人教版 (新课标)必修26.向心力导学案

第8讲     向心力

考点l       向心力概念的理解

    向心力是一种由效果命名的非性质力，由其他力或其他力的合力、分力提供。

    1．向心力：做匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的等效的力的作用。

    做匀速圆周运动的物体的速度大小是恒定的，但速度方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动。做匀速圆周运动的物体并不处于平衡状态，物体做匀速圆周运动的条件是物体时刻受到与速度方向垂直的合外力作用，并且这个合外力总是沿着半径指向圆心。所以叫向心力。

    2．方向：向心力的方向不断变化，但总是沿着半径指向圆心，而物体运动的方向沿切线方向，所以向心力的方向总与物体运动的方向垂直。

    3．向心力的作用效果

    向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直。所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小

【考题1】关于向心力．以下说法中不正确的是(    )．

    A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力    B．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力    C．向心力是做匀速圆周运动的物体线速度变化的原因

    D. 只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动

    【解析】理解向心力的定义、作用效果，弄清向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可作出判断。

  【答案】B、C

  【变式1—1】关于向心力，下列说法中正确的是(    )．

  A．向心力是一种效果力

  B．向心力是一种具有某种性质的力

  C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小

  D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

  【变式1—2】如图9—1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动。则下列关于A的受力情况的说法中正确的是(      )．    A．受重力、支持力                   B．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力

    C．受重力、支持力、摩擦力和向心力   D．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力

考点2       向心力来源的分析

向心力可由其他一切力提供，也可以是由其他力的合力或分力提供。

    1．凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。它既可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。绝不能在分析受力时多加一个向心力．

    2．当物体做匀速圆周运动时，合外力提供向心力，它沿着半径的方向指向圆心，并且大小恒定；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力提供向心力，而合外力在切线方向上的分力用以改变速度的大小。

   几个特例：

 (1)“向心力”可能是重力(万有引力)。如图9—5(a)所示。人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供向心力。

    (2)“向心力”可能是弹力。如图9-5(b)所示．物体在光滑平面上，在绳的拉力作用下做匀速圆周运动，拉力(弹性力)提供向心力．

    (3)“向心力”可能是摩擦力。如图9—5(c)所示。物体随转盘做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力。

    (4)“向心力”可能是重力、弹力的合力沿半径方向的分力。如图9—5(d)所示。摆球做变速圆周运动，摆线的拉力与重力在摆线方向的分力共同提供向心力。

    分析匀速圆周运动向心力来源的步骤：

    (1)确定匀速圆周运动的圆周轨道所在平面；

    (2)找出轨道圆心的位置，接着对物体进行受力分析；

    (3)找出这些力指向圆心方向的合外力，这就是向心力．

【考题2】如图9—2所示，被一细绳系住的小球质量为m，小球在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的角速度为ω，则小球受几个力的作用?各是什么性质的力?向心力是由什么力提供的?

   【解析】小球受到的重力mg和细绳拉力T两个力的作用。一个是由于地球吸引而产生的重力，一个是由于细绳发生弹性形变而产生的弹力．

    由向心力公式知，向心力大小F向＝mω2r。 由于小球在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上始终没有运动，所以将细绳的拉力分别沿水平方向和竖直方向进行正交分解，则T的竖直分力必与小球的重力等大反向相互抵消，水平面内只有T的水平分力，它就是小球受到的向心力。所以说，向心力是由细绳拉力的水平分力提供的。或由拉力和重力的合力提供的。

    【变式2—1】狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速率行驶，图9-3为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力F，的示意图(O为圆心)，其中正确的是(      ).

