2020年内蒙古包头市中考数学一模试卷-(含答案解析)

2020年内蒙古包头市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C. 2 D. 3

2. 据国家统计局全国农村贫困监测调查，按现行国家农村贫困标准测算，2018年末，全国农村贫困人口1660万人，比上年末减少13860000人．将13860000用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，数轴上表示的点A到原点的距离是

A.  B. 2 C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知，，的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图是由4个小立方块搭成的几何体，则下列说法正确的是 

A. 从正面看到图的面积最大
B. 从上面看到图的面积最大
C. 从左面看到图的面积最大
D. 以上三个图的面积一样大
 

7. 一组数据3，4，x，6，8的平均数是5，则这组数据的众数是

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

8. 如图，中，于D，且E是AC的中点．若，，则CD的长等于

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

9. 如图，正方形ABCD内接于，，则的长是   

A.
B.
C.
D.

10. 下列命题是假命题的是

A. 是的平方根 B. 81的平方根是9
C. 的算术平方根是 D. 的立方根是

11. 如图，点C在反比例函数的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，的面积为1，则k的值为 

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

12. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长大于为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点若，，则DE等于

A. 2 B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 在函数中，自变量x的取值范围是______．
14. 分式方程的解为______．
15. 计算：___________________．
16. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，，连接CE，过点E作交AB的延长线于点F，若，则正方形ABCD的边长为______．

17. 如图，同学A有3张卡片，同学B有2张卡片，他们分别从自己的卡片中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是______ ．

18. 如图，在中，AC、BD相交于点O，，，，则__________ cm．

19. 关于二次函数：的下列四个结论中，正确的结论是______只填序号．
    将的图象向上平移m个单位后，若与x轴没有交点，则．
    将的图象向左平移1个单位得，则函数的解析式为；
    若的图象与的图象关于x轴对称，函数的解析式为；
    若的图象顶点为D，且与直线交于A、B两点，则的面积为．
20. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且，连接AE，若，，则的值是______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）

21. 某年级共有400名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：
    采用公共交通方式单程所花费时间分的频数分布直方图如图2所示数据分成6组：，，，，，：
    采用公共交通方式单程所花费时间在这一组的是：
    30   30  31  31  32  33  33  34  35  35  36  37  38  39
    根据以上信息，回答下列问题：
    补全频数分布直方图；
    采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为______分；
    请你估计该年级采用公共交通方式上学共有______人，其中单程不少于60分钟的有______人．

22. 如图，小明在河的南岸A点测得北岸上的M点在正北方向，N点在北偏西方向，他向西行6千米到达B点，测得M点在北偏东方向，已知南北两岸互相平行，求MN的距离结果保留根号

23. 五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．
    求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
    商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，AB为的直径，C为上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，交EC的延长线于点D，AD交于点F，M为上一点，连接FM，MB，BC．

求证：AC平分．
若，，求AC的长．






 

25. 如图所示，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，EC的延长线交BD于点P．
    把绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是______选填“相等”或“不相等”；简要说明理由；
    若，，把绕点A旋转，当时，在图2中作出旋转后的图形，______，简要说明计算过程；
    在的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为______，最大值为______．

26. 已知：如图，抛物线经过原点和点，P为抛物线上的一个动点，点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．
    求抛物线的解析式；

当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；

过点A作轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A
 

解析：

本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的加减的法则解答此题，
解：，
故选A．
2.答案：B
 

解析：解：将用科学记数法表示为：．
故选：B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.答案：B
 

解析：

本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的定义即可得到结论．
解：数轴上表示的点A到原点的距离是2，
故选B．
4.答案：D
 

解析：

本题主要考查了整式的运算，关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则和积的乘方的运算性质利用同底数幂的除法和积的乘方计算得出结果进行判断即可．
解：计算结果是，故计算错误；
B.计算结果是，故计算错误；
C.计算结果是，故计算错误；
D.计算结果是，故计算正确．
故选D．
5.答案：D
 

解析：解：，
，
，
，
，
故选：D．
根据平行线的性质可得，再根据三角形内角与外角的关系可得．
此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6.答案：A
 

解析：

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
解：主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，主视图的面积是4；
俯视图是第一行2个小正方形，第二行1个小正方形，俯视图的面积是3；
左视图第一行1个小正方形，第二行2个小正方形，左视图的面积是3，
故主视图的面积最大．
故选A．

7.答案：B
 

解析：解：根据题意得，
解得，
则这组数据为3，4，4，6，8，
所以这组数据的众数是4．
故选：B．
先根据平均数的计算方法求出x，然后根据众数的定义求解．
本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数的定义．
8.答案：D
 

解析：

本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解：中，于D，
．
是AC的中点，，
．
，
．
故选D．
9.答案：A
 

解析：

本题考查了弧长公式和正方形的性质有关知识，连接OA、OB，求出，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
解：连接OA、OB，

正方形ABCD内接于，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
的长为，
故选A．
10.答案：B
 

解析：

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，难度不大．利用平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：是的平方根，正确，是真命题；
B.81的平方根是，故错误，是假命题；
C.的算术平方根是，正确，是真命题；
D.的立方根是，正确，是真命题．
故选B．
11.答案：D
 

解析：

本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据的面积为1，即可求得k的值．
解：设点A的坐标为，
过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，的面积为1，
点，
点B的坐标为，
，
解得，，
故选D．
12.答案：C
 

解析：解：在中，由勾股定理得：，
连接AE，

从作法可知：DE是AB的垂直平分线，
根据性质得出，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
在中，，由勾股定理得：，
解得：．
故选C．
根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．
13.答案：
 

