还剩25页未读，
继续阅读
吉林省长春市朝阳区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
展开
这是一份吉林省长春市朝阳区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
3．将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
4．如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（ ）
A．AC＝52cos64° B．AC＝
C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
6．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值是3
7．若抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，﹣） B．（，4） C．（﹣4，） D．（﹣，﹣4）
8．将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞6或m＜﹣6 B．m＝0或m＜﹣6 C．﹣6＜m＜6 D．m＝0或m＞6
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：sin60°＝ ．
10．如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
11．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于A（﹣1，p）、B（2，q），则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ．
13．若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为 ．
14．一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 米．
三、解答题（本大题10小题。共78分）
15．．
16．解方程：x2+5x﹣2＝0．
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△ABC的中线BD．
（2）在图②中作△ABC的高BE．
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．
18．2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到面值为80分的邮票”是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
（2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率．
19．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 ．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
21．如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为Sm2．
（1）BC的长为 m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
22．【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2．
如图①，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．
请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，＝，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：S△DEF＝S△ABC．
【拓展应用】如图③，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上．＝＝，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G，点M、N在线段BC上，且BM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝49，则S△BFM+S△CEN＝ ．
23．如图，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q．分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设△PQM与△ABC重叠部分的面以为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）当点Q在AC上时，CQ的长为 ．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在BC上时，求t的值．
（3）当△PQM与△ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）点N为PM中点，直接写出点N到△ABC的两个顶点的距离相等时t的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m＜2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
【分析】根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），可得答案．
解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
【分析】先计算根的判别式△，再根据根的判别式进行判断即可．
解：∵△＝22﹣4×1×3
＝4﹣12
＝﹣8＜0，
∴一元二次方程无解．
故选：D．
3．将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
解：将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：y＝3（x+2）2+6．
故选：C．
4．如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
【分析】由a∥b∥c，可得，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∴EF＝6，
故选：B．
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（ ）
A．AC＝52cos64° B．AC＝
C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
【分析】先求出∠CAO的度数，再由锐角三角函数定义求出AC的长即可．
解：由题意可得：∠CAO＝64°，
∴cos∠CAO＝，
即cos64°＝，
∴AC＝52cos64°．
故选：A．
6．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值是3
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3，
∴该抛物线开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
当x＝﹣1时，该函数取得最大值3，故选项D符合题意；
故选：D．
7．若抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，﹣） B．（，4） C．（﹣4，） D．（﹣，﹣4）
【分析】根据二次函数图象的对称性解答．
解：∵抛物线y＝ax2对称轴为y轴，抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），
∴点P关于y轴的对称点（，4）也在抛物线y＝ax2上，
∴该抛物线一定还经过点（，4）．
故选：B．
8．将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞6或m＜﹣6 B．m＝0或m＜﹣6 C．﹣6＜m＜6 D．m＝0或m＞6