【变式2—2】如图9-4所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一物体P，它随圆筒一起转动，若想使P相对于圆筒静止，则物体所受向心力为：

A. 重力          B. 弹力             C. 静摩擦力         D. 滑动摩擦力

考点3       向心力大小的计算

    向心力。在不同情景中应选用不同的表达式。

    把向心加速度的表达式代入牛顿第二运动定律，可得

    ．   

向心力公式，不仅是为了计算向心力的，它同时也反映了物体所受合外力、质量、线速度、轨道半径四个物理量在匀速圆周运动中的对应关系，要使物体做匀速圆周运动，这些物理量必须恰好满足这一关系。也就是说这个关系和匀速圆周运动是互为充要条件的。

    圆周运动中如果涉及弹簧的问题，弹簧的长度通常会随着物体运动速度的变化而变化，要注意圆周运动的半径和弹簧伸长量之间的关系。

【考题3】如图9-6所示，弹簧一端固定在转轴上，另一端与小球相连，小球在光滑的水平面上绕轴做匀速圆周运动。若弹簧原来的长度为0．5m，劲度系数为2000N/m，小球的质量为kg，当小球转动的周期为0．4s时，弹簧的伸长量是多少?

  【解析】设弹簧的伸长量为x，则有

   代入数据解得x＝0．016m．

    【变式3—1】如图9—7所示，质量相等的两个小球A、B，用一根轻绳相连，另用一根绳的两端分别连接轴O和B球，让两小球绕轴0在光滑的水平桌面上以相同的角速度做圆周运动。若OB绳上的拉力为F1．AB绳上的拉力为F2，0B＝AB，则(    )．

    A．F1:F2＝2:3      B．F1:F2＝3:2      C．F1:F2＝5:3      D．F1:F2＝2:1

    【变式3—2】在水平转动的圆盘上距转动中心10cm处，放着的物块随圆盘一起转动。若物块质量m＝0．1kg，圆盘转速为n＝l r/s，求物块与圆盘间的静摩擦力。

考点4      匀速圆周运动与变速圆周运动的区别

    匀速圆周运动的向心力等于合外力，变速圆周运动的向心力不等于合外力，合外力也不指向圆心，向心力仅是合外力在沿半径方向的分量。

    (1)做变速圆周运动的物体，若其速度大小发生变化，则向心加速度和向心力都会相应地发生变化。仅有向心加速度的圆周运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动才是变速圆周运动。

    只有在匀速圆周运动中，合外力才是向心力。合外力的方向才指向圆心(这是做匀速圆周运动的条件)。当物体做变速圆周运动时，物体所受的合外力不再指向圆心，由此也产生了两个加速度：一是切向加速度aτ；二是法向加速度，即向心加速度an。

    (2)向心力和向心加速度的瞬时性

物体做变速圆周运动时，向心力和向心加速度的大小也是变化的。所有关于向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用．应用时要注意F、a、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。

在变速圆周运动中，求物体在某一点受到的向心力时，应该使用该点的瞬时速度。

【考题4】如图9-8所示，光滑水平面上钉有两个钉子A和B，相距为20cm，用长度为1m的细绳，一端系一只质量为0．4kg的小球，另一端固定在钉子A上。开始时小球与钉子A、B均在同一直线上，然后使小球以2m/s的速度开始在水平面上做匀速圆周运动，若绳子能承受的最大张力是4N，那么从开始到绳断所经历的时间有多长?

    【解析】小球开始在水平面上做匀速圆周运动，当绳碰到B后，小球做匀速圆周运动的半径减小，由于小球在切线方向不受力，因此小球的线速度不变。根据可知，当r减小时，F增大，随着绳子在A、B上缠绕，r越来越小，F越来越大。当F超出所能承受的最大极限时，绳就会断裂，因此应先求出绳子张力达到最大值时对应的最小半径。

    小球每运动半周，其圆心改变一次，半径减小0．2m，分析小球由r＝1m到rmin所转过的圈数，由线速度定义式即可求出运动的最长时间。

由可知，随着r的减小，F增大。当F＝4N时，最小半径.若半径小于0.4m，则绳子的拉力将大于4N，绳被拉断。而小球每转半周，其半径减小0.2m。故小球半径依次为：、、、，所用时间为：、、、；则运动总时间为：

