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人教版 (新课标)必修22.功学案
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这是一份人教版 (新课标)必修22.功学案，共9页。学案主要包含了变式1—1，变式2 —1，变式2—2，考题3 ，变式3—1，变式4—1，变式5—1，变式6—1等内容，欢迎下载使用。
第15讲 功
考点l 力是否做功及做功的正负的判断
力与物体在力的方向上发生的位移是做功的两个不可缺少的因素，缺少任一个因素，该力不做功。
判断一个力做功的正负，关键看这个力与物体位移的夹角或力对物体运动所取的作用。
力对物体做功总是和一定的运动过程对应的，因此功是一个过程量。功描述的是力的空间积累效应。
功是标量。只有大小，没有方向，但功有正负。功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质（效果），反映力对物体产生位移所起的作用。功为正，仅表示力对物体的运动起推动作用(动力)；功为负，仅表示力对物体的运动起阻碍作用(阻力)。
【考题l】在加速运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图l6一l所示，人相对于车厢静止，则下列说法中正确的是( )．
A．人对车不做功 B．人对车做正功
C．人对车做负功 D．人的推力对车做正功
【解析】车厢运动的方向与人对车厢推力的方向相同，推力对车厢做正功，选项D正确。
车厢对人的作用力有：车厢对人的弹力F’、车厢底对人的支持力N’、车厢底对人的静摩擦力f’，如图16—2甲所示。由于人和车厢一起向左加速运动，所以有
． ①
如图l6—2乙所示，人对车厢的作用力有：推力F、对车厢底的压力N、对车厢底的静摩擦力f．F对车厢做正功，N对车厢不做功，f对车厢做负功，在车厢发生位移L的过程中，人对车厢做的功
． ②
根椐牛顿第三定律，有
． ④
①②③式联立得，即人对车做负功，选项C正确．
【答案】 C、D
【变式1—1】下列现象中，做了功的是( )．
A．人推墙而墙不动时人的推力 B．在平直公路上行驶的汽车受的重力
C，马拉车而拉不动时马的拉力 D．起重机向上吊起货物时悬绳的拉力
考点2 对功的概念及公式W=F·Lcosα的理解
某个力做功的数值总等于力与物体在该力方向上位移之积，而与该物体是否受其他力及物体的运动性质无关。
功的表达式：．其中L是物体相对于地的位移的大小，α是力与物体位移的夹角。这个公式可以理解为力F对物体做的功等于力F与物体的位移在力的方向上投影的乘积，即也可以理解为力F对物体做的功等于力F在物体位移方向上的投影与位移的乘积，即．
①功是一个标量，只有大小没有方向，因此物体所受合外力做的功等于其各个分力所做的功的代数和。
②功的表达式不具有普适性，只能用来直接计算恒定的力（大小方向都不变的力）所做功，对于变力做功则不能直接使用。
③功的公式中的F和L必须具有同时性：计算力F做功时所发生的位移，必须是在同一个力F持续作用下发生的。
④F和L是对应于同一个物体的，而且某个恒力做功的大小仅由F、L和两者的夹角α决定。与物体是否受其他外力、其他外力是否做功及做功多少、物体的运动性质等都无关。
⑤公式中的L必须是物体对地面的位移。
⑥功还具有相对性，只有在确定的参考系中才有确定值，因为位移L是相对参照物而言的，计算时必须选取同一参照物(一般选地面)，相对不同参照物的功的意义是不同的。
由知
(1)当O≤α＜900时．cosα＞，W＞0，表示F对物体做正功；
(2)当α＝900时，COsα＝0．W＝0，表示F对物体不做功；
(3)当900＜α≤l800时，cosaα＜0，W＜0，表示F对物体做负功.