【分析】求得抛物线的顶点坐标，根据题意作出图象M，根据图象即可求得若直线y＝m与M有2个交点，m的取值范围．
解：∵y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，
∴抛物线的顶点为（2，﹣6），
在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M，如图，
若直线y＝m与M恰有2个交点，与图象可知，m的取值范围为：m＝0或m＜﹣6．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：sin60°＝ ．
【分析】根据60°的正弦值等于计算即可．
解：sin60°＝×＝，
故答案为：．
10．如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 （1）、（3）、（2） ．
【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较阴影部分的面积即可．
解：指针落在白色区域内的可能性从小到大的顺序为：（1）、（3）、（2）．
11．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝ 1 ．
【分析】延长BE交AC于F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的中线得到AF＝AB＝3，BE＝EF，进而求出FC，根据三角形中位线定理解答即可．
解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
12．如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于A（﹣1，p）、B（2，q），则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：观察函数图象可知：当﹣1＜x＜2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
13．若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为 ﹣2011 ．
【分析】先根据方程的解的概念得出2m2+3m＝5，再代入原式＝2（2m2+3m）﹣2021计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，
∴2m2+3m﹣5＝0，
∴2m2+3m＝5，
则原式＝2（2m2+3m）﹣2021
＝2×5﹣2021
＝10﹣2021
＝﹣2011，
故答案为：﹣2011．
14．一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 12 米．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案安为：12．
三、解答题（本大题10小题。共78分）
15．．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式＝3﹣2+3＝+3．
16．解方程：x2+5x﹣2＝0．
【分析】先计算出△＝52﹣4×（﹣2）＝33，然后代入一元二次方程的求根公式中即可．
解：∵△＝52﹣4×（﹣2）＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△ABC的中线BD．
（2）在图②中作△ABC的高BE．
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．
【分析】（1）利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；
（2）取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；
（3）取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．
解：（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，线段BF即为所求．
18．2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到面值为80分的邮票”是 不可能 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
（2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率．
【分析】（1）估计随机事件和确定事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）小明抽到80分邮票”是不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果．其中小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的结果数为3，
所以小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率＝＝．
19．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 0＜y＜9 ．
【分析】（1）利用待定系数法可得二次函数表达式；
（2）把x＝0和x＝5代入表达式，再结合抛物线的顶点坐标可得y的取值范围．
解：（1）把（﹣1，0）和（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得b＝4，c＝5，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）抛物线的对称轴是x＝2，顶点坐标（2，9），
当x＝0时，y＝5；当x＝5时，y＝0；
∴当0＜x＜5时，0＜y＜9，
故答案为：0＜y＜9．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
【分析】（1）利用等角的补角相等可得∠AFB＝∠D，从而证明结论；
（2）由30°角的直角三角形的性质可求出BE＝，AE＝，由（1）知，△ABF∽△EAD，得，代入即可．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠D+∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴tan60°＝，
∴BE＝，
∴AE＝，
由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
∴BF＝，
故答案为：．
21．如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为Sm2．
（1）BC的长为 70﹣2x m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m；
（2）根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，并根据题意写出自变量的取值范围；
（3）根据二次函数的性质以及自变量的取值求函数最值．
解：（1）∵AB＝xm，
∴BC＝69﹣2x+1＝（70﹣2x）m，
故答案为：70﹣2x；
（2）由题意得：S＝x（70﹣2x）＝﹣2x2+70x，
∵，
∴≤x＜35，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+70x（≤x＜35）；
（3）∵S＝﹣2x2+70x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，≤x＜35，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为．
∴花园面积S的最大值为m2．
22．【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2．
如图①，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．
请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，＝，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：S△DEF＝S△ABC．
