人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试课时作业

人教版八年级下册

第17章 勾股定理

常考+易错题 综合练习

一．选择题（共12小题）

1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23

2．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（　　）

A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定

3．如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）

4．在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　）

A． B． C．13 D．5

5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　）

A．20 B．12 C．2 D．2

7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为（　　）

A． B．+2 C．﹣2 D．﹣+2

9．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）

A．2.9×2.2 B．2.8×2.3 C．2.7×2.4 D．2.6×2.5

10．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）

A．15m B．9m C．7m D．8m

11．下列命题：

①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．

其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

12．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2 

C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2

二．填空题（共8小题）

13．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　   　米．

14．如图，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为　   　．

15．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为 　   　．

16．如图是5×5方格子（每个小正方格的边长为1个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为　   　．

17．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 　   　m．

18．如图，平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为（0，2），（4，0），连接PQ．请从A，B两题中任选一题作答，我选择 　   　题．

A．若点M是x轴负半轴上的一点，且MQ＝PQ，则点M的坐标为 　   　．

B．若点M是y轴上的一点，且MP＝MQ，则点M的坐标为 　   　．

19．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　   　厘米/秒．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 　   　．

三．解答题（共8小题）

21．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

22．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（如图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．

23．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/h的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行．3h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛．若B、C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？

24．如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？

25．曹王社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求出桂老师手的位置C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．

26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a2+b2＝c2．

27．（1）已知三角形的三边分别为a，b，c，且a＝m﹣1，b＝2，c＝m+1（m＞1）．请判断这个三角形的形状．

（2）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求﹣2a﹣b的算术平方根．

28．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．

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第17章 勾股定理

常考+易错题 综合练习参考答案

一．选择题

1．B．2．B．3．D．4．A．5．A．6．B．7．D．8．C．9．A．10．D．11．C．12．D．

二．填空题

13．7.5；14．；15．2；16．；17．8米；18．A：（4﹣2，0）；B：（0，﹣3）

19．2或3；20．3或或2

三．解答题

21．解：①如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12

在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12

由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81

∴BD＝9

在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12

由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25

∴CD＝5

∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14

②如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12

在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12

由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81

∴BD＝9

在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12

由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25

∴CD＝5

∴BC的长为BD﹣CD＝9﹣5＝4

∴BC的长为14或4

22．解：连接AC，如图：

∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m

∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625

∴AC＝25（m）

又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2

∴△ACD是直角三角形

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC

＝•AB•BC+•AD•DC

＝×24×7+×20×15

＝234（m2）．

23．解：∵∠CAE＝40°，∠PAB＝50°

∴∠CAB＝180°﹣40°﹣50°＝90°

又∵AB＝16×3＝48（海里），BC＝60海里

∴AC＝＝＝＝36（海里）

36÷3＝12，∴乙船的速度是12海里/h。

24．解：设AC＝x，则BC＝2.2﹣x

由题意，∠DAC＝∠EBC＝90°

∴AC2+AD2＝BC2+BE2

∴x2+2.42＝（2.2﹣x）2+22

解得x＝0.7

∴CD＝2.5，梯长2.5米．

25．解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°

设A'F＝x，则AF＝55+x

由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65

∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2

Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2

∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25

∴A'F＝25

∴CF＝＝60

又∵EF＝AD＝3

∴CE＝60+3＝63

∴桂老师手的位置C离地面的距离为63cm

26．利用图1进行证明：

证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b

∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab

又∵S四边形BCED＝（a+b）2

∴ab+c2+ab＝（a+b）2

∴a2+b2＝c2

利用图2进行证明：

证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，

∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab

又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）

∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）

∴a2+b2＝c2

27．（1）∵（m﹣1）2+（2）2＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2

∴a2+b2＝c2

∴这个三角形一定是直角三角形

（2）∵某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2

∴a﹣3+2a+15＝0，b＝﹣8，解得a＝﹣4

∴﹣2a﹣b＝16

∴﹣2a﹣b的的算术平方根是4

28．（1）∵点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数

∴，∴﹣1＜a＜

∵a为整数，∴a＝0，

∴A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1）

（2）∵A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1），

∴AB＝5

∵点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形

∴AC＝AB＝5，

∵AC＝

∴（m+4）2+16＝25

解得m1＝﹣1，m2＝﹣7

∴m的值为﹣1或﹣7

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