高中6.3 等比数列的性质教案

这是一份高中6.3 等比数列的性质教案，共16页。

6.3等比数列及其性质
学习目标：
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.了解等比数列与指数函数的关系,能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能解决相应的问题．
自主梳理
1．等比数列的定义:(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
(2)若________________，那么G叫做a与b的等比中项, 并非任何两数总有等比中项.仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)；
2．等比数列的有关公式: 等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)通项公式：an＝________，an＝am___ (m，n∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.
3．性质：①an=cqn，即an是n的类指数型函数，系数c为；时，，即Sn是n的类指数型函数，其中，的系数与常数项互为相反数；
②当m+n=p+q时，，特例：；当2n=p+q时，；
③若均为等比数列，则、、、成等比数列；
④公比不为-1的等比数列中依次k项和成等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列，且公比为(q是原数列公比)；若q= -1，则n为偶数时，上述性质不存在；
⑤有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则＝；若总项数为奇数，则＝；
⑥等比数列的单调性：等比数列的单调性受首项和公比两个元素影响，可列表如右图所示：
4.判定数列是否等比数列的方法：
①定义法；②中项公式法；③通项公式法；④前n项和公式法；(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这五种形式)，但解答题中只能用前两种：定义法与中项公式法.
5.等差数列与等比数列的联系：
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义) 必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
探究点一　等比数列的有关概念与基本量运算:
【例1】设公比大于0的等比数列{an}的前n项和为,且数列{bn}的前n项和为,满足(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)设若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.













变式训练1：已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列{bn}满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;（2）数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．













探究点二　等比数列的判断与证明:
【例2】已知数列{an}和{bn}满足其中(1)对于任意实数，证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.









变式迁移2　已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.






探究点三　等比数列性质的应用:
【例3】（1）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9的值为 。
（2）在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
变式迁移3（1）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44的值为 。
（2）(2014江苏)在各项均为正数的等比数列中， .
探究点四　等差数列与等比数列的综合应用:
【例4】根据如图的程序框图，将输出的值依次分别记为；.（1）写出数列的通项公式；（2）求.


















变式迁移4. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{}的前n项和Sn.








当堂检测
1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 (　　)
A．3 B．1 C．0 D．－1
3．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于(　　)
A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1)
4．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
5．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.







6. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．









A案
1. （2012全国）已知{an}为等比数列，( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
2.若数列{an}满足则称{an}为“等方比数列”.甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列,则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.在等比数列{an}中，( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4. 正项等比数列{an}中，( )
A.5 B.10 C.20 D.40
5.已知数列{an}，{bn}满足则( )
A.24 B.32 C.48 D.64
6. 在等比数列{an}中，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.等比数列{an}中， .
8．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m














9．已知数列{ }为等差数列，且a1＝3，a2＝5.(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)求＋＋…＋的值．














10．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.












11. 已知数列{an}满足如图所示的程序框图．（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；（Ⅱ）写出数列{an}的一个递推关系式，并证明：{an+1﹣3an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式及前n项和Sn．























12. 已知数列满足，（且）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前项和为，若恒为一个与无关的常数，试求常数和.





















6.3等比数列及其性质
学习目标：
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.了解等比数列与指数函数的关系,能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能解决相应的问题．
自主梳理
1．等比数列的定义:(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
(2)若________________，那么G叫做a与b的等比中项, 并非任何两数总有等比中项.仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)；
2．等比数列的有关公式: 等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)通项公式：an＝________，an＝am___ (m，n∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.
3．性质：①an=cqn，即an是n的类指数型函数，系数c为；时，，即Sn是n的类指数型函数，其中，的系数与常数项互为相反数；
②当m+n=p+q时，，特例：；当2n=p+q时，；
③若均为等比数列，则、、、成等比数列；
④公比不为-1的等比数列中依次k项和成等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列，且公比为(q是原数列公比)；若q= -1，则n为偶数时，上述性质不存在；
⑤有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则＝；若总项数为奇数，则＝；
⑥等比数列的单调性：等比数列的单调性受首项和公比两个元素影响，可列表如右图所示：
4.判定数列是否等比数列的方法：
①定义法；②中项公式法；③通项公式法；④前n项和公式法；(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这五种形式)，但解答题中只能用前两种：定义法与中项公式法.
5.等差数列与等比数列的联系：
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义) 必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.
注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.但也有少数问题中研究，这时既要求项相同，也要求项数相同。
探究点一　等比数列的有关概念与基本量运算:
【例1】设公比大于0的等比数列{an}的前n项和为,且数列{bn}的前n项和为,满足(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)设若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.
解：（1）假设，则而所以，所以，
则化简得到,因为所以,所以.

