专题3.10 实际问题与一元一次方程（二）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题3.10 实际问题与一元一次方程（二）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共28页。试卷主要包含了数字问题，几何问题，和差倍分问题，电费水费问题，比例问题，日历问题，其他问题等内容，欢迎下载使用。
专题3.10 实际问题与一元一次方程（二）（专项练习）
一、 填空题
知识点七、数字问题
1．把1～9这9个整数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．“九宫格”源于我国古代的“洛書”，是世界上最早的“幻方”．在如图的“九宫格”中，x的值为_____．

2．三个连续偶数的和为18，设最大的偶数为，依题意列方程为_______________．
3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢?我们以无限循环小数为例进行说明，设，由……可知，……，所以，解方程，得，于是，将写成分数的形式是____________．
知识点八、几何问题
4．如图，两点在数轴上表示的数分别为，且和满足，若一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一个小球乙从点处以2个单位/秒的速度向左运动，甲乙两小球到原点的距离相等时，经历的时间是__________秒．

5．长为1，宽为a的长方形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形为正方形，则操作终止，若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则________；若第三次操作后剩下的长方形恰好是正方形，则________．

6．如图，长方形中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则图中阴影部分的面积之和为_______________．

知识点九、和差倍分问题
7．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中有一道阐述“盈不足术”的问题．原文：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元. 问共有多少人？这个物品的价格是___元．
8．《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”，大约成书于公元前200年~公元前50年，其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为_________．
9．为坚决打赢疫情防控阻击战，某小区决定组织工作人员对本小区进行排查，现对工作人员进行分组，若每组安排8人；则余下3人；若每组安排9人，则还缺5人，则该小区工作人员共有______人．
知识点十、电费水费问题
10．为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过10立方米，按每立方米4元收费；超过10立方米，则超过部分按每立方米8元收费．如果某户居民十月份缴纳水费72元，则该户居民十月份实际用水为_______立方米．
11．为节约用电，长沙市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份交电费222元，则该居民家12月份用电____度．
12．某市为了提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月的用水量不超过15m3，则每立方米收费2元；若用水量超过15 m3，则超过的部分每立方米加收1元.若小亮家1月份交水费45元，则他家该月的用水量为________________
知识点十一、比例问题
13．清人徐子云《算法大成》中有一首名为“寺内僧多少”的诗：
巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．
三百六十四只碗，众僧刚好都用尽．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生明算者，算来寺内几多僧．
诗的大意是：在巍巍的大山和茂密的森林之中，有一座千年古寺，寺中有364只碗，要是3个和尚共吃一碗饭，4个和尚共喝一碗粥，这些碗刚好用完，问寺内有多少和尚？设有和尚x人，由题意可列方程为_____．

14．今有浓度分别为 3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水 50 千克、70 千克、60 千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为 7%的盐水 100 千克，则丙种盐水最多可用_________千克．
15．某校六（1）班女生比男生少10人，女生与男生人数之比为，那么六（1）班共有学生_______人．
知识点十二、日历问题
16．在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样的方格称为一个三阶“幻方”．如图的方格中已填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶“幻方”，则的值为________．

17．小明同学在某月的日历上圈出个数（如图），正方形方框内的4个数的和是28，那么这4个数中最大的数是______．

18． 爷爷快八十大寿，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑着说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于爷爷的年龄．”则小明爷爷的生日是号______
知识点十三、其他问题
19．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”若列一元一次方程表示题中的数量关系，则方程中表示的实际意义是________．
20．按下面的程序计算：当输入时，输出的结果是299；当输入时，输出结果是466；如果输入x的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x的值为______．

21．若式子3x+4与2﹣5x的值相等，则x的值为_____．

二、 解答题
知识点七、数字问题
22．已知有理数－3，1，m．
（1）计算－3，1这两个数的平均数；
（2）如果这三个数的平均数是2，求m的值．


23． 小明读一本科普书，星期六读了20页，星期日读了剩下的一半，还剩15页没有读，这本书共多少页？

24． 今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄．

知识点八、几何问题
25． 底面半径为10cm，高为20cm的圆柱形水桶中装满了水．小明先将桶中的水倒满2个底面半径为5cm，高为4cm的圆柱形水杯中，再把剩下的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，正方体容器内水的高度大约是多少厘米？（π取3，容器的厚度不计；圆柱体体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长）．

