高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

专题强化练2　余弦定理、正弦定理的综合应用

一、选择题

1.()若钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= (　　)

A.5　　　B.　　　C.2　　　D.1

2.(2021江苏无锡江阴高一下期中,)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个问题,分为九类,每类九个问题.《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积S的公式,这与海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”把这段文字写成公式即S=,则用上述公式求得△ABC的面积S为              (　　)

A.12　　　B.8

3.(2021河南天一大联考高二上期末,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=2,b2+c2-a2=bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E,则AE=              (　　)

A.　　　D.3

4.()在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,则的最大值为              (　　)

A.8　　　B.6　　　C.3　　　D.4

二、填空题

5.(2021江西八所重点中学高考模拟联考,)设地球表面某地正午太阳高度角为θ,ξ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,则有θ=90°-|φ-ξ|.根据地理知识,某地区的纬度值约为北纬27.95°,当太阳直射南回归线(此时的太阳直射纬度为-23.5°)时物体的影子最长,如果在当地某高度为h0的楼房北边盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡(如图所示),两楼的距离至少约为h0的　　　　倍.(tan 38.55°≈0.80) 

6.(2021浙江宁波咸祥中学高一下期中,)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　. 

7.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若||=3,=6,则△ABC面积的最大值为　　　　. 

8.(2020安徽合肥高三模拟,)在锐角△ABC中,D为BC的中点,BC=2,sin B+sin C=2sin∠BAC,则AD的取值范围是　　　　. 

三、解答题

9.(2021河南郑州高二上期末,)自新冠疫情发生以来,餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进,居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源,是人间的烟火,和“高大上”一样,是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R处有一个路灯,经测量点R到区域边界PA,PB的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M,N分别落在射线PA,射线PB上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计),以供购买冷饮的人休息.

(1)求点P到点R的距离;

(2)为优化经营面积,当PM为多少时,三角形PMN的面积最小?并求出最小面积.

答案全解全析

一、选择题

1.B　由题意得,,∴sin B=,∴B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=(负值舍去),此时△ABC为钝角三角形,符合题意;当B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=.

2.D　由题意及正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,

因为△ABC的周长为10+2,

所以a+b+c=10+2,

所以a=4,b=6,c=2.

所以S=6.

3.A　∵b2+c2-a2=bc,∴cos∠BAC=,∵∠BAC∈(0,π),

∴∠BAC=,又∵B=,∴C=,

∴,∴c==2.

∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=,∴∠AEB=π-,

∴,

∴AE=.

4.D　∵BC边上的高为a,

∴S△ABC=bcsin A,

∴a2=2bcsin A,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,∴2bcsin A=b2+c2-2bccos A,整理得,sin A+2cos A,即.

∵A∈(0,π),∴A+,

∴当A+,即A=时,

4sin有最大值,且最大值为4.

∴的最大值为4.

二、填空题

5.答案　1.25

解析　由题意知,ξ=-23.5°,φ=27.95°,

则θ=90°-|φ-ξ|=90°-|27.95°-(-23.5°)|=38.55°,

则楼房的影长为=1.25h0,

所以两楼的距离至少约为h0的1.25倍.

6.答案　

解析　因为a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=

(c-b)sin C,

所以(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,

根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,

化简得b2+c2-a2=bc,

故cos A=,

因为0°<A<180°,所以A=60°,

又b2+c2-bc=a2=4≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时,等号成立),故S△ABC=.

7.答案　

解析　∵||=3,∴||=3,即c=3.

∵=6,∴abcos C=6,∴cos C=.

由余弦定理得9=a2+b2-2abcos C=a2+b2-12≥2ab-12,∴ab≤(当且仅当a=b时取等号).

∴S△ABC=

=

=

=.

8.答案　

解析　设AB=c,AC=b,BC=a=2,

根据正弦定理及sin B+sin C=2sin∠BAC,

得b+c=2a=4,

∴c=4-b.

∵△ABC为锐角三角形,

∴

解得.

∴bc=b(4-b)=-b2+4b,

结合二次函数的性质,得<bc≤4.

∵(),

∴|

=

=,

∵<bc≤4,

∴,

即AD的取值范围为.

三、解答题

9.解析　(1)连接ST,RP,

在四边形RSPT中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,

在△RST中,由余弦定理知,ST2=RS2+RT2-2RS×RTcos∠SRT=42+62-2×4×6cos 60°=28,∴ST=2(负值舍去),

∴cos∠STR=

=,

∵∠PTS+∠STR=90°,

∴sin∠PTS=cos∠STR=,

在△PST中,由正弦定理知,,即,∴SP=,

在Rt△SPR中,PR2=RS2+SP2=42+,∴PR=(负值舍去),

∴点P到点R的距离为.

(2)由三角形面积公式知,PM·PN,

∵S△PMN=S△PRM+S△PRN=PN×6=2PM+3PN,

∴,

∴PM·PN≥128,当且仅当2PM=3PN,即PM=8,PN=时,等号成立,

此时S△PMN=,

故当PM为8时,三角形PMN的面积最小,最小面积为32.