【考题2】有下列几种运动情况
a．用水平推力F推一质量为m的物体在光滑水平面上前进位移L
b．用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙水平面上前进位移L
C．用与水平方向成600角斜向上的拉力F拉一质量为m的物体在光滑水平地面上前进位移2L
d．用与斜面平行的力F拉一质量为3m的物体在光滑斜面上前进位移L
关于以上四种情况下拉力F做功多少的判断正确的是( )．
A．b情况做功最多 B．a情况做功最多
C．d情况做功最少 D．四种情况做功一样多
【解析】根据功的计算公式找出每一具体的物理情景中计算功的各个量，然后代入中计算，可得到正确的判断。
【答案】 D
【变式2 —1】用水平恒力F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离为L．恒力做功为W1；再用该恒力作用于质量为m(m的质量小于M的质量)的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样距离L，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )．
A．Wl＞W2 B．Wl＜W２ C．Wl＝W2 D．无法判断
【变式2—2】质量为m的物块放在光滑的水平面上．绳经滑轮与水平方向成α角．用大小为F的力拉物块。如图l6—3所示，将物块由A点拉至B点，前进L求拉力对物块所做的功。
考点3 恒力及多个恒力总功的求解
总功的求解可用或。两种方法计算。
总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合=F合Lcosα计算。
②由计算各个力对物体做的功W1、W2、…、WN。然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W１＋W２＋…＋WN进行计算。
③多过程中合力的功的计算，既可对每一个分力在各过程中的功求代数和，也可以对各过程中每一段的合力的功求代数和。
要注意：
(1)求功时对物体进行正确的受力分析仍是基础性的环节和步骤。
(2)要区分各分力做的功与合力做的功。
(3)求总功时由两种方法计算出的总功是相等的。
一般说来，由各分力功的代数和求总功较简单些。因为标量运算一般要比矢量运算简单。
【考题3 】如图l6—4所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m=20kg，斜面倾斜角θ＝370，斜面的长度L＝0．5m；货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0．2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中合力做的总功．(g取10m／s2)
【解析】解法一:斜面上的货物受到重力G、斜面支持力N和摩擦力，共三个力的作用。可以看出：三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做功WG＝mgＬsin370=20×10×0．5×0．6J＝60J，支持力做功W＝=０J，摩擦力对货物做负功，Wf＝(μmgcos370)Lcosl800＝一０．2×20×10×0．8×0．5J＝一l6 J．所以，外力做的总功W＝wG＋WN＋Wf＝(60＋O－16)J＝44J．
解法二：如图16—5所示，将重力G分解为与斜面平行的力F１和与斜面垂直的力F2，则F１＝mgsin370一20×10×0．6N=120N，N＝F2＝mgcos370＝20×10×0．8N＝160N，f＝μN＝0．2×160N＝32N，所以F合＝Fl一f＝88N，所以W＝F合L＝88×0．5J＝44J．
【变式3—1】如图16—6所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ．现使斜面水平向左匀速移动距离L．试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功：
(4)斜面对物体做的功是多少?各力对物体所做的总功是多少?
考点4 运用微元法求解变力的功
大小不变而方向变化的力做功与路径有关，可用微元法分割成小段，将变力转化为恒力进行功的求解。
滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为FL，整个运动过程中所做的功是力与各小段路程大小之和的积，即WF＝F·L路程．
【考题4】在水平面上，有一弯曲的槽道AB．槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成（图16—7)。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )．
A．0 B．FR C．3πFR/2 D．2πFR
【解析】用微元分割法，把整个运动过程分割成多个微元过程，把轨道AB分割成多个小段，每一小段的长度ΔＬ，在每一个微元过程中，拉力F可视为恒力，轨道可视为直线，拉力F做的元功ΔW＝F·ΔＬ 由A到B过程中拉力F所做的总功
W＝nＦ·△Ｌ＝3πFR/2．
【答案】C
【变式4—1】用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图16—8所示，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。
考点5 运用F—L图象求变力的功
力与位移的图象中，图线与横轴所围成的面积等于对应的该段位移上力所做的功。
利用力——位移图象可求功．功是力在位移上的积累效果。如图l6—11甲所示表示力的力——位移图象。纵坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下画有斜线部分的面积。如图l6-11乙所示变力的力——位移图象，曲线下方画有斜部分的面积就表示变力所做的功。
F-L图象所围面积等于该段位移上力所做的功，面积为正时，功亦为正；面积为负时，功亦为负。若要求变力F的总功，则将所有正、负面识相加，代数和即等于变力F的总功。
【考题5】如图l6—9所示，图线表示作用在做直线运动的物体上的合外力与物体运动距离的对应关系，物体开始时处于静止状态，则当物体在外力的作用下，运动30m的过程中，合外力对物体做的功为 J．
【解析】物体在运动30m的过程中，合外力是变力，不能直接用公式W=FLcosα来计算功。但题中给出了F-L图象，可用F-L图线与纵、横轴包围的面积来计算。故物体运动30m的过程中，合外力对物体做的功
W＝8×20J＋4×(30—20)J＝200J．
【答案】200．
【变式5—1】某力随位移变化的图象是一条正弦曲线，如图l6一10所示，则在8m的位移内该力做的总功w总＝ J．
考点6 运用平均力求变力的功
方向恒定，大小随位移线性变化的力的功．
方向不变，大小随位移线性变化的力，其平均力应为对位移的平均，其大小即为最小值Fmin与最大值Fmax之和的一半．
【考题6】用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子的进入深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同。已知击打第一次时，钉子进入木板内1cm，则击第二次时，钉子进入木板的深度是多少?