【拓展应用】如图③，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上．＝＝，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G，点M、N在线段BC上，且BM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝49，则S△BFM+S△CEN＝ 24 ．
【分析】【方法探究】证明△ADE∽△ABC，推出＝（）2＝，推出S△ADE＝9S△ABC，由BD＝2AD，推出S△BDE＝2S△ADE，由DE∥CB，推出S△DEF＝S△DEB，可得结论；
【拓展应用】如图3中，利用相似三角形的性质求出△ADE的面积，再根据S△AFM+△ENC＝S△BDE计算即可．
【解答】【方法探究】证明：如图2中，连接BE．
∵DE∥CB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝9S△ABC，
∵AB＝3AD，
∴BD＝2AD，
∴S△BDE＝2S△ADE，
∵DE∥CB，
∴S△DEF＝S△DEB＝2S△ADE＝S△ABC．
【拓展应用】解：如图3中，
∵＝＝，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ABC＝49，
∴S△ADE＝9，
∵BM＝2EF，CN＝2DF，
∴S△AFM+△ENC＝S△ADE＝24，
故答案为24．
23．如图，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q．分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设△PQM与△ABC重叠部分的面以为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）当点Q在AC上时，CQ的长为 4﹣5t ．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在BC上时，求t的值．
（3）当△PQM与△ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）点N为PM中点，直接写出点N到△ABC的两个顶点的距离相等时t的值．
【分析】（1）根据∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，得cosA＝＝，即得＝，而AP＝4t，故AQ＝5t，CQ＝AC﹣AQ＝4﹣5t；
（2）由QM∥AB，PM∥AC，可得QM＝AP＝4t，而△CQM∽△CAB，即得＝，可解得t＝；
（3）当t≤时，可求得S＝QM•PQ＝×4t×3t＝6t2，当＜t＜时，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，当≤t＜时，可求得S＝S△PQB﹣S△BPH＝PB•PQ﹣BH•PH＝t2﹣t+；
（3）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，在Rt△APF中，由cosA＝，可得＝，即可解得t＝，②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，同理可得解得t＝，③当N到B、C距离相等时，连接CP，可证明AP＝BP＝AB＝，即可得答案．
解：（1）如图：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴cosA＝＝，
∵PQ⊥AB，
∴cosA＝＝，
∵动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t（t＞0）秒，
∴AP＝4t，
∴＝，
∴AQ＝5t，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣5t，
故答案为：4﹣5t；
（2）如图：
∵QM∥AB，PM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，
∴QM＝AP＝4t，
∵QM∥AB，
∴△CQM∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得t＝，
∴点M落在BC上时，t的值是；
（3）当t≤时，如图：
此时△PQM与△ABC的重合部分为三角形，
由（1）（2）知：AQ＝5t，AP＝QM＝4t，
∴PQ＝＝3t，
∵∠PQM＝∠QPA＝90°，
∴S＝QM•PQ＝×4t×3t＝6t2，
当Q与C重合时，CQ＝0，即4﹣5t＝0，
∴t＝，
当＜t＜时，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，
当≤t＜时，如图：
∵AP＝4t，
∴PB＝5﹣4t，
∵PM∥AC，
∴＝＝，即＝＝，
∴PH＝，BH＝，
∵＝tanB＝，
∴＝，
∴PQ＝，
∴S＝S△PQB﹣S△BPH
＝PB•PQ﹣BH•PH
＝（5﹣4t）•﹣ו
＝t2﹣t+，
综上所述，S＝；
（3）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，如图：
∵N到A、C距离相等，NE⊥AC，
∴NE是AC垂直平分线，
∴AE＝AC＝2，
∵N是PM中点，
∴PN＝PM＝AQ＝t，
∴EF＝PN＝t，
∴AF＝AE﹣EF＝2﹣t，
在Rt△APF中，cosA＝，
∴＝，
解得t＝，
②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，如图：
∴AG＝AB＝，
∴PG＝AG﹣AP＝﹣4t，
∵cos∠NPG＝cosA＝，
∴＝，
而PN＝PM＝AQ＝t，
∴＝，
解得t＝，
③当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：
∵PM∥AC，AC⊥BC，
∴PM⊥BC，
∵N到B、C距离相等，
∴N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴90°﹣∠PCB＝90°﹣∠PBC，即∠PCA＝∠PAC，
∴PC＝PA，
∴AP＝BP＝AB＝，
∴t＝＝，
综上所述，t的值为或或．
24．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m＜2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝﹣求得结果；
（2）分成三种情形：2≤m≤3，m＜2和m＞3，根据二次函数的性质，找出符合条件的值；
（3）先求出在﹣3＜m＜2时，A点纵坐标的值小于7，从而以BC为底，求出BC 的高即可；
（4）表示出D到y轴距离是|5+m|，把x＝3代入抛物线解析式，可求得E点到x轴距离，列出方程求得结果．
解：（1）对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝m；
（2）当2≤m≤3时，
∵y＝x2﹣mx+2m+3＝（x﹣m）2+（﹣，
∴﹣＝6，
方程无解，
当m＜2时，
∵a＝＞0，
∴当x＝3时，y＝6，
∴﹣3m+2m+3＝6，
∴m＝，
当m＞3时，
当x＝2时，y＝6，
﹣m+2m+3＝5≠6，
∴m＝，
∴y＝﹣x+6；
（3）令n＝﹣+2m+3，
∵其对称轴是：m＝﹣＝2，
∴当﹣3＜m＜2时，﹣＜n＜5，
∵A（2，﹣+2m+3），C（2，7），B（﹣3，2），
∴S＝（yc﹣yA）•（xA﹣xB）
＝•（m2﹣2m+4）×5
＝（m﹣2）2+5，
∵a＝，对称轴是直线m＝2，
∴当﹣3＜m＜2时，
S随x的增大而减小，
∵当m＝﹣3时，S＝，当m＝2时，S＝5，
∴5＜S＜；
（4）由题意得，
D到y轴距离是|5+m|，
∵当x＝3时，y＝﹣3m+2m+3＝﹣m+，
∴E到y轴的距离是：|﹣m+|，
∴|5+m|＝|﹣m+|，
∴5+m＝﹣m+，
∴m＝．
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
3．将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
4．如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（ ）
A．AC＝52cos64° B．AC＝