26．用21张长，宽的硬纸板，做长、宽、高分别是的长方体盒子（如图1），如图2，长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示．硬纸板有如图的三种裁剪方法（边角料不再利用）．
方法：剪2个盒身；
方法：剪1个盒身和5个底面；
方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）
（1）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？




27．如图，数轴上点对应的数为16，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点以每秒3个单位长度的速度从原点出发，且，两点同时向数轴正方向运动．设运动时间为秒．


（1）填空：当时，，两点对应的数分别为__________，___________，的长为__________．
（2）当时，求的值．


知识点九、和差倍分问题
28．情景：试根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买8根跳绳需　　　　元，购买14根跳绳需　　　　元．
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．



29．某班组织学生去公园游玩，该班有42名同学组织了划船活动，如图是划船须知，他们一共租了8条船，并且每条船都坐满了人，求

（1）大、小船各租了几只？
（2）他们租船一共花了多少元钱？


30．刷完墙，贝贝准备列方程做下面这道题，请你先做做吧!
甲、乙两站共停了135辆汽车，如果从乙站开到甲站36辆汽车，而从甲站开到乙站45辆汽车，这时乙站停的汽车是甲站的1.5倍．原来甲、乙两站各停了多少辆汽车？


知识点十、电费水费问题
31． 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过，则按2元/收费；若每户每月用水超过，则超过的部分按3元/收费．如果某居民户去年12月缴纳了53元水费，那么这户居民去年12月的用水量是________．

32．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超18立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过18立方米时，其中的18立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米．
（1）若小明家某月用水量为20立方米，则这个月的水费为_______．
（2）当x不超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）；当x超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）．
（3）小亮家某月应交水费为68.5元，求小亮家本月用水量．



32． 为了鼓励节约用水，某市自来水收费标准为：每年每户用水240方以内（包括240方），按每方1.75元收费；如果超过240方，那么超过的部分按每方2.8元收费．小丽家今年用水265方，她家今年需要付水费多少元？

知识点十一、比例问题
34．某公司门口有一个长为的长方形电子显示屏，公司的有关活动信息都会在电子显示屏上显示字幕．由于每次活动的信息不同，所以字幕的字数也就不等．为了制作及显示时方便，负责发布活动信息的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距=（如图）．

请用列方程的方法解决下列问题：
（1）若某次活动字幕的字数为17，则字距是多少？
（2）若某次活动字幕的字宽为，则字数是多少？


35． 足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为3：5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？

36． 吉阳配件厂男工人数与女工人数的比是6:7，若调走30名女工，则女工与男工人数的比为5:6，这个车间原有女工多少人？


知识点十二、日历问题
37．在排成每行七天的日历表中取下一个3×3方块（如图）.若所有日期数之和为189，求n的值.



38．如图是某月的日历：

(1)设由6个数形成的阴影方框中，最大的数为，这6个数的和为，请你用含的代数式表示；
(2)现想框出6个数的和为111，你能办得到吗？若能，请求出这六个数，若不能，请说明理由.


39．将连续的偶数2，4，6，8，10……排成如下的数表．

（1）十字框的五个数的和与中间的数26有什么关系？
（2）设中间的数为m，用代数式表示十字框中的五个数之和；
（3）十字框中的五个数之和能等于2 060吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．

知识点十三、其他问题
40． （列方程解应用题）某商店选用两种价格分别为每千克28元的A种糖果和每千克20元的B种糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配置这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果多少千克？

41．随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．地铁2号线一期采用按里程分段计价的票制，全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”；感受“地铁速度”，其中所有的学生享受了半价票，教师均买全价票，单程共付车票费用126元．参加本次活动的师生各多少人？



42．在学习“一元一次方程的应用”时，小明和小天在一起讨论下列问题：
某汽车队运送一批抗疫物资．若每辆车装4吨，还剩下6吨未装；若每辆车装4.5吨，则最后一辆车还能装2吨．这个车队有多少辆车？
（1）若设这个车队有x辆车，根据两种装车方案中抗疫物资的总量不变，请列出方程（不需要解答）
（2）小明和小天讨论后，觉得也可以设这批抗疫物资有y吨，根据两种装车方案中车辆数不变来列方程．请判断他们的说法是否正确，若正确，按这种方法列出方程并进行解答．