【解析】公式只适用于求恒力做的功。实际问题中变力是常见的，若力随位移是均匀变化的，可将变力等效成大小、方向不变的平均力来计算功。
设x为钉子进入木板的深度，k为比例系数，则木板对钉子的阻力，f＝kx，击第一次时，钉子进入木板的深度为x1＝lcm，则这一过程中的平均力
锤子对钉子做的功．
设击第二次时，钉子进入木板的总深度为x2，则这一过程中的平均力
锤子对钉子做的功．
依题意有W1＝W2，联立解得．所以击第二次时钉子进入木板的深度为
【变式6—1】如图16—13所示，某人用竖直向上的力匀速提起长为L、质量为m的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功。
考点7 摩擦力做功问题
不论是滑动摩擦力还是静摩擦力，对物体都有不做功、做正功和做负功三种情形．
摩擦力做功的多种情形：
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功。
如图l6一15所示，物块A从斜槽上滑下，最后停在固定的平板车B上。在物块A与平板车B相对滑动的过程中，平板车B所受的滑动摩擦力不做功。
如图l6—16所示，有一水平圆形转盘绕竖直轴以ω转动,在离轴心为r处有一质量为m的木块随圆盘一起做匀速圆周运动。在转动过程中，木块m有沿半径向外运动的趋势，则它所受静摩擦力方向沿半径指向圆心，所以该力始终与速度方向垂直，此种情况下木块所受的静摩擦力对它不做功。
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功。
在图16一l5中，在物体A与平板车B相对滑动的过程中，物块所受的滑动摩擦力对物块做负功。
如图l6一l7所示，在一与水平方向夹角为θ的传送带上，有一物体A随传送带一起匀速向下运动，在这里静摩擦力对物体A做负功。
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
在图16一15中，如果平板车不固定，且B的上表面光滑，在物块A滑上平板车B的过程。物块对平板车的滑动摩擦力与平板车运动方向相同，在这里滑动摩擦力对平板车做正功。
在图16—17中，如果物体A随传送带一起匀速向上运动，物体A所受静摩擦力与物体位移方向一致，静摩擦力对物体A做正功。
【考题7】水平传送带以2m/s的速度匀速运动。将一质量为2kg的工件沿竖直向下方向轻轻放在传送带上(设传送带速度不变)，如图16—14所示。工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0．2，放手后工件在5s内的位移是多少?摩擦力做的功是多少?
【解析】工件放到传送带上后，受到重力、支持力和摩擦力作用，重力和支持力相互平衡，物体在摩擦力作用下加速运动。在物体的速度小于传送带速度之前，两者始终存在着相对运动，当速度相等时，物体随传送带一起匀速运动，此时摩擦力消失。题中未告诉AB间的距离，可以认为是足够长，因而物体一定能达到匀速运动的状态。工件5s内的位移及摩擦力做功取决于工件的加速度，则可能出现两种情况：(1)在5s内一直加速，即5s末速度还未达到2m/s．(2)5s前速度已达到2m/s．达到2m/s的速度后物体在余下的时间内随传送带一起匀速运动，这段时间内因无相相互作用的摩擦力，故没有摩擦力做功问题。
物体只有摩擦力对它产生加速度，由牛顿第二定律可知．
由运动学知，达到v=2m/s的速度所用时间为：．
位移为：．
由以上计算可知，物体经1 s速度达到2m/s，而以后物体和传送带一起匀速运动。所以工件在5s内的位移．在物体与传送带一起运动之前才有摩擦力存在，所以摩擦力对物体做功为： ．
【变式7—1】质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点在木板上前进了L，而木板前进了，如图16—18所示。若滑块与木板间摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少?
考点8 一对相互作用力做功
一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功。
作用力和反作用力做功没有一定关系，因为根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力分别作用在发生相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，所以两个物体在相互作用力方向上的位移并没有必然联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有一定的联系
一对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零．而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒为负值。
【考题8】如图l6—l9所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移。用F拉、fB、fA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是( )．
A. F做正功，fB做负功，fA做正功，F拉不做功
B．F、fB做正功，fA、F拉不做功
C．F做正功，fB做负功，fA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
【解析】据可知，力F作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳子中拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；fA作用点的位移为零，fA不做功；fB作用点的位移不为零，且与B的位移反向，所以fB做负功．
【答案】C
【变式8—1】关于作用力与反作用力做功，下列说法中正确的是( )．
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B．当作用力不做功时，反作用力也不做功
C．它们做的功一定大小相等，正负符号相反 D. 作用力做正功时，反作用力也可能做正功
考点9 功与其他力学知识的综合
在功与牛顿运动定律、运动学知识等结合的综合问题中，求解思路仍是通过其他知识先求出F和L，再按功的公式求解某力做的功．
【考题9】一个质量为4kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦闲数μ＝O．１.从t＝0开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图l6—20所示．求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功．(g取10m／s2)．
【解析】一个运动周期的时间为4秒，半个周期t=2秒，物体所受到的摩擦力大小为 ．
前2秒内物体的加速度大小为:
2秒～4秒物体的加速度大小为:
前4秒的位移
一个周期的位移为8m，十个周期的位移为80m。且最后1秒的位移为：x0＝3m.