C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
6．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值是3
7．若抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，﹣） B．（，4） C．（﹣4，） D．（﹣，﹣4）
8．将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞6或m＜﹣6 B．m＝0或m＜﹣6 C．﹣6＜m＜6 D．m＝0或m＞6
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：sin60°＝ ．
10．如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ．
11．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于A（﹣1，p）、B（2，q），则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ．
13．若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为 ．
14．一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 米．
三、解答题（本大题10小题。共78分）
15．．
16．解方程：x2+5x﹣2＝0．
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△ABC的中线BD．
（2）在图②中作△ABC的高BE．
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．
18．2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到面值为80分的邮票”是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
（2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率．
19．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 ．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
21．如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为Sm2．
（1）BC的长为 m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
22．【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2．
如图①，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．
请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，＝，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：S△DEF＝S△ABC．
【拓展应用】如图③，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上．＝＝，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G，点M、N在线段BC上，且BM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝49，则S△BFM+S△CEN＝ ．
23．如图，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q．分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设△PQM与△ABC重叠部分的面以为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）当点Q在AC上时，CQ的长为 ．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在BC上时，求t的值．
（3）当△PQM与△ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）点N为PM中点，直接写出点N到△ABC的两个顶点的距离相等时t的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m＜2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
【分析】根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），可得答案．
解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
【分析】先计算根的判别式△，再根据根的判别式进行判断即可．
解：∵△＝22﹣4×1×3
＝4﹣12
＝﹣8＜0，
∴一元二次方程无解．
故选：D．
3．将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6 D．y＝3（x+2）2﹣6
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
解：将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：y＝3（x+2）2+6．
故选：C．
4．如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
【分析】由a∥b∥c，可得，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∴EF＝6，
故选：B．
5．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（ ）
A．AC＝52cos64° B．AC＝
C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
【分析】先求出∠CAO的度数，再由锐角三角函数定义求出AC的长即可．
解：由题意可得：∠CAO＝64°，
∴cos∠CAO＝，
即cos64°＝，
∴AC＝52cos64°．
故选：A．
6．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
D．函数的最大值是3
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3，
∴该抛物线开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
当x＝﹣1时，该函数取得最大值3，故选项D符合题意；
故选：D．
7．若抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，﹣） B．（，4） C．（﹣4，） D．（﹣，﹣4）
【分析】根据二次函数图象的对称性解答．
解：∵抛物线y＝ax2对称轴为y轴，抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），
∴点P关于y轴的对称点（，4）也在抛物线y＝ax2上，
∴该抛物线一定还经过点（，4）．
故选：B．
8．将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．m＞6或m＜﹣6 B．m＝0或m＜﹣6 C．﹣6＜m＜6 D．m＝0或m＞6
【分析】求得抛物线的顶点坐标，根据题意作出图象M，根据图象即可求得若直线y＝m与M有2个交点，m的取值范围．
解：∵y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，
∴抛物线的顶点为（2，﹣6），
在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M，如图，
若直线y＝m与M恰有2个交点，与图象可知，m的取值范围为：m＝0或m＜﹣6．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：sin60°＝ ．