因为所以，
因为是单调递减数列，所以，,即
因为n取正整数，所以，当且仅当n=1或n=2时等号成立.所以，.
变式训练1：已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列{bn}满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;（2）数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则,∵是a2和a4的等差中项，
∴，∵q＞1，∴q=2，∴
依题意，数列{bn}为等差数列，公差d=1,又，
∴b1=2，∴bn=n+1…（6分）
（2）∵．
不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）∵n∈N*…（9分）
∴对一切n∈N*恒成立．
而
当且仅当，即n=2时等式成立，∴λ≤3…（12分）
探究点二　等比数列的判断与证明:
【例2】已知数列{an}和{bn}满足其中(1)对于任意实数，证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.
解题导引　(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：
①＝q (q为与n值无关的常数)(n∈N*)．②a＝anan＋2 (an≠0，n∈N*)．
(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．
（1）解：假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则
即，所以，9=0，矛盾，所以数列{an}不是等比数列.
（2）因为,
又因为
所以当,当

变式迁移2　已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.
(1)证明　由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，
又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，
又a1＝5，a1＋1≠0，从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)得an＋1＝6·2n－1，所以an＝6·2n－1－1，于是Sn＝－n＝6·2n－n－6.
探究点三　等比数列性质的应用:
【例3】（1）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9的值为 。
（2）在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
解　(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
（2）。∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝＝×30＝.
变式迁移3（1）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44的值为 。
（2）(2014江苏)在各项均为正数的等比数列中， .
解：(1)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8.②
②÷①：＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024. （2）4。
探究点四　等差数列与等比数列的综合应用:
【例4】根据如图的程序框图，将输出的值依次分别记为；.（1）写出数列的通项公式；（2）求.
C. 解：（1）由程序框图可知，数列的递推关系式为，
所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，。--------3分
由程序框图可知，数列的递推关系式为，由可得，所以数列是等比数列，首项为3，公比为3，，。---------6分
（2）

两式相减,则
-------------12分
变式迁移4. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{}的前n项和Sn.
解　(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得＝，……(4分)
解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.…………………(7分)
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，
得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.………………………(12分)

当堂检测
1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B
2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 (　　)
A．3 B．1 C．0 D．－1
B
3．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于(　　)
A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1)
B
4．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
-9
5．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.
解题导引　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
解　由已知得＋＋＋＋＝＋＋＝＝＝2，
∴a＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则＋－2－2q－2q2＝8，即＋＋1＋q＋q2＝2＋2＋＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.
6. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
(2)证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
A案
1. （2012全国）已知{an}为等比数列，( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
2.若数列{an}满足则称{an}为“等方比数列”.甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列,则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.在等比数列{an}中，( )
A.9 B.10 C.11 D.12
5. 正项等比数列{an}中，( )
A.5 B.10 C.20 D.40
5.已知数列{an}，{bn}满足则( )
A.24 B.32 C.48 D.64
7. 在等比数列{an}中，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.等比数列{an}中， .
8．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：（I）由已知得
又
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

9．已知数列{ }为等差数列，且a1＝3，a2＝5.(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)求＋＋…＋的值．
(1)证明　设log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d (n≥2)，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，……(3分)所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，
所以＝2 (n≥2)，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)
(2)解　由(1)可得an－1＝(a1－1)·2n－1，所以an＝2n＋1，………………………(8分)
所以＋＋…＋＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.………………………………………………………………(12分)
10．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.
解　(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2(d＝0舍)．………………(2分)
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.………………………………………………………………(3分)
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.……(6分)
(2)由＋＋…＋＝an＋1得当n≥2时，＋＋…＋＝an.
两式相减得：当n≥2时，＝an＋1－an＝2.……………………………………………(9分)
∴cn＝2bn＝2·3n－1 (n≥2)．又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝.……………………………………………………………(11分)
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 010＝3＋＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.……………(14分)
11. 已知数列{an}满足如图所示的程序框图．（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；（Ⅱ）写出数列{an}的一个递推关系式，并证明：{an+1﹣3an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式及前n项和Sn．
A.解：（Ⅰ）由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式a1=1，a2=1，a n+2=5an+1﹣6an∴n=1时输出a3=5﹣6=﹣1，n=2时输出a4=5×（﹣1）﹣6=﹣11，n=3时输出a4=5×（﹣11）﹣6×（﹣1）=﹣49
（Ⅱ）数列{an}的一个递推关系式，a1=1，a2=1，a n+2=5an+1﹣6an；
则an+2﹣3an+1 =2（a n+1﹣3an），且a2﹣3a1=﹣2
∴数列{an+1﹣3an}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列
（III）由（II）有an+1﹣3an=﹣2 n ∴
∴=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）（n≥2）
=﹣×﹣×﹣×=﹣
∴an=2n﹣3n﹣1（n≥2） 当n=1时，也满足上式，故an=2n﹣3n﹣1
前n项和Sn=（2+22+23+…+2n）﹣（1+3+32+…+3n﹣1）=
12. 已知数列满足，（且）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列的前项和为，
若恒为一个与无关的常数，试求常数和.
解: （Ⅰ）由题……① ……②
由①②得：，即…………………………………………3分
当时，，，,
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故（）……………………5分
（Ⅱ），，，
是以为首项，以为公差的等差数列，…………………8分

……………………………………………10分
恒为一个与无关的常数，
解之得：， ………………………………………………………………12分




课后练习
1-----6.DCCCD D 7. 48