83秒内的位移为．
83秒内外力F对物体做的功
【变式9—1】一物体静止在光滑水平面上，先对物体向右施一水平力F1，经过一定时间后撤去F1，立即对物体施加一水平向左的力F2，又经过相同时间后，物体回到出发点，在这一过程中力Fl和F2分别对物体做的功W1和W2的关系是( )．
A．Wl＝W2 B. W2＝2Wl C．W2＝3Wl D．W2＝5W1
专 项 测 试
学业水平测试
1．[考点l]如图所示，升降机以速度v向上做匀速运动，物体m相对斜面静止，则物体所受各个力做功情况正确的是( )．
A．静摩擦力对物体做负功 B. 重力对物体做负功
C. 支持力对物体不做功 D. 物体m所受合外力对物体不做功
2．[考点2]如图所示，力F大小相等，物体运动的位移L也相同，下列情况F做功最少的是( )．
3．[考点3、4]如图所示，半径为R、孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程摩擦力对小球做功分别为W1和W2．在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列说法中正确的是( ).
A．Wl＞W２ B. W1＝W2 C．W3＝0 D．W3＝W1＋W2
4．[考点1]如图所示，质量相同的两个物体分别自斜面AC和BC的顶点由静止开始下滑，两物体与斜面的动摩擦因数相同。物体滑到斜面底部时，在滑行过程中克服摩擦力所做的功分别为WA和WB，则下面判断正确的是( )．
A．WA＝WB B．WA＞WB C．WA＜WB D．无法判断
5．[考点l0、ll]关于摩擦力做功的下列说法中不正确的是( )．
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．系统内相互作用的两物体间一对摩擦力做功的总和等于零
6．[考点2]一学生用l00N的力将质量为0．5kg的球迅速踢出，球在水平面上滚动20m远，则该学生对球做的功是( )．
A．2000J B．1000J C. l6J D．无法确定
7．[考点4、7]以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )．
A O B. －Fh C．一2Fh D．－4Fh
8．[考点3]如图所示，两个互相垂直的力F１和F２作用在同一物体上，使物体运动，物体通过一段位移时，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1和F2的合力对物体做功为( )．
A．7J B．1J C. 5J D．3.5J
9．[考点4]如图所示，小球用细线拴住在光滑的水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，小球的质量是0．1kg．线速度v=lm/s．小球由A点运动到B点恰好是半个圆周，那么在这段运动中线的拉力做的功是( )． A．0 B．0．1J C．0.314J D．无法确定
10．[考点2、4]如图所示．人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为L，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
高考水平测试
1．[考点l]一人乘电梯从l楼到20楼．在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程。则电梯支持力对人做功的情况是( )．
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D. 始终做正功
2．[考点2、4]起重机吊钩下挂一质量为m的水泥袋，如果水泥袋以加速度a匀减速下降了距离，则水泥袋克服钢索拉力做的功为( ).
A．mgh B．m (g－a)h C．m(g＋a)h D．m(a—g)h
3．[考点3、7]水平传送带匀速运动．速度大小为v．现将一工件放到传送带上，设工件初速度为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件的质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为μ，则在工件相对传送带滑动的过程中( ).
A．滑动摩擦力对工件做的功为 B．工件的机械能增量为
C．工件相对于传送带的位移大小为 D. 带对工件做功为零
4．[考点l、7、8]一根木棒沿水平桌面经距离L从A运动到B，如图所示。若棒与桌面的摩擦力大小为f，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做的功各为( ).
A．一fL，一fL B. fL，一fL
C．0，一fL D．－fL 0
5。[考点l、8]如图所示，A、B叠加在一起，在水平力F的作用下，沿水平面一起向右加速，则( )
A. A、B间的摩擦力对A做正功 B．A、B间的摩擦力对A做负功
C．A、B间的摩擦力对B做正功 D．A、B间的摩擦力对B做负功
6．[考点l、8]如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送到皮带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是( )．
A．摩擦力对物体P做正功 B．物体P克服摩擦力做功
C．皮带克服摩擦力做功 D．摩擦力对皮带不做功
7．[考点5]质量是2kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动。物体运动的速度图象如图所示，若物体所受摩擦力为1ON，则下列说法中正确的是( )．
A．拉力做功l50J B．拉力做功lOOJ
C．摩擦力做功250J D．物体克服摩擦力做功250J
8．[考点6]用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( ).
A． B． C. . D．
9．[考点7]如图所示，质量为m，的木板长为L，放在光滑的水平地面上。质量也为m的小木块叠放在木板的右端，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ，木块和木板用跨过定滑轮的轻绳连接。滑轮的摩擦不计，现用水平向右的力将木板向右拉，使小木块移到木板的左端，此拉力至少做功 。
10．[考点5、6]如图所示，水平弹簧劲度系数k＝500N／m，用一外力推物块，使弹簧压缩l0cm而静止。突然撤去外力F，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功?(弹簧与物块没连接)
11．[考点l、2、9]如图所示，车间内的天车(有的地区叫行车)将一重l04 N的物体沿着与水平方向成300角的方向匀速吊起，使物体向斜上方移动了6m，则天车钢绳对物体的拉力做了多少功?如果又使物体水平移动8m，这个过程中天车钢绳的拉力又做了多少功?
