数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试第1课时一课一练

12.3  角的平分线的性质

第1课时  角的平分线的性质

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要点感知1  角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.

预习练习1-1  如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是(  )

  A.PC>PD  B.PC=PD  C.PC<PD  D.不能确定

要点感知2  命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.[来源:Zxxk.Com]

预习练习2-1  命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.

知识点1  角平分线的作法

1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(  )

  A.SSS  B.ASA  C.AAS  D.角平分线上的点到角两边距离相等

2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.

知识点2  角平分线的性质

3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.

4.如图所示,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C，D.求证：OC=OD.

5.如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长.

知识点3  命题证明

6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.

7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.

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8.如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE＝2,则两平行线AD与BC间的距离为____.

9.如图，在△ABC，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠CDA的度数为____.

10.已知，如图所示，△ABC的角平分线AD将BC边分成2∶1两部分，若AC=3 cm，则AB=____.

11.已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC.

12.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长.

13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.

挑战自我

14.如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.

参考答案

课前预习

要点感知1  相等

预习练习1-1  B

预习练习2-1  全等三角形对应角的角平分线  对应角的角平分线长度相等

当堂训练

1.A  2.图略.  3.4  4.证明：∵E是∠AOB的平分线上一点,CE⊥OA,ED⊥OB，∴EC=ED.在Rt△OCE和Rt△ODE中,OE=OE,EC=ED,∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).∴OC=OD.

5.∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，∴点D到BC的距离等于DE的长度.∵AB=18，BC=12，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=×18·DE+×12·DE=DE(18+12)=15·DE.∵△ABC的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=6

6.全等三角形对应边的高线  对应边的高线相等

7.已知:△ABC≌△A′B′C′,AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线.求证：AD=A′D′.证明：∵△ABC≌△A′B′C′,∴AB=A′B′,∠B=∠B′,BC=B′C′.又∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线,∴BD=BC,B′D′=B′C′.∴BD=B′D′.∴△ABD≌△A′B′D′(SAS).∴AD=A′D′.[来源:Z+xx+k.Com]

课后作业

8.4  9.65°  10.6 cm  11.证明:∵点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,∴OE＝OD,∠BEO＝∠CDO＝90°.在△BEO与△CDO中,∠BEO＝∠CDO,OE＝OD,∠EOB＝∠DOC,∴△BEO≌△CDO(ASA).∴OB＝OC.

12.∵AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE=AC.∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm.

13.已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的平分线,且AD=A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：∵∠BAC=∠B′A′C′,AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线,∴∠BAD=∠B′A′D′.∵∠B=∠B′,AD=A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AB=A′B′.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,

AB=A′B′,∠BAC=∠B′A′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).

14.PC=PD.理由如下：过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F.又∵OM平分∠AOB，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EPC=∠FPD.在△PCE与△PDF中，∠PEC=∠PFD，PE=PF，∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF(ASA).∴PC=PD.