参考答案
1．9
【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．
【详解】
解：如图，设右下角的数为y，

由题意，可得8+5+2＝2+7+y，8+y＝5+x，
解得y＝6，x＝9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
2．
【分析】根据文字表述得到题中存在的等量关系为：三个连续偶数的和=18，根据此列方程即可．且注意要知道两个连续偶数相差为2．
【详解】
解：设最大的偶数为x，则其他两个偶数分别为x-2和x-4，那么根据“三个连续偶数的和为18”，列方程得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，利用偶数的表示方法得出是解题关键．
3．
【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：设＝x，则＝100x，
∴100x−x＝45，
解得：x＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意，列出一元一次方程式是解本题的关键．
4．或8
【分析】根据绝对值及平方的非负性可求得和的值，再根据题意，设经历的时间是秒，根据甲乙两小球到原点的距离相等列出方程，解方程即可．
【详解】



设经历的时间是秒，甲乙两小球到原点的距离相等，根据题意得，

或
或
即当甲乙两小球到原点的距离相等时，经历的时间是秒或秒，
故答案为：或8．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5． 或
【分析】根据题意第一次操作后可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为1-a，若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第一次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，由此可求解；若第三次操作后剩下的长方形恰好是正方形，则第二次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：第一次操作后可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为1-a，
∴若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则有：
或，
解得：或（不符合题意，舍去），
若第三次操作后剩下的长方形恰好是正方形，则有：
或，
解得：或，
故答案为；或．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
6．72cm2
【分析】设小长方形的宽为xcm，则长为（16-3x）cm，根据AB的长度，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小长方形的长和宽，再利用阴影部分的面积和=大长方形的面积-6个小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】
解：设小长方形的宽为xcm，则长为（16-3x）cm，
依题意，得：x+（16-3x）-2x=8，
解得：x=2，
∴16-3x=10，
∴图中阴影部分的面积之和为16×（8+2×2）-6×10×2=72（cm2）．
故答案为：72cm2．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．53
【分析】设共有x人，则这个物品的价格是（8x−3）元，根据“每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x人，则这个物品的价格是（8x−3）元，
依题意，得：8x−3＝7x＋4，
解得：x＝7，
∴8x−3＝53．
故答案为：53．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．400x-3400=300x-100
【分析】设有x个人，根据金的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：设有x个人，
依题意，得：400x-3400=300x-100．
故答案为：400x-3400=300x-100．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．67
【分析】设该小区工作人员分x组，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入8x+3中即可求出结论．
【详解】
解：设该小区工作人员分为x组，
根据题意得：8x+3=9x-5，
解得：x=8，
∴8x+3=67．
故答案为：67．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．14
【分析】由，即可得出则该户居民十月份实际用水超过10立方米．设该户居民十月份实际用量为x立方米，根据缴纳水费钱数=+（用水量-10）8即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（元），4018，结合本题用水量超出18立方米的水费计价方式，即可求解；
（2）分类讨论①和②两种情况即可用含x的代数式表示应收水费；
（3）68.5>18×2=36，所以这个月用水量一定超过18立方米，结合（2）时的代数式即可列出一元一次方程求解．
【详解】
（1）根据超出部分的水费计价方式，18×2+(20-18)×2.5=41元．
故答案为41元
（2）①，应收水费2x元
②，应收水费18×2+(x-18)×2.5=（2.5x-9）元
故答案为2x元，（2.5x-9）元．
（3）68.5>18×2=36，即用水量一定超过了18立方米，
根据（2）结论，可列方程2.5x-9=68.5
解得x=31立方米
所以本月用水量为31立方米．
【点拨】本意考察列代数式，用代数式求值以及一元一次方程的应用．讨论用水量和用水量两种情况并结合总价=单价×数量的关系是解答本题关键．
33．元
【分析】首先看小丽家今年用水有没有超过240方，超过了，计算水费就需要分段计算；从题中可知，用水量为265方，小丽家今年用水方数-240方=超过部分的方数；总的水费计算公式：她家今年需要付水费=240方×对应的单价+超过部分的方数×对应的单价，代入运算即可解决问题．
【详解】
解：超过部分的方数= 小丽家今年用水方数-240方
=265-240=25（方）
她家今年需要付水费=240方×对应的单价+超过部分的方数×对应的单价
（元）
答：她家今年需要付水费490元．
【点拨】本题的关键是读懂题意，明白计费标准不同，分段计算水费．
34．（1）10cm；（2）字数是15
【分析】（1）设字距为，则边空宽为，字宽为，可得方程组即可；
（2）根据边空宽：字宽：字距=，设字数为y，即可得到方程，得出结论；
【详解】
解：（1）设字距为，则边空宽为，字宽为．
根据题意得，解得，
答：字距是．
（2）设字数为y，根据题意得，解得．
答：字数是15．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析是解题的关键．
35．黑色皮块有12个，白色皮块有20个
【分析】本题中利用皮块的总数作为相等关系列方程求解．即黑色皮块数+白色皮块数=32．
【详解】
解：设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，根据题意列方程：3x+5x=32，
解得：x=4，
则黑色皮块有：3x=12个，
白色皮块有：5x=20个．
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
【点拨】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
36．105
【分析】设车间原有女工7a人，则男工人数6a，根据题意列出方程即可求解.
【详解】
设车间原有女工7a人，则男工人数6a，
根据题意得
解得a=15，
经检验，符合题意，
∴这个车间原有女工7×15=105人
【点拨】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解.
37．21
【分析】根据日历的特点即可列出方程，即可求解.
【详解】
∵日历中间的数为n，所有日期数之和为189
故（n-8）+（n-7）+（n-6）+（n-1）+n+（n+1）+（n+6）+（n+7）+（n+8）=189
即9n=189,
故n=21.
【点拨】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键熟知日历的特点.
38．（1）y=6x-27
（2）这六个数分别是23,22,21,16,15,14
【分析】（1）根据日历中各个数的关系即可求出结论；
（2）根据题意，列出一元一次方程，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设最大的数为,则其余的五个数分别为：