【分析】根据60°的正弦值等于计算即可．
解：sin60°＝×＝，
故答案为：．
10．如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 （1）、（3）、（2） ．
【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较阴影部分的面积即可．
解：指针落在白色区域内的可能性从小到大的顺序为：（1）、（3）、（2）．
11．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝ 1 ．
【分析】延长BE交AC于F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的中线得到AF＝AB＝3，BE＝EF，进而求出FC，根据三角形中位线定理解答即可．
解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
12．如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于A（﹣1，p）、B（2，q），则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：观察函数图象可知：当﹣1＜x＜2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
13．若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为 ﹣2011 ．
【分析】先根据方程的解的概念得出2m2+3m＝5，再代入原式＝2（2m2+3m）﹣2021计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，
∴2m2+3m﹣5＝0，
∴2m2+3m＝5，
则原式＝2（2m2+3m）﹣2021
＝2×5﹣2021
＝10﹣2021
＝﹣2011，
故答案为：﹣2011．
14．一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为 12 米．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴﹣＝﹣＝＝5，
则b＝，
又∵抛物线经过（0，），
∴c＝，
∴y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝12，
故答案安为：12．
三、解答题（本大题10小题。共78分）
15．．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式＝3﹣2+3＝+3．
16．解方程：x2+5x﹣2＝0．
【分析】先计算出△＝52﹣4×（﹣2）＝33，然后代入一元二次方程的求根公式中即可．
解：∵△＝52﹣4×（﹣2）＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△ABC的中线BD．
（2）在图②中作△ABC的高BE．
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．
【分析】（1）利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；
（2）取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；
（3）取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．
解：（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，线段BF即为所求．
18．2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子．
（1）“小明抽到面值为80分的邮票”是 不可能 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
（2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率．
【分析】（1）估计随机事件和确定事件的定义进行判断；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）小明抽到80分邮票”是不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果．其中小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的结果数为3，
所以小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率＝＝．
19．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 0＜y＜9 ．
【分析】（1）利用待定系数法可得二次函数表达式；
（2）把x＝0和x＝5代入表达式，再结合抛物线的顶点坐标可得y的取值范围．
解：（1）把（﹣1，0）和（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得b＝4，c＝5，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）抛物线的对称轴是x＝2，顶点坐标（2，9），
当x＝0时，y＝5；当x＝5时，y＝0；
∴当0＜x＜5时，0＜y＜9，
故答案为：0＜y＜9．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，∠AEB＝60°，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）BF的长为 ．
【分析】（1）利用等角的补角相等可得∠AFB＝∠D，从而证明结论；
（2）由30°角的直角三角形的性质可求出BE＝，AE＝，由（1）知，△ABF∽△EAD，得，代入即可．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠D+∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴tan60°＝，
∴BE＝，
∴AE＝，
由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
∴BF＝，
故答案为：．
21．如图，某矩形花园ABCD一边靠墙，墙长35m，另外三边用长为69m的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为1m的门（不包括篱笆）．设矩形花园ABCD垂直于墙的一边AB长为xm，面积为Sm2．
（1）BC的长为 70﹣2x m（用含x的代数式表示）．
（2）求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m；
（2）根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，并根据题意写出自变量的取值范围；
（3）根据二次函数的性质以及自变量的取值求函数最值．
解：（1）∵AB＝xm，
∴BC＝69﹣2x+1＝（70﹣2x）m，
故答案为：70﹣2x；
（2）由题意得：S＝x（70﹣2x）＝﹣2x2+70x，
∵，
∴≤x＜35，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+70x（≤x＜35）；
（3）∵S＝﹣2x2+70x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，≤x＜35，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为．
∴花园面积S的最大值为m2．
22．【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2．
如图①，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．
请你对上述的结论加以证明．
【方法探究】如图②，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，＝，点F在边BC上，连结DF、EF．求证：S△DEF＝S△ABC．