    【变式4—1】如图9-9所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为，当滑块从A滑到B的过程中,受到的摩擦力的最大值为F，则(       )．

A．F＝μmg       B．F＜μmg      C．F＞μmg    D．无法确定F与μmg的大小关系

考点5     水平面内匀速圆周运动临界状态分析

    水平面内做匀速圆周运动的物体一般由弹力、静摩擦力等力提供向心力。确定出维持物体做匀速圆周运动的临界条件是解题关键。

    1．明确研究对象。

2．确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，画出运动轨迹。

确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，是为了确定向心力的方向。例如，沿半球形碗的光滑内表面，球在水平面上做匀速圆周运动，如图9—13所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O’点．而不在球心0(圆周运动的圆心一定在物体做圆周运动的轨道平面内)。

    3．对物体正确地进行受力分析，寻求向心力的来源。

    向心力是按力的作用效果命名的，不是一种新的性质的力。向心力可以由某一个力提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力提供。对物体进行受力分析后，找出沿着轨道半径，指向圆心方向的合力，这个合力就是向心力．

    4．根据牛顿第二定律列方程。

  【考题5】如图9-10所示，细绳一端系着质量M＝0．6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0．3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0．2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围内m会处于静止状态?(g取lOm/s2)

    【解析】设物体M和水平面保持相对静止，当角速度具有最小值时，M有向圆心运动的趋势，所以M受到的静摩擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离M分析受力有：

          又  ，得：．

当角速度具有最大值时，M有离开圆心运动的趋势，M所受到的最大静摩擦力方向指向圆心，隔离M分析受力有：

    又  ，得：.

所以，角速度的范围是：

   【变式5—1】如图9—11所示．一个内壁光滑的圆锥简的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B，紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。则下列说法中正确的是(      )．

A．球A的线速度必定大于球B的线速度

B．球A的角速度必定小于球B的角速度

    C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期

    D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

    【变式5—2】如图9—12所示。两个相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和轮B水平放置，两轮半径rA＝2rB，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也恰能静止，则木块距B轮转轴的最大距离为(      )．

    A．rB        B.         C.        D．

专 项 测 试

学业水平测试

1．[考点l、2]关于向心力的说法中正确的是(    )．

A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动

B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力

D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢

2．[考点2、5]如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法中正确的是(    )．

A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大        B. 物体所受弹力增大，摩擦力减小

C．物体所受弹力减小，摩擦力也减小        D．物体所受弹力增大，摩擦力不变

3．[考点3]甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为 1:2，转动半径之比为l:2，在相同的时间里甲转过600，乙转过450．则它们的向心力之比为(    )．

  A．1:4           B．2:3             C．4:9          D．9:16

 4．[考点3、4]在光滑的水平面上，用长为L的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(      )．

  A．L、ω不变，m越大线越易被拉断         B. m、ω不变，L越小线越易被拉断

  C. m、L不变，ω越大线越易被拉断         D．以上结论都正确

5．[考点4]如图所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定的圆弧形轨道的a点滑到b点，下列说法中正确的是(     )．

  A．它所受的合外力的大小是恒定的

  B．向心力的大小逐渐增大  C．向心力的大小逐渐减小

  D．向心加速度的大小逐渐增大

6．[考点3]甲、乙两名溜冰运动员．M甲＝80kg，M乙＝40k9，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0．9m．弹餐秤的示数为9．2N，下列判断中正确的是（     ）.