第15讲 功
考点l 力是否做功及做功的正负的判断
力与物体在力的方向上发生的位移是做功的两个不可缺少的因素，缺少任一个因素，该力不做功。
判断一个力做功的正负，关键看这个力与物体位移的夹角或力对物体运动所取的作用。
力对物体做功总是和一定的运动过程对应的，因此功是一个过程量。功描述的是力的空间积累效应。
功是标量。只有大小，没有方向，但功有正负。功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质（效果），反映力对物体产生位移所起的作用。功为正，仅表示力对物体的运动起推动作用(动力)；功为负，仅表示力对物体的运动起阻碍作用(阻力)。
【考题l】在加速运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图l6一l所示，人相对于车厢静止，则下列说法中正确的是( )．
A．人对车不做功 B．人对车做正功
C．人对车做负功 D．人的推力对车做正功
【解析】车厢运动的方向与人对车厢推力的方向相同，推力对车厢做正功，选项D正确。
车厢对人的作用力有：车厢对人的弹力F’、车厢底对人的支持力N’、车厢底对人的静摩擦力f’，如图16—2甲所示。由于人和车厢一起向左加速运动，所以有
． ①
如图l6—2乙所示，人对车厢的作用力有：推力F、对车厢底的压力N、对车厢底的静摩擦力f．F对车厢做正功，N对车厢不做功，f对车厢做负功，在车厢发生位移L的过程中，人对车厢做的功
． ②
根椐牛顿第三定律，有
． ④
①②③式联立得，即人对车做负功，选项C正确．
【答案】 C、D
【变式1—1】下列现象中，做了功的是( )．
A．人推墙而墙不动时人的推力 B．在平直公路上行驶的汽车受的重力
C，马拉车而拉不动时马的拉力 D．起重机向上吊起货物时悬绳的拉力
考点2 对功的概念及公式W=F·Lcosα的理解
某个力做功的数值总等于力与物体在该力方向上位移之积，而与该物体是否受其他力及物体的运动性质无关。
功的表达式：．其中L是物体相对于地的位移的大小，α是力与物体位移的夹角。这个公式可以理解为力F对物体做的功等于力F与物体的位移在力的方向上投影的乘积，即也可以理解为力F对物体做的功等于力F在物体位移方向上的投影与位移的乘积，即．
①功是一个标量，只有大小没有方向，因此物体所受合外力做的功等于其各个分力所做的功的代数和。
②功的表达式不具有普适性，只能用来直接计算恒定的力（大小方向都不变的力）所做功，对于变力做功则不能直接使用。
③功的公式中的F和L必须具有同时性：计算力F做功时所发生的位移，必须是在同一个力F持续作用下发生的。
④F和L是对应于同一个物体的，而且某个恒力做功的大小仅由F、L和两者的夹角α决定。与物体是否受其他外力、其他外力是否做功及做功多少、物体的运动性质等都无关。
⑤公式中的L必须是物体对地面的位移。
⑥功还具有相对性，只有在确定的参考系中才有确定值，因为位移L是相对参照物而言的，计算时必须选取同一参照物(一般选地面)，相对不同参照物的功的意义是不同的。
由知
(1)当O≤α＜900时．cosα＞，W＞0，表示F对物体做正功；
(2)当α＝900时，COsα＝0．W＝0，表示F对物体不做功；
(3)当900＜α≤l800时，cosaα＜0，W＜0，表示F对物体做负功.
