专题08 分式中的规律探究-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

专题08 分式中的规律探究

【典型例题】

1．（2021·安徽长丰·一模）观察下列等式：

①；②；③；……

（1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________；

（2）猜想并写出第个等式：_____________________；

（3）请证明猜想的正确性．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【分析】

（1）根据题目中式子的特点，可以写出第④个等式；

（2）根据题目中式子的特点，可以写出相应的猜想；

（3）根据分式的加减法可以证明猜想成立．

【详解】

解：（1）∵①；②；③；…

∴第④个等式：，

故答案为：；

（2）第n个等式为：，

故答案为：；

（3）证明：∵

，

∴成立．

【点睛】

本题考查数字的变化类、有理数的加减混合运算，分式的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，写出相应的猜想并证明．

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·河北玉田·八年级期中）观察以下等式：

，，，，……

（1）依此规律进行下去，第5个等式为______；

（2）猜想第n个等式为______（n为正整数）；

（3）请利用分式的运算证明你的猜想．

【答案】（1）5×＝5－；（2）n·＝n－；（3）见解析

【分析】

（1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式；

（2）仿照阅读材料中的等式进而确定出第n个等式；

（3）验证所得等式即可．

【详解】

解：（1）根据题意得：第5个等式为：5×＝5－，

故答案为：5×＝5－；

（2）根据题意得：第n个等式为：n·＝n－ ，

故答案为：n·＝n－ ；

（3）左边＝，

右边＝＝＝

则左边＝右边，即 n ·＝n－．

【点睛】

本题考查了分式的混合运算、有理数的混合运算以及找规律题型，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

2．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）观察下面的变形规律：

＝1－； ＝－；＝－；……解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想＝                ．

（2）若n为正整数，请你用所学的知识证明 ；

（3）求和：＋＋＋…＋．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．

【分析】

（1）根据前面的规律，猜想计算即可；

（2）利用通分，比较等号的两边即可 ；

（3）运用规律计算．

【详解】

（1）∵ ＝1－； ＝－；＝－,

∴＝．

（2）∵

=，

∴；

（3）∵，

∴＋＋＋…＋

=1－+－+－+…＋

=1－

=．

【点睛】

本题考查了分式中运算规律，通分，熟练掌握发现规律的基本思路是解题的关键．

3．（2021·北京·和平街第一中学八年级阶段练习）观察下列各式：

42，

93，

255，

497，

648，

……

（1）依据上述规律，再写出两个具有上述规律的等式 　 　；

（2）用字母表示上述规律，并证明你的结论．

【答案】（1）16×；36×；（2）用字母表示上述规律，证明见详解．

【分析】

（1）由前几项的算式，得到规律，根据规律即可写出结论；

（2）由（1）的结论写出规律，再通分，合并化简即可．

【详解】

解：（1）16×；36×；

（2）用字母表示上述规律,

原式左边=，

右边，

故成立．

【点睛】

本题考查了数式规律探究问题，掌握数式规律探究中的通项，及其特征是解题关键．

4．（2021·福建南靖·八年级期中）观察以下等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

第5个等式：；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第7个等式：_____________；

（2）写出你猜想的第n个等式（n为正整数），并证明．

【答案】（1）；（2），证明见解析；

【分析】

（1）根据题目中的等式的规律，可以写出第7个等式；

（2）根据题目中的等式的规律，猜想出第n个等式，然后将等号左边的式子化简，即可证明猜想成立；

【详解】

解：（1）由第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

第5个等式：；

依次可得：第6个式子为：；

第7个式子为：；

故答案为：；

（2）根据每个式子结构相同，每一项的分子分母随项数的变化规律可猜想：第n个等式为：；

证明如下：∵左边=，

=，

=，

=右边，

∴成立，

【点睛】

本题主要考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子．

5．（2021·河北海港·八年级期中）观察下列各式：

第式：；第式：；第式：；…

（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第式：__________；

（2）求和：；

（3）已知与互为相反数，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）直接根据给出的例子找出规律即可；

