2021届江苏省高三高考数学全真模拟试题（一）（解析版）

这是一份2021届江苏省高三高考数学全真模拟试题（一）（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届江苏省高三高考数学全真模拟试题（一）


一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解即可.
【详解】由可得，
解得，
所以，
当时，
又，
所以，
故选：D
2．年支付宝推出的“集福卡，发红包”活动中，用户只要集齐张福卡，就可拼手气分支付宝亿元超级大红包，若活动的开始阶段，支付宝决定先从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福个福中随机选出个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有个被选中的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出富强福和友善福两个都没有被选中的概率，然后再由可得答案.
【详解】从富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福个福中随机选出个福有选法，
富强福和友善福两个都没有被选中有种选法，
所以富强福和友善福两个都没有被选中的概率为，
则富强福和友善福至少有个被选中的概率为，
故选：D．
3．新冠肺炎肆虐全，疫情波及多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊
C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
【答案】D
【分析】首先从戊的国家和语言开始分析，两侧只能是乙和丙，其余顺序唯一，可得选项．
【详解】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，
则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，
故选：D.
4．已知椭圆的焦点在x轴上，，是椭圆短轴的两个端点，F是椭圆的一个焦点，且，则m=（　　）
A． B．6 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据，是椭圆短轴的两个端点，且，易得，再由求解.
【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，
所以，
因为，是椭圆短轴的两个端点，F是椭圆的一个焦点，且，
所以,O为原点，
所以，
解得，
所以，
故选：C
5．直线与圆：相交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆半径，由余弦定理求得，然后由数量积的定义求得数量积．
【详解】圆标准方程为，圆心半径为，
中，
∴．
故选：A．
6．已知的展开式中所有项的系数之和为-64，则其常数项为（ ）
A．-25 B．-5 C．20 D．55
【答案】A
【分析】令可得所有项的系数，进而得，再由的展开式和相乘可得常数项.
【详解】令可得的展开式中所有项的系数之和为，
解得，
展开式的通项公式为：，
展开式中的常数项为：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.
7．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解.
【详解】由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为，
显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列求和公式得： .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以为首项，以为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.
8．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.
【详解】依题意，，故，则，即，故，令，
则，解得，故，
故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，
故选：B．

【点睛】方法点睛：本题考查构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：
（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘移项后就得到除法对应导数公式；
（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.

二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C． D．
【答案】AD
【分析】利用复数的四则运算可得，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解.
【详解】，

复数在复平面内对应的点在第一象限，故AD正确.
故选：AD
10．已知函数将的图像向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数
B．函数的单调递减区间为
C．直线是函数的图象的对称轴
D．函数在上的最小值为
【答案】BD
【分析】先根据图像的平移变换以及伸缩变换求出，对A，利用函数奇偶性的定义即可证明；对B，根据的单调性，整体代入即可求出的单调递减区间；对C，根据的对称轴，整体代入即可求出的对称轴；对D，根据以及的值域即可求出在上的最小值.
【详解】解：将的图像向右平移个单位长度得到，
再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，
故，
对A，的定义域为关于原点对称，
且，
故是奇函数，即A错误；
对B，令，
解得：，
故的单调递减区间为，即B正确；
对C，令，
解得：，
故的对称轴为：，即C错误；
对D，当时，，
则，
故，
故在上的最小值为，即D正确.
故选：BD.
11．某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD.
【详解】解：记该游客游览个景点为事件，，
则，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；
随机变量的可能取值为
，
，
，故B正确；
，
，故C错误；
数学期望为：，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（　　）
A．C的方程为（x+4）2+y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
【答案】BC
【分析】设P（x，y），运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；
假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；
当A，B，P三点不共线时，由，由角平分线定理的逆定理，可判断C；
若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断D．
【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，
设P（x，y），则 ，
化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，
可设D（m，0），E（n，0），可得2，
化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，
由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，
解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；
当A，B，P三点不共线时，由，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；
若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），即有2，
化简可得x2+y2x0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．
故选：BC．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．


三、填空题
13．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，得到，即可求得的横坐标.
【详解】设点，因为，
根据抛物线的定义，可得，解得，
即点的横坐标为.
故答案为：2
14．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为_________.
【答案】
【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合面积公式，即可求解.
【详解】作出半球和正方体的轴截面，如图所示，
设求得的半径为，
因为正方体的棱长为1，所以正方体的对角线长，
在直角中，，
半球的表面积为.
故答案为：.