【考题2】有下列几种运动情况
a．用水平推力F推一质量为m的物体在光滑水平面上前进位移L
b．用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙水平面上前进位移L
C．用与水平方向成600角斜向上的拉力F拉一质量为m的物体在光滑水平地面上前进位移2L
d．用与斜面平行的力F拉一质量为3m的物体在光滑斜面上前进位移L
关于以上四种情况下拉力F做功多少的判断正确的是( )．
A．b情况做功最多 B．a情况做功最多
C．d情况做功最少 D．四种情况做功一样多
【解析】根据功的计算公式找出每一具体的物理情景中计算功的各个量，然后代入中计算，可得到正确的判断。
【答案】 D
【变式2 —1】用水平恒力F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离为L．恒力做功为W1；再用该恒力作用于质量为m(m的质量小于M的质量)的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样距离L，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )．
A．Wl＞W2 B．Wl＜W２ C．Wl＝W2 D．无法判断
【变式2—2】质量为m的物块放在光滑的水平面上．绳经滑轮与水平方向成α角．用大小为F的力拉物块。如图l6—3所示，将物块由A点拉至B点，前进L求拉力对物块所做的功。
考点3 恒力及多个恒力总功的求解
总功的求解可用或。两种方法计算。
总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合=F合Lcosα计算。
②由计算各个力对物体做的功W1、W2、…、WN。然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W１＋W２＋…＋WN进行计算。
③多过程中合力的功的计算，既可对每一个分力在各过程中的功求代数和，也可以对各过程中每一段的合力的功求代数和。
要注意：
(1)求功时对物体进行正确的受力分析仍是基础性的环节和步骤。
(2)要区分各分力做的功与合力做的功。
(3)求总功时由两种方法计算出的总功是相等的。
一般说来，由各分力功的代数和求总功较简单些。因为标量运算一般要比矢量运算简单。
【考题3 】如图l6—4所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m=20kg，斜面倾斜角θ＝370，斜面的长度L＝0．5m；货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0．2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中合力做的总功．(g取10m／s2)
【解析】解法一:斜面上的货物受到重力G、斜面支持力N和摩擦力，共三个力的作用。可以看出：三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做功WG＝mgＬsin370=20×10×0．5×0．6J＝60J，支持力做功W＝=０J，摩擦力对货物做负功，Wf＝(μmgcos370)Lcosl800＝一０．2×20×10×0．8×0．5J＝一l6 J．所以，外力做的总功W＝wG＋WN＋Wf＝(60＋O－16)J＝44J．
解法二：如图16—5所示，将重力G分解为与斜面平行的力F１和与斜面垂直的力F2，则F１＝mgsin370一20×10×0．6N=120N，N＝F2＝mgcos370＝20×10×0．8N＝160N，f＝μN＝0．2×160N＝32N，所以F合＝Fl一f＝88N，所以W＝F合L＝88×0．5J＝44J．
【变式3—1】如图16—6所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ．现使斜面水平向左匀速移动距离L．试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功：
(4)斜面对物体做的功是多少?各力对物体所做的总功是多少?
考点4 运用微元法求解变力的功
大小不变而方向变化的力做功与路径有关，可用微元法分割成小段，将变力转化为恒力进行功的求解。
滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为FL，整个运动过程中所做的功是力与各小段路程大小之和的积，即WF＝F·L路程．
【考题4】在水平面上，有一弯曲的槽道AB．槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成（图16—7)。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )．
A．0 B．FR C．3πFR/2 D．2πFR
【解析】用微元分割法，把整个运动过程分割成多个微元过程，把轨道AB分割成多个小段，每一小段的长度ΔＬ，在每一个微元过程中，拉力F可视为恒力，轨道可视为直线，拉力F做的元功ΔW＝F·ΔＬ 由A到B过程中拉力F所做的总功
W＝nＦ·△Ｌ＝3πFR/2．
【答案】C
【变式4—1】用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图16—8所示，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。
考点5 运用F—L图象求变力的功
力与位移的图象中，图线与横轴所围成的面积等于对应的该段位移上力所做的功。
利用力——位移图象可求功．功是力在位移上的积累效果。如图l6—11甲所示表示力的力——位移图象。纵坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下画有斜线部分的面积。如图l6-11乙所示变力的力——位移图象，曲线下方画有斜部分的面积就表示变力所做的功。
F-L图象所围面积等于该段位移上力所做的功，面积为正时，功亦为正；面积为负时，功亦为负。若要求变力F的总功，则将所有正、负面识相加，代数和即等于变力F的总功。
【考题5】如图l6—9所示，图线表示作用在做直线运动的物体上的合外力与物体运动距离的对应关系，物体开始时处于静止状态，则当物体在外力的作用下，运动30m的过程中，合外力对物体做的功为 J．
【解析】物体在运动30m的过程中，合外力是变力，不能直接用公式W=FLcosα来计算功。但题中给出了F-L图象，可用F-L图线与纵、横轴包围的面积来计算。故物体运动30m的过程中，合外力对物体做的功
W＝8×20J＋4×(30—20)J＝200J．
【答案】200．
【变式5—1】某力随位移变化的图象是一条正弦曲线，如图l6一10所示，则在8m的位移内该力做的总功w总＝ J．
考点6 运用平均力求变力的功
方向恒定，大小随位移线性变化的力的功．
方向不变，大小随位移线性变化的力，其平均力应为对位移的平均，其大小即为最小值Fmin与最大值Fmax之和的一半．
【考题6】用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子的进入深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同。已知击打第一次时，钉子进入木板内1cm，则击第二次时，钉子进入木板的深度是多少?