解析：解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.答案：
 

解析：解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15.答案：6
 

解析：

本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，根据平方差公式将原式变形后即可解答本题．

解：，

故答案为6 ．

16.答案：5
 

解析：解：如图所示：

过点E作，，分别交BC、AB于M、N两点，
且EF与BC相交于点H．
，，，
，
又，
∽，
，
，，四边形ABCD是正方形，
四边形ENBM是正方形，
，，
在和中
≌
，
，∽，
．
又，
，
同理可得：，
设，则，，
，，
解得：，
．
故答案为：5．
由，可判定∽，从而得到；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得，由角角边可证明≌，得；因，∽，∽和线段的和差可求出正方形ABCD的边长．
本题考查了正方形的判定与性质，两个三角形全等的判定与性质，两个似三角形的判定与性质，线段的和差等综合知识，重点是掌握两个三角形相似和全等的判定的方法，难点是作辅助线构建两个三角形全等．
17.答案：
 

解析：解：画树状图得：

共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字相同的有2种情况，
抽取的两张卡片上的数字相同的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两张卡片上的数字相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
18.答案：
 

解析：

本题主要考查的是平行四边形的性质，勾股定理的有关知识，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为．
19.答案：、、
 

解析：

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数的几何变换．
先把化成顶点式得到二次函数的顶点坐标为，再利用抛物线的平移规律对、进行判断；写出点关于x轴对称的点的坐标为，再利用顶点式写出函数的解析式，则可对进行判断；解方程得点A、B的横坐标分别为，，设直线与抛物线的对称轴的交点为E，则，根据三角形面积公式，利用进行计算，则可对进行判断．
解：，
二次函数的顶点坐标为，
将的图象向上平移m个单位后，若与x轴没有交点，则；所以正确；
将的图象向左平移1个单位得，则的顶点坐标为，
所以抛物线的解析式为，即，所以正确；
点关于x轴对称的点的坐标为，
所以函数的解析式为，即，所以错误；
解方程得，，则点A、B的横坐标分别为，，
设直线与抛物线的对称轴的交点为E，则，
所以，所以正确．
故答案为、、．
20.答案：1
 

解析：

连接AF，由矩形的性质得出，，，证出，，由SAS证明≌，得出，，即可得，证得是等腰直角三角形，得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
解：连接AF，如图所示：

四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，，
，
是CD的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为1．
21.答案：选择公共交通的人数为人，
的人数为人，
补全直方图如下：

；
；   8；
 

解析：

解：见答案．
采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，
所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是分，
故答案为：31；
估计该年级采用公共交通方式上学共有人，
其中单程不少于60分钟的有人，
故答案为：200；8．
用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出的人数，从而补全图形；
根据中位数的概念计算可得；
利用样本估计总体思想计算可得采用公共交通方式上学总人数．用采用公共交通方式上学总人数乘以单程不少于60分钟学生人数对应的百分比可得其人数．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22.答案：解：连接AM，
在中，千米，，
则千米，
在中，，
则千米．
故MN的距离是千米．
 

解析：连接AM，在中，千米，，根据三角函数可求AM，在中，根据三角函数可求MN的距离．
本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23.答案：解：设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得，
解得：，
答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；
设甲商品进a件，乙商品件，由题意得，
，
则，
设利润为y元，则，
  ，
随a的增大而减小，
要使利润最大，则a取最小值，
，
，
答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．
 

解析：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
24.答案：证明：如图，连接OC，

与相切于点C，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
设的半径为r，
，
，
又，
，
，
，
即，解得，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
解得．
 

解析：本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
连接OC，如图，利用切线的性质得，则判断得到，加上，从而得到；
由得到，设的半径为r，然后利用余弦的定义得到，从而解方程求出r，接着证明，然后利用相似比可得出，最后根据勾股定理，即可得出答案．
25.答案：相等；
；
；7
 

解析：

解：，CE的关系是相等．
理由：和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
，，，
≌，
；
故答案为：相等．
作出旋转后的图形，如图2所示：

，
，
，，
∽，
，
；
故答案为：；
如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在下方与相切时，PD的值最小；当CE在在右上方与相切时，PD的值最大．
如图3所示，分两种情况讨论：

在中，，因此锐角的大小直接决定了PD的大小．
当小三角形旋转到图中的位置时，
在中，，
在中，，
四边形ACPB是正方形，
，
，
在中，，
即旋转过程中线段PD的最小值为1；
当小三角形旋转到图中时，可得为最大值，
此时，，
即旋转过程中线段PD的最大值为7．
故答案为：1，7．
依据和是有公共顶点的等腰直角三角形，，即可，，，进而得到≌，可得出；
依据，，可得∽，即可得到，进而得到；
以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在下方与相切时，PD的值最小；当CE在在右上方与相切时，PD的值最大．在中，，因此锐角的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．
本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．
26.答案：解：解：把和点代入得到，
解得：，
抛物线的解析式为．

解：，，
，轴，P在上，C在OA上，，
，

，
，开口向下，
有最大值，
当时，PCmax，

答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是；
 由可知，，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是，
 点P在直线OA的下方，
过点D作交抛物线于P和，此时四边形ADPC和四边形是平行四边形，
直线OA的解析式为，
直线DP的解析式为，
由，
解得：或．
 m的值为．
 

解析：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．
 利用待定系数法即可解决问题；
设，可得，利用二次函数的性质即可解决问题；
由可知，由，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是，