高中数学人教版（中职）基础模块下册7.2 数乘向量教案设计

这是一份高中数学人教版（中职）基础模块下册7.2 数乘向量教案设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．
2. 理解并掌握平行向量基本定理．
3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．
【教学难点】
对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．已知非零向量 a，求作：
(1) a＋a＋a；
a
(2) (－a)＋(－a)＋(－a)．
a
a
a
－a
－a
－a
请观察3a 与－3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化．
A
P
Q
B
2．已知 eq \(→,AB)，把线段AB
三等分，分点为P，Q，则 eq \(→,AP)，
eq \(→,AQ)， eq \(→,BP)与 eq \(→,AB)的关系如何？
教师提出问题，引入课题．
学生观察解答．
在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．
新
课
新
课
新
课
新
课
d
1．数乘向量的定义
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作 λa．
向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：
(1) | λa |＝| λ | | a |；
(2) 当λ＞0时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜ 0 时，λa 与 a 的方向相反．
当 λ＝0 时，0a＝0；当 a＝0 时，λ0＝0．
2．数乘向量的几何意义
把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向，长度放大或缩小．
如2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大到原来的 2 倍．
练习一
任作向量 a，再作出向量－3a， EQ \F(1,2)a，－ EQ \F(1,3)a，并说出它们的几何意义．
3．数乘向量运算的运算律
设 λ，μR，有：
(1) (λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2) λ(μa)＝(λμ)a；
(3) λ(a＋b)＝λa＋λb．
请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？
例1 计算下列各式：
（1）(－2) EQ \F(1,2)a；
（2）2(a＋b)－3(a－b)；
（3）(+)(a－b)－(－)(a+b) ．
解 （1）(－2) EQ \F(1,2) a＝(－2 EQ \F(1,2)) a＝－a；
（2）2 (a＋b)－3 (a－b)
＝2 a－3 a＋2 b＋3 b
＝(2－3) a＋(2＋3) b
＝－a＋5 b．
（3）(＋)(a－b)－(－)(a＋b)
＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b
＝(＋－＋)a－(＋＋－)b
＝2a－2b．
练习二
化简：
（1）2(a－b)＋3(a＋b)；
(2) EQ \F(1,2)(a＋b)＋ EQ \F(1,2)(a－b)．
例2 设x是未知向量，解方程
5 (x＋a)＋3 (x－b)＝0．
解 原式可变形为
5x＋5a＋3x－3b＝0，
8 x＝－5a＋3b，
x＝－ EQ \F(5,8)a＋ EQ \F(3,8)b．
练习三
解关于x的方程：
(1) 3(a＋x)＝x；
(2) x＋2(a＋x)＝0．
例3 已知 eq \(→,OA)＝3 eq \(→,OA)， eq \(→,AB)＝3 eq \(→,AB)，说明向量 eq \(→,OB)与 eq \(→,OB)的关系．
解 因为
eq \(→,OB)＝ eq \(→,OA)＋ eq \(→,AB)＝3 eq \(→,OA)＋3 eq \(→,AB)
＝3( eq \(→,OA)＋ eq \(→,AB))＝3 eq \(→,OB)．
所以 eq \(→,OB)与 eq \(→,OB)共线且同方向，长度是 eq \(→,OB)的3倍．
4．平行向量基本定理
如果a＝λb，则a//b；反之如果a//b，且b≠0，则一定存在一个实数λ，使a＝λb．
例如，如果 a＝2b，则 a//b；如果 c＝－2b，则 c//b；如果 d//b，且d 的长度是 b 的一半，并且方向相反，则 d＝－ EQ \F(1,2) b．
c
－2b
a
b
2b
－ EQ \F(1,2)b
5．非零向量 a 的单位向量
与 a 同方向且长度为1的向量，称为非零向量 a 的单位向量．易知，a的单位向量为 eq \f( a , | a | )．
例4 若MN是△ABC 的中位线，求证：
MN＝ EQ \F(1,2)BC，且MN∥BC．
证明 因为M，N是AB，AC边上的中点，所以
eq \(→,AM)＝ EQ \F(1,2) eq \(→,AB)， eq \(→,AN)＝ EQ \F(1,2) eq \(→,AC)，
eq \(→,MN)＝ eq \(→,AN)－ eq \(→,AM)＝ EQ \F(1,2) eq \(→,AC)－ EQ \F(1,2) eq \(→,AB)
＝ EQ \F(1,2)( eq \(→,AC)－ eq \(→,AB))＝ EQ \F(1,2) eq \(→,BC)．
所以MN＝ EQ \F(1,2)BC，且MN ∥BC．
练习四
已知点D 是线段 BC 的中点， 求证：
eq \(→,AD)＝ EQ \F(1,2)( eq \(→,AB)＋ eq \(→,AC))．
教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义．
师生合作完成．
教师提出问题．
学生观察解答．
师生合作完成．
学生练习巩固．
教师引导学生完成．
学生练习巩固．
教师给出问题并引导学生解答．
学生根据向量加法的三角形法则及数乘向量定义完成解答．
教师由上例引导学生推广到一般的平行向量．
教师引导学生分析．
学生练习巩固．
培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．
紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．

类比学习．
有实数运算法则做基础，学生解决这部分题目很容易，提醒学生向量上加箭头．

由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于学生接受．
本题是首次应用向量知识来解决平面几何问题，对学生来说有些难度，教师须根据向量的运算法则详细讲解．
小
结
1．数乘向量的定义及其几何意义．
2．数乘向量运算律．
3．平行向量基本定理．
4．单位向量．
师生合作．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
教材 P43，习题第5题．
巩固．