【解析】公式只适用于求恒力做的功。实际问题中变力是常见的，若力随位移是均匀变化的，可将变力等效成大小、方向不变的平均力来计算功。
设x为钉子进入木板的深度，k为比例系数，则木板对钉子的阻力，f＝kx，击第一次时，钉子进入木板的深度为x1＝lcm，则这一过程中的平均力
锤子对钉子做的功．
设击第二次时，钉子进入木板的总深度为x2，则这一过程中的平均力
锤子对钉子做的功．
依题意有W1＝W2，联立解得．所以击第二次时钉子进入木板的深度为
【变式6—1】如图16—13所示，某人用竖直向上的力匀速提起长为L、质量为m的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功。
考点7 摩擦力做功问题
不论是滑动摩擦力还是静摩擦力，对物体都有不做功、做正功和做负功三种情形．
摩擦力做功的多种情形：
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功。
如图l6一15所示，物块A从斜槽上滑下，最后停在固定的平板车B上。在物块A与平板车B相对滑动的过程中，平板车B所受的滑动摩擦力不做功。
如图l6—16所示，有一水平圆形转盘绕竖直轴以ω转动,在离轴心为r处有一质量为m的木块随圆盘一起做匀速圆周运动。在转动过程中，木块m有沿半径向外运动的趋势，则它所受静摩擦力方向沿半径指向圆心，所以该力始终与速度方向垂直，此种情况下木块所受的静摩擦力对它不做功。
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功。
在图16一l5中，在物体A与平板车B相对滑动的过程中，物块所受的滑动摩擦力对物块做负功。
如图l6一l7所示，在一与水平方向夹角为θ的传送带上，有一物体A随传送带一起匀速向下运动，在这里静摩擦力对物体A做负功。
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
在图16一15中，如果平板车不固定，且B的上表面光滑，在物块A滑上平板车B的过程。物块对平板车的滑动摩擦力与平板车运动方向相同，在这里滑动摩擦力对平板车做正功。
在图16—17中，如果物体A随传送带一起匀速向上运动，物体A所受静摩擦力与物体位移方向一致，静摩擦力对物体A做正功。
【考题7】水平传送带以2m/s的速度匀速运动。将一质量为2kg的工件沿竖直向下方向轻轻放在传送带上(设传送带速度不变)，如图16—14所示。工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0．2，放手后工件在5s内的位移是多少?摩擦力做的功是多少?
【解析】工件放到传送带上后，受到重力、支持力和摩擦力作用，重力和支持力相互平衡，物体在摩擦力作用下加速运动。在物体的速度小于传送带速度之前，两者始终存在着相对运动，当速度相等时，物体随传送带一起匀速运动，此时摩擦力消失。题中未告诉AB间的距离，可以认为是足够长，因而物体一定能达到匀速运动的状态。工件5s内的位移及摩擦力做功取决于工件的加速度，则可能出现两种情况：(1)在5s内一直加速，即5s末速度还未达到2m/s．(2)5s前速度已达到2m/s．达到2m/s的速度后物体在余下的时间内随传送带一起匀速运动，这段时间内因无相相互作用的摩擦力，故没有摩擦力做功问题。
物体只有摩擦力对它产生加速度，由牛顿第二定律可知．
由运动学知，达到v=2m/s的速度所用时间为：．
位移为：．
由以上计算可知，物体经1 s速度达到2m/s，而以后物体和传送带一起匀速运动。所以工件在5s内的位移．在物体与传送带一起运动之前才有摩擦力存在，所以摩擦力对物体做功为： ．
【变式7—1】质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点在木板上前进了L，而木板前进了，如图16—18所示。若滑块与木板间摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少?
考点8 一对相互作用力做功
一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功。
作用力和反作用力做功没有一定关系，因为根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力分别作用在发生相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，所以两个物体在相互作用力方向上的位移并没有必然联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有一定的联系
一对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零．而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒为负值。
【考题8】如图l6—l9所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移。用F拉、fB、fA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是( )．
A. F做正功，fB做负功，fA做正功，F拉不做功
B．F、fB做正功，fA、F拉不做功
C．F做正功，fB做负功，fA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
【解析】据可知，力F作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳子中拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；fA作用点的位移为零，fA不做功；fB作用点的位移不为零，且与B的位移反向，所以fB做负功．
【答案】C
【变式8—1】关于作用力与反作用力做功，下列说法中正确的是( )．
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B．当作用力不做功时，反作用力也不做功
C．它们做的功一定大小相等，正负符号相反 D. 作用力做正功时，反作用力也可能做正功
考点9 功与其他力学知识的综合
在功与牛顿运动定律、运动学知识等结合的综合问题中，求解思路仍是通过其他知识先求出F和L，再按功的公式求解某力做的功．
【考题9】一个质量为4kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦闲数μ＝O．１.从t＝0开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图l6—20所示．求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功．(g取10m／s2)．
【解析】一个运动周期的时间为4秒，半个周期t=2秒，物体所受到的摩擦力大小为 ．
前2秒内物体的加速度大小为:
2秒～4秒物体的加速度大小为:
前4秒的位移
一个周期的位移为8m，十个周期的位移为80m。且最后1秒的位移为：x0＝3m.