A．两人的线速度相同，约为40m／s        

B．两人的角速度相同，为6rad／s

C．两人的运动半径相同，都是0．45m      

D．两人的运动半径不同，甲为0．3m，乙为0．6m

7．[考点4]如图所示，质量为m的小球，用长为L的线悬挂在O点，在0点正下方L/2处有一光滑的钉子O，，把小球拉到与O’在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，将小球从静止释放，当小球第一次通过最低点P时(      )．

A．小球速率突然减小                 B. 小球角速度突然减小

C．小球的向心加速度突然减小         D．摆线上的张力突然减小

8．[考点2、3]如图所示，一个固定的漏斗内壁光滑，有两个完全相同的小球A和B在漏斗内两个不同的水平面上做匀速圆周运动，比较两小球的线速度v、角速度ω、向心加速度a和对漏斗壁的压力N的大小，有(      )．

  A. vA＜vB          B. ωA＜ωB         C aA＞aB        D. NA＞NB

9．[考点2、3]如图所示为工厂中的行车示意图，设钢丝长为3m，用它吊着质量为2．1t的铸件，行车以2m／s的速度匀速行驶，当行车突然刹车停止运动时，钢丝受到的拉力为多少?(g取lOm／s2)

        高考水平测试

1．[考点3]游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m／s2，g取10m／s2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的(    )．

  A．1倍           B．2倍          C.  3倍         D．4倍

2．[考点1、2]如图所示是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98m，世界排名第五。游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25min．下列说法中正确的是(    )．

A．每时每刻，每个人受到的合力都不等于零    B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动

C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变    D．乘客在乘坐过程中有失重超重的感觉3．[考点5]如图所示，冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员体重的K倍，他在冰面上做半径为R的匀速圆周运动，其安全速度为(     )．

A．      B．     C.      D.

4.[考点2、3]质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机的作用力的大小等于（      ）.

A.       B.       C.         D. 5．[考点4、5]如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴距离为2R。则当圆台旋转时，若A、B、C均未滑动。则(      )．

  A．C的向心加速度最大                    B．B受到的摩擦力最小

  C．当圆台转速增大时，B比A先滑动        D．当圆台转速增大时，C比B先滑动

6．[考点]如图所示．半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴00’转动．小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为(     )．

A.        B.        C.        D.

7．[考点2、5]如图所示，转台的光滑水平横杆上穿着两个铁球A和B，质量分别为m1和m2．且m1＝2m2，两球用质量可以不计的弹簧相连。当转台绕竖直轴00’转动时，随着转速的增大，弹簧逐渐被拉长，两球到转轴的距离r1、r2也随之增大，但两球都没有碰到转台侧壁。下列说法中正确的是(     )．

  A．两个铁球做圆周运动的向心力大小相等，由弹簧的弹力提供

  B. 两个铁球做圆周运动的角速度相等，它们所需的向心力跟球的质量成正比

  C．r1:r2＝1:2．且与转速无关　　　　  D．r1:r2＝2:1．且与转速无关

8．[考点2、3]由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法中正确的是(    )．

  A．飞机做的是匀速直线运动               

B. 飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力

  C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力       

 D. 飞机上的乘客对座椅的压力为零

9．[考点2]两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A运动的半径比B的大，则 (    )．

  A．A受到的向心力比B的大    B．B受到的向心力比A的大

  C．A的角速度比B的大        D. B的角速度比A的大

10．[考点2、5]如图所示。OO’为竖直轴。MN为固定在OO’上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和 BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴00’上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2:1，当转轴的角速度逐渐增大时(      )．

  A．AC先断     B．BC先断     C．两线同时断    D．不能确定哪段线先断

11．[考点2．3、4]利用如图所示的方法测定细线的抗拉强度。在长为L的细线下端悬挂一只质量不计的小盒，小盒的左侧开一孔，一个金属小球从斜轨道上释放后，水平进入小盒内，与小盒一起向右摆动。现逐渐增大金属小球在轨道上释放时的高度，直至摆动时细线恰好被拉断，并测得此时金属小球与盒一起做平抛运动的竖直位移y和水平位移x.若小球质量为m，试求：(1)金属小球做平抛运动的初速度为多少?(2)该细线的抗拉断张力为多大?