15．已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值______________.
【答案】16
【分析】解出函数的定点，代入直线方程得，用“1”的替换及均值不等式计算即可.
【详解】解：指数函数的定点为，
因为直线方程定点，
所以，即
则

当且仅当即时取得最小值.
故答案为：16
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

四、双空题
16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为.已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则________，环体体积为_________.

【答案】
【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环体的体积，得到答案.
【详解】画出示意图，可得，，
其中，，
故，即，
环体体积为.


五、解答题
17．数列前项和为，满足：，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求和：.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由递推关系结合可得即可证明；
（2）由（1）求出，分组求和法即可求出.
【详解】（1）由可得，即
∵，，
∴，∴，
∴对任意恒成立，
故数列是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）知：，即，
故.
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．
（1）已知第天的报名人数为，求关于的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．
（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：

有兴趣
无兴趣
合计
男生
45
5
50
女生
30
20
50
合计
75
25
100
请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”
参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；
，其中．

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1），25；（2）在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.
【分析】（1）利用最小二乘法直接求解回归方程，进而预测第7天的报名人数；
（2）根据列联表直接求得，进而判断.
【详解】解：（1）时间的平均数为，
报名人数的平均数为，
所以，
，
所以线性回归方程为，
把代入得，所以第7天的报名人数约为25．
（2）由列联表数据可得
因为，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．
【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.

（1）证明：；
（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）要求证；只需根据线面垂直判断定理求证平面，即可求得答案.
（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，根据，即可求得答案.
【详解】（1）连接交于，

底面为菱形，
.
，为的中点，
.
又，平面，平面，
平面.
又平面，
.
（2）因为，为的中点，
.
又平面底面，平面底面，平面，
底面，
，，两两垂直.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

与底面所成的角即为，
.
设，则，，
，，，
，.
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，得，
又平面的一个法向量为，
.
又二面角为锐角，
二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.
（1）求拋物线的方程.
（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.
【答案】（1）；（2）存在这样的，当时，坐标为.
【分析】（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到，由三角形面积列出方程求出，即可得出抛物线方程；
（2）先设，直线的方程为，根据直线与抛物线相切，得到，进而推出的方程为，根据，得到方程，由两直线方程，即可求出，确定出结果.
【详解】（1）由题意得，点的纵坐标均为，由，解得，
则，
由，解得，
故抛物线的方程为.
（2）假设存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点，
设，直线的方程为，
将抛物线方程变形为，则，
所以，
所以的方程为.
因为，所以直线的方程为.
把代入的方程得.
同理可得
构造直线方程为，易知两点均在该直线上，
所以直线的方程为.
故恒过点.
因为，
所以可设方程为，化简得
所以恒过点.
当，即时，与均恒过，
故存在这样的，当时，坐标为.
【点睛】关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于用分别表示出直线和的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线的方程，由直线与抛物线相切，得出直线方程，推出的方程，进而确定的方程，即可求解.
22．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）为自然对数的底数，若时，恒成立，证明：.
【答案】（1）的递减区间为，递增区间为；（2）证明见解析.
【分析】（1）当时，求导，知在上单调递增，又，求的单调区间；
（2）求导，结合零点存在性定理知存在唯一的，使，得，求出的最小值，推出，构造函数，利用导数求出极小值，即可证得结论.
【详解】（1）当时，，
在上单调递增， 又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，的递减区间为，递增区间为.
（2）在上单调递增，
，，，
由零点存在性定理知，存在唯一的，
使，即，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值即的最小值,

又恒成立，
，得，
，
设，
求导
，令，得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，极小值 ，
即.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，常用的方法：
①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．
②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．