∴
（2）设最大的数为,由题意得:
解得:,
∴,
,
,
,

答:能办到,这六个数分别是23,22,21,16,15,14．
39．（1）十字框的５个数的和是中间数26的5倍
（2）5个数的和是5ｍ．
（3）不能．
【详解】
试题分析：（1）具体求得五个数的和自然发现与中间的数的关系；
（2）观察发现：上下的数相差是10，左右的数相差是2，即可用代数式表示其五个数的和；
（3）根据（2）中的规律列方程求解．
试题解析：解： （1）十字框中的五个数的和为26的5倍
（2）5m
（3）设5m="2" 060，则m=412，因为412在第1列，而十字框中的中间数不可能在第1列，所以这五个数之和不能等于2060
考点：规律型：数字的变化类．
40．A种糖果62.5千克，B种糖果有37.5千克
【分析】如果设A种糖果有x千克，那么B种糖果有（100-x）千克，根据这种杂拌糖果的售价是每千克25元，可得一个关于x的方程，求解即可．
【详解】
解：设A种糖果有x千克，那么B种糖果有（100-x）千克，
由题意，得28x+20（100-x）=25×100，
解得x=62.5，
100-x=37.5．
答：要A种糖果62.5千克，B种糖果有37.5千克．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
41．教师6人，学生30人
【分析】设教师x人，则学生（36-x）人，根据单程共付车票费用126元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设教师x人，则学生（36-x）人，依题意得：
6x+×6（36-x）=126，
解得x=6，
36-x=36-6=30．
答：教师6人，学生30人．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
42．（1）；（2）正确，16辆车
【分析】（1）设这个车队有辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程；
（2）设这批抗疫物资有y吨，根据题意可知等量关系为：两种装法的车队车辆数是一定的，据此可列方程，进而进行求解．
【详解】
（1）第一种装法货物总量可以表示为：，
第二种装法货物总量可以表示为：，
∴所列方程为：；
（2）正确，
第一种装法车辆数可以表示为：，
第二种装法车辆数可以表示为：，
∴所列方程为：，
解得，，
将，代入到得：，
∴这个车队有16辆车．
【点拨】本题考查了用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．