83秒内的位移为．
83秒内外力F对物体做的功
【变式9—1】一物体静止在光滑水平面上，先对物体向右施一水平力F1，经过一定时间后撤去F1，立即对物体施加一水平向左的力F2，又经过相同时间后，物体回到出发点，在这一过程中力Fl和F2分别对物体做的功W1和W2的关系是( )．
A．Wl＝W2 B. W2＝2Wl C．W2＝3Wl D．W2＝5W1
专 项 测 试
学业水平测试
1．[考点l]如图所示，升降机以速度v向上做匀速运动，物体m相对斜面静止，则物体所受各个力做功情况正确的是( )．
A．静摩擦力对物体做负功 B. 重力对物体做负功
C. 支持力对物体不做功 D. 物体m所受合外力对物体不做功
2．[考点2]如图所示，力F大小相等，物体运动的位移L也相同，下列情况F做功最少的是( )．
3．[考点3、4]如图所示，半径为R、孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程摩擦力对小球做功分别为W1和W2．在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列说法中正确的是( ).
A．Wl＞W２ B. W1＝W2 C．W3＝0 D．W3＝W1＋W2
4．[考点1]如图所示，质量相同的两个物体分别自斜面AC和BC的顶点由静止开始下滑，两物体与斜面的动摩擦因数相同。物体滑到斜面底部时，在滑行过程中克服摩擦力所做的功分别为WA和WB，则下面判断正确的是( )．
A．WA＝WB B．WA＞WB C．WA＜WB D．无法判断
5．[考点l0、ll]关于摩擦力做功的下列说法中不正确的是( )．
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．系统内相互作用的两物体间一对摩擦力做功的总和等于零
6．[考点2]一学生用l00N的力将质量为0．5kg的球迅速踢出，球在水平面上滚动20m远，则该学生对球做的功是( )．
A．2000J B．1000J C. l6J D．无法确定
7．[考点4、7]以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )．
A O B. －Fh C．一2Fh D．－4Fh
8．[考点3]如图所示，两个互相垂直的力F１和F２作用在同一物体上，使物体运动，物体通过一段位移时，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1和F2的合力对物体做功为( )．
A．7J B．1J C. 5J D．3.5J
9．[考点4]如图所示，小球用细线拴住在光滑的水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，小球的质量是0．1kg．线速度v=lm/s．小球由A点运动到B点恰好是半个圆周，那么在这段运动中线的拉力做的功是( )． A．0 B．0．1J C．0.314J D．无法确定
10．[考点2、4]如图所示．人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为L，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
高考水平测试
1．[考点l]一人乘电梯从l楼到20楼．在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程。则电梯支持力对人做功的情况是( )．
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D. 始终做正功
2．[考点2、4]起重机吊钩下挂一质量为m的水泥袋，如果水泥袋以加速度a匀减速下降了距离，则水泥袋克服钢索拉力做的功为( ).
A．mgh B．m (g－a)h C．m(g＋a)h D．m(a—g)h
3．[考点3、7]水平传送带匀速运动．速度大小为v．现将一工件放到传送带上，设工件初速度为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件的质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为μ，则在工件相对传送带滑动的过程中( ).
A．滑动摩擦力对工件做的功为 B．工件的机械能增量为
C．工件相对于传送带的位移大小为 D. 带对工件做功为零
4．[考点l、7、8]一根木棒沿水平桌面经距离L从A运动到B，如图所示。若棒与桌面的摩擦力大小为f，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做的功各为( ).
A．一fL，一fL B. fL，一fL
C．0，一fL D．－fL 0
5。[考点l、8]如图所示，A、B叠加在一起，在水平力F的作用下，沿水平面一起向右加速，则( )
A. A、B间的摩擦力对A做正功 B．A、B间的摩擦力对A做负功
C．A、B间的摩擦力对B做正功 D．A、B间的摩擦力对B做负功
6．[考点l、8]如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送到皮带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是( )．
A．摩擦力对物体P做正功 B．物体P克服摩擦力做功
C．皮带克服摩擦力做功 D．摩擦力对皮带不做功
7．[考点5]质量是2kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动。物体运动的速度图象如图所示，若物体所受摩擦力为1ON，则下列说法中正确的是( )．
A．拉力做功l50J B．拉力做功lOOJ
C．摩擦力做功250J D．物体克服摩擦力做功250J
8．[考点6]用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( ).
A． B． C. . D．
9．[考点7]如图所示，质量为m，的木板长为L，放在光滑的水平地面上。质量也为m的小木块叠放在木板的右端，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ，木块和木板用跨过定滑轮的轻绳连接。滑轮的摩擦不计，现用水平向右的力将木板向右拉，使小木块移到木板的左端，此拉力至少做功 。
10．[考点5、6]如图所示，水平弹簧劲度系数k＝500N／m，用一外力推物块，使弹簧压缩l0cm而静止。突然撤去外力F，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功?(弹簧与物块没连接)
11．[考点l、2、9]如图所示，车间内的天车(有的地区叫行车)将一重l04 N的物体沿着与水平方向成300角的方向匀速吊起，使物体向斜上方移动了6m，则天车钢绳对物体的拉力做了多少功?如果又使物体水平移动8m，这个过程中天车钢绳的拉力又做了多少功?
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