【拓展应用】如图③，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上．＝＝，在线段DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G，点M、N在线段BC上，且BM＝2EF，CN＝2DF，若S△ABC＝49，则S△BFM+S△CEN＝ 24 ．
【分析】【方法探究】证明△ADE∽△ABC，推出＝（）2＝，推出S△ADE＝9S△ABC，由BD＝2AD，推出S△BDE＝2S△ADE，由DE∥CB，推出S△DEF＝S△DEB，可得结论；
【拓展应用】如图3中，利用相似三角形的性质求出△ADE的面积，再根据S△AFM+△ENC＝S△BDE计算即可．
【解答】【方法探究】证明：如图2中，连接BE．
∵DE∥CB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝9S△ABC，
∵AB＝3AD，
∴BD＝2AD，
∴S△BDE＝2S△ADE，
∵DE∥CB，
∴S△DEF＝S△DEB＝2S△ADE＝S△ABC．
【拓展应用】解：如图3中，
∵＝＝，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ABC＝49，
∴S△ADE＝9，
∵BM＝2EF，CN＝2DF，
∴S△AFM+△ENC＝S△ADE＝24，
故答案为24．
23．如图，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q．分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设△PQM与△ABC重叠部分的面以为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）当点Q在AC上时，CQ的长为 4﹣5t ．（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在BC上时，求t的值．
（3）当△PQM与△ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）点N为PM中点，直接写出点N到△ABC的两个顶点的距离相等时t的值．
【分析】（1）根据∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，得cosA＝＝，即得＝，而AP＝4t，故AQ＝5t，CQ＝AC﹣AQ＝4﹣5t；
（2）由QM∥AB，PM∥AC，可得QM＝AP＝4t，而△CQM∽△CAB，即得＝，可解得t＝；
（3）当t≤时，可求得S＝QM•PQ＝×4t×3t＝6t2，当＜t＜时，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，当≤t＜时，可求得S＝S△PQB﹣S△BPH＝PB•PQ﹣BH•PH＝t2﹣t+；
（3）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，在Rt△APF中，由cosA＝，可得＝，即可解得t＝，②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，同理可得解得t＝，③当N到B、C距离相等时，连接CP，可证明AP＝BP＝AB＝，即可得答案．
解：（1）如图：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴cosA＝＝，
∵PQ⊥AB，
∴cosA＝＝，
∵动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t（t＞0）秒，
∴AP＝4t，
∴＝，
∴AQ＝5t，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣5t，
故答案为：4﹣5t；
（2）如图：
∵QM∥AB，PM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，
∴QM＝AP＝4t，
∵QM∥AB，
∴△CQM∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得t＝，
∴点M落在BC上时，t的值是；
（3）当t≤时，如图：
此时△PQM与△ABC的重合部分为三角形，
由（1）（2）知：AQ＝5t，AP＝QM＝4t，
∴PQ＝＝3t，
∵∠PQM＝∠QPA＝90°，
∴S＝QM•PQ＝×4t×3t＝6t2，
当Q与C重合时，CQ＝0，即4﹣5t＝0，
∴t＝，
当＜t＜时，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形，
当≤t＜时，如图：
∵AP＝4t，
∴PB＝5﹣4t，
∵PM∥AC，
∴＝＝，即＝＝，
∴PH＝，BH＝，
∵＝tanB＝，
∴＝，
∴PQ＝，
∴S＝S△PQB﹣S△BPH
＝PB•PQ﹣BH•PH
＝（5﹣4t）•﹣ו
＝t2﹣t+，
综上所述，S＝；
（3）①当N到A、C距离相等时，过N作NE⊥AC于E，过P作PF⊥AC于F，如图：
∵N到A、C距离相等，NE⊥AC，
∴NE是AC垂直平分线，
∴AE＝AC＝2，
∵N是PM中点，
∴PN＝PM＝AQ＝t，
∴EF＝PN＝t，
∴AF＝AE﹣EF＝2﹣t，
在Rt△APF中，cosA＝，
∴＝，
解得t＝，
②当N到A、B距离相等时，过N作NG⊥AB于G，如图：
∴AG＝AB＝，
∴PG＝AG﹣AP＝﹣4t，
∵cos∠NPG＝cosA＝，
∴＝，
而PN＝PM＝AQ＝t，
∴＝，
解得t＝，
③当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：
∵PM∥AC，AC⊥BC，
∴PM⊥BC，
∵N到B、C距离相等，
∴N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴90°﹣∠PCB＝90°﹣∠PBC，即∠PCA＝∠PAC，
∴PC＝PA，
∴AP＝BP＝AB＝，
∴t＝＝，
综上所述，t的值为或或．
24．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m＜2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝﹣求得结果；
（2）分成三种情形：2≤m≤3，m＜2和m＞3，根据二次函数的性质，找出符合条件的值；
（3）先求出在﹣3＜m＜2时，A点纵坐标的值小于7，从而以BC为底，求出BC 的高即可；
（4）表示出D到y轴距离是|5+m|，把x＝3代入抛物线解析式，可求得E点到x轴距离，列出方程求得结果．
解：（1）对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝m；
（2）当2≤m≤3时，
∵y＝x2﹣mx+2m+3＝（x﹣m）2+（﹣，
∴﹣＝6，
方程无解，
当m＜2时，
∵a＝＞0，
∴当x＝3时，y＝6，
∴﹣3m+2m+3＝6，
∴m＝，
当m＞3时，
当x＝2时，y＝6，
﹣m+2m+3＝5≠6，
∴m＝，
∴y＝﹣x+6；
（3）令n＝﹣+2m+3，
∵其对称轴是：m＝﹣＝2，
∴当﹣3＜m＜2时，﹣＜n＜5，
∵A（2，﹣+2m+3），C（2，7），B（﹣3，2），
∴S＝（yc﹣yA）•（xA﹣xB）
＝•（m2﹣2m+4）×5
＝（m﹣2）2+5，
∵a＝，对称轴是直线m＝2，
∴当﹣3＜m＜2时，
S随x的增大而减小，
∵当m＝﹣3时，S＝，当m＝2时，S＝5，
∴5＜S＜；
（4）由题意得，
D到y轴距离是|5+m|，
∵当x＝3时，y＝﹣3m+2m+3＝﹣m+，
∴E到y轴的距离是：|﹣m+|，
∴|5+m|＝|﹣m+|，
∴5+m＝﹣m+，
∴m＝．
相关试卷
吉林省长春市朝阳区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含答案)： 这是一份吉林省长春市朝阳区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷： 这是一份吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)： 这是一份吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
