

6.D　设=a,=b,=m,则=m-a,=m-b,所以||2=(m-a)2+(m-b)2+m2=3m2-2(a+b)·m+a2+b2=3(a+b)2+a2+b2,

所以当m=(a+b)时,||2的值最小,此时=(a-m)+(b-m)+(-m)=a+b-3m=a+b-(a+b)=0,故点P为△ABC的重心,故选D.

二、填空题

7.答案　0

解析　解法一:由题意知P,Q,M,N四点共线,可设,

由题图可得

因为M,N分别为AD,BC的中点,所以①+②可得2=0++0,即(),故()·()=()·()=(||2)=0.

解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.

设B=90°,C=60°,BC=2,以点B为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D作DD'⊥BC于D',则B(0,0),C(2,0),A(0,1),D,故M,N(1,0),所以,=(0,-1),,,-1+,故·()==0.

由于P,Q,M,N四点共线,所以可设,故原式=λ×0=0.

三、解答题

8.解析　(1)∵|a|=2|b|=2,∴|a|=2,|b|=1.

又向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θe=-e,

∴|a|cos θ=-1,∴cos θ=-,

∵θ∈[0,π],∴θ=.

(2)由(1)得a·b=|a||b|cos θ=-1,

∴|a-2b|=.

(3)∵λa+b与a-3b互相垂直,

∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=.

9.解析　解法一:(1)在直角梯形ABCD中,因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,

=()·

=

=

=()·()

=()

=×(4-2×4×1)=-.

(2)设(0<λ<1),

则·()=-λ,

解得λ=,即.

·()=

=|×cos 45°

=|×cos 45°

=||.

令||=t,则0≤t≤2,

,

所以当|时,.

解法二:(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),所以=(-4,2),

由相似三角形易得O.设M(m,0),0<m<4,则,

所以×(-4)+=0,解得m=.

所以,×(-4)+0×2=-.

(2)设N(a,a),0≤a≤2,

则=(a,a)·

=2a2-,

所以当a=时,.