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安徽省安庆市岳西县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份安徽省安庆市岳西县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题．，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省安庆市岳西县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y＝（x+1）2
C．y＝1﹣x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
4．如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝
5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣100
9．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，某同学观察得出下面四条信息：（1）c＞1；（2）b2﹣4ac＞0；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中正确的信息有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 ．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝ ．
13．如图，等边△AOB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，边OB在x轴上，则点B的坐标为 ．
14．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得第674段抛物线C674．若P（m，﹣2）在C674上，则m＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．根据公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，求cos75°．
16．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝4，cosB＝，求这个菱形的面积．
18．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）将△OBC以O点为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出位似形△OB′C′，并写出B′、C′的坐标；
（2）若△OBC内一点M（x，y），写出（1）中经位似变换后M的对应点M′的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．在面积都相等的若干矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的长宽分别为x、y，求y关于x的函数表达式；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
20．某小区要在一矩形场地修建停车场，已知该场地长30m，宽8m，原设计方案如图1所示，每车位长5m，宽2.5m，这样可修建12个车位．由于通道设计宽度仅3m，车辆进出不便，决定将原方案中的直向车位改为斜向平行四边形车位，如图2所示（三角形阴影部分不做车位），其中车位斜长AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝，车位宽度d＝CD＝2.5m．
（1）求图2中通道宽BF；
（2）实际可建成斜向车位多少个？（参考值：）
六、（本大题满分12分）
21．如图，点B，A，E在同一直线上，BD∥AC，AB＝3AC，BD＝3AE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC＝BD＝a，AD＝2BD，求BC的长．
七、（本大题满分12分）（第22题图）x
22．小明家门前有一空地，空地外有一面长10m的围墙，小明的爸爸准备一面靠墙建一个矩形花圃，他买回32m长的不锈钢管准备全部作为花圃的围栏，为了浇花和赏花方便，在花圃的正中间留一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门．如图设花圃宽为x（m），花圃总面积（阴影部分）为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大？
八、（本大题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y＝（x+1）2
C．y＝1﹣x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，根据此定义即可判断．
解：∵y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．，
∴A选项不合题意，
∵y＝（x+1）2＝x2+2x+1，
∴B选项不合题意，
∵y＝1﹣x2是二次函数，
∴C选项不合题意，
∵y＝2（x+3）2﹣2x2＝2x2+12x+18﹣2x2＝12x+18，
∴D选项不是二次函数，
故选：D．
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
【分析】坡度是坡角的正切值．
解：因为tan30°＝，即坡度为1：．故选：C．
3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
4．如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝
【分析】根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果．
解：设x＝2k，y＝3k．通过代入计算，
进行约分，A，B，C都正确；
D不能实现约分，故错误．
故选：D．
5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．
故选：C．
6．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案
解：连接DC，
由网格可得：CD⊥AB，
则DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故选：D．
7．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．
解：由二次函数y＝ax2的性质知，
（1）抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定．
|a|越大，抛物线的开口越窄；
|a|越小，抛物线的开口越宽．
（2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定．
当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；
当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．
根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．
故选：A．
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣100
【分析】A：k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大；
B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小；
C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小；
D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小．
解：A：∵k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大，∴不符合题意；
B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∴符合题意；
C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；
D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；
故选：B．
9．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，某同学观察得出下面四条信息：（1）c＞1；（2）b2﹣4ac＞0；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中正确的信息有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）抛物线与y轴交点在0和1之间；
（2）抛物线与x轴有两个交点；
（3）﹣＜﹣1，a＜0，得﹣b＞﹣2a