（2）根据（1）中的规律直接计算即可；

（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．

【详解】

解：（1）第一式，第二式，第三式，

第式．

故答案为：；

（2）原式

；

（3）与互为相反数，

，即，

，，

原式

．

【点睛】

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

6．（2021·安徽·合肥寿春中学七年级期末）观察下列等式：①；②；③；……；

根据上述等式的规律，解答下列问题：

（1）请写出第④个等式____________

（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．

（3）应用你发现的规律，计算：

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．

【分析】

(1)根据题目中的例子写出第④个式子即可；

(2)由所给的例子不难看出第n个等式为： ，把等式右边进行运算即可证明：

(3)所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．

【详解】

解：（1）第④个等式为：，

故答案为：．

（2）①，整理得 ；

②，整理得 ；

③，整理得 ；

第n个式子为：

证明：右边左边，原等式成立．

（3）

=

=

=

=．

【点睛】

本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律．

7．（2021·安徽潜山·七年级期末）观察以下等式：①；②；③…，按以上规律解决下列问题：

（1）第⑤个等式是　    　．

（2）探究：…+＝　   　（用含的等式表示）；

（3）计算：若+…＝，求n的值．

【答案】（1）；（2）；（3）16

【分析】

（1）根据规律写出第5个等式即可；

（2）根据规律裂项相消即可；

（3）根据（2）的规律整理出n的方程，解出n值即可．

【详解】

解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是

故答案为：；

（2）由规律可得，

故答案为：；

（3）∵，，

∴可以得到

∴

∵

∴

解得n＝16，

经检验n＝16，是该分式方程的解，

故n的值为16．

【点睛】

本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键.

8．（2021·安徽肥东·二模）观察下列等式：

第1个等式：；    第2个等式：；

第3个等式：；    第4个等式：；

第5个等式：；

按照以

上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：____________________________________．

（2）写出你猜想的第个等式：_____________________．（用含的等式表示），并证明．

【答案】（1）；（2），证明见详解．

【分析】

（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；

（2）结合（1）即可写出第n个等式，再利用分式的加减法法则，进行验证，即可．

【详解】

解：（1），

故答案为：；

（2）．

故答案为：．

证明：左边＝＝＝==＝右边，

所以等式成立．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．

9．（2021·河南·三门峡市陕州区教育体育局教学研究室八年级期中）观察下列各式及证明过程：

①；②；③．

验证：；

．

（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．

【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析

【分析】

（1）直接仿照题干写出两个等式即可；

（2）利用规律写出不等式并验证即可．

【详解】

（1）答案不唯一，如：；

证明：；

（2）

证明：

【点睛】

本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．

10．（2021·安徽·合肥市第四十二中学一模）观察以下等式：

第1个等式：　　　　第2个等式：

第3个等式：　　　　第4个等式：

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：__________________________；

（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．

【答案】（1）；（2），证明见解析

【分析】

（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；

（2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案．

【详解】

（1）根据题意，得：

故答案为：；

（2）∵第1个等式：　　　　

第2个等式：

第3个等式：　　　　

第4个等式：

…

∴第n个等式：

∵，

∴等式成立；

故答案为：，证明见解析．

【点睛】

本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．

11．（2021·安徽阜南·模拟预测）观察以下等式：

第1个等式：=1，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：　　　　　　　　　． 

(2)写出你猜想的第n个等式：　　　　　　　　　(用含n的式子表示)，并证明其正确性．

【答案】（1）；（2），证明见解析

【分析】

（1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可；

（2）第n个等式是，利用分式的运算证明等式成立．

【详解】

解： (1)第6个等式为：．

故答案为：，

(2) 第n个等式：，

故答案为：，

证明：，

∵左边=右边，

∴等式成立．

【点睛】

本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．