用归类法解决向心力问题

在物理学习过程中，最重要的是如何用物理的思维方法和手段去分析和解决问题。建立理想化模型，学会对适用同一物理规律的不同表达形式进行归类，这是培养学生思维和提高解题能力的有效方法。下面笔者通过几道典型例题对应用归类法解决向心力问题探讨如下。

一、        对物体在水平面内做圆周向心力问题的探讨

例1：如图1-1示，小球质量为m，用长为L的轻绳系于O点，在水平光滑玻璃上做匀速圆周运动，当角速度ω0 = ________时，小球恰好不受玻璃支持力的作用。

分析与解：当小球不受玻璃的支持力时，小球受到重力mg，绳的拉力T作用，其合力为小球做圆周运动提供了向心力，其受力情况如图1-2所示，则：

（1）

其中（2）

把（2）代入（1）有

例2：一段铁路转弯处，内外轨高度差为 h = 10cm，弯道半经为 r = 625m，轨距l = 1435mm，求这段弯道的设计速度vo是多大？讨论当火车速度大于或小于vo时内外轨的侧压力（g取 10m/s2）。             

分析与解：火车受到重力和铁轨的支持力，其合力为火车转弯提供了向心力，其受力分析如图2所示，

则（1）

当θ很小时

则

当v > vo时，火车所受的重力和支持力的合力不能满足其转弯所需的向心力，则外轨对外轮边缘产生向内沿路面的弹力，在指向火车转弯内侧圆心方面的分力来补充所需的向心力。

当v < vo时，火车所受的重力和支持力的合力提供了比其做圆周运动所需的向心力大，则由内轨对内轮产生向背向圆心的弹力。

例3：如图3所示，一个内壁光滑的圆锥筒轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（   ）

1. 球A的线速度必定大于球B的线速度
2. 球A的角速度必定小于B的角速度
3. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期
4. 球A对筒壁压力必定大于球B对筒壁的压力

分析与解：对小球进行受力分析如图所示，

小球在A和B点的受力情况相同，既重力和支

持力的合力提供了向心力，则：

因F不变r改变，运用数学方法对上式进

行分析则A B正确。

例4：如图5-1所示，半径为R的半球形碗内，有一具有一定质量的物体A，A与碗壁间的摩擦不计，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A在离碗底高为h处贴着碗壁随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度。

分析与解：对小球进行受力分析如图4-2所示，重力和支持力的合力为小球做圆周运动提供了向心力，有

则）

学习物理最重要的是提高分析问题和解决问题的能力。把复杂问题简单化、建立理想化的模型是解决物理问题的主要方法之一。从上面五道例题可以发现，在不同的条件下，物体在水平面内做圆周运动，通过受力分析然后物体所处的环境、大小和形状忽略，把物体当作质点来看，那它们的受力情况就如图5所示，其中F向= mg.tanθ,具体解答在根据实际情况进行分析和解答，这里要关注的是让学生通过把问题归类处理，就象商业的批发行为，从而达到了提高学习效率的目的。

二、        物体在竖直面内做圆周运动向心力的分析

关于物体在竖直面内做圆周运动，一般物体只在最高处和最低处可看作是在瞬间是作匀速圆周运动，除这两个点以外，经对物体受力分析可知，物体不可能做匀圆周运动，因此在高中习惯上只分析其在最高点和最低点受力情况。首先考虑物体在杆的最低处的受力情况，如图7所示，当物体在最低处时受力只有一种情况，即受到重力和拉力，其向心力为这两个力的合力，其受力分析情况如图7所示。

，因此，不管是杆还是绳或者是汽车通过凹形底端时，物体的受力情况都时一样的，其方向一定向上且大于重力。

例5：. 一辆载重汽车在丘陵地带行驶，地形如图8所示，轮胎已经很旧，设拐弯路段的半径为R的圆弧，车在经过何处时应减速行驶？

分析与解：对汽车在各点的受力

情况进行受力分析可知，汽车在平直

的公路上的A时，路面对汽车的支持

力等于汽车的重力，而在B和D点，路面对汽车的支持力小于重力，而在C点汽车受力情况分析如图7所示，，根据牛顿第三定律，则汽车在C点轮胎受的压力最大，故应在C点减速。

例6： 如图9所示，工厂中的水平天车吊起质量2.7t的铸件，以2m/s的速度匀速行驶，钢绳长为3m，当天车突然刹车时，钢绳所受的拉力为多少？（g取10m/s2）

分析与解：当天车突然刹车时物体A还是以原来的线速度向前运动，则可以把物体A看成是以天车的悬点O为圆心，以钢绳的长度为半径做圆周运动，其受力分析如图7所示：

则有=3.60N

在分析物体在竖直面为作圆周运动最高点的情况时，笔者认为先从轻杆在竖直面内做圆周运动的情况进进行研究比较顺畅。我们可以先假设物体受到杆的拉力，则杆受力分析情况如图10所示，则，经过计算如果T的值为正说明原来假设的方向正确，如果T为负说明杆实际受力情况于原来假设方向相反。对于所用在竖直面内作圆周运动的物体，在最高点受力情况都可以用上述方法进行处理，然后在具体讨论如下：

当时   T = 0 物体处于临界状态（适用于绳、卫星、汽车过拱桥等情况）

当时   T ＞ 0 杆受到拉力（适用于绳）

当时   T ＜ 0 杆受到压力（适用于汽车过拱桥）

例7：质量为M的人抓长为l的轻绳，绳的另一端系着质量为m的小球，现让小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当球能过最高点时速率为v，则此时人对地面的压力是多少？

分析与解：设小球在最高点时受到绳的拉力为T，根据圆周运动规律有：

则，

对整体进行受力分析后，则人对地面的压力：

例8：长，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O点，上端连接着质量的小球A，A绕O点做圆周运动，如图10-1所示，在A点通过最高点时，求在下面两种情况下，杆的受力：

⑴ A的速率为1m/s;

⑵ A的速率为4m/s；

分析与解：对A点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图10-2所示，则有       

则分别带入数字则有

⑴FN =16N

⑵FN = -44N负号表示小球受力方向与原假设方向相反

例9：质量为M的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是V，当小球以3V速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？

分析与解：对A点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有

则

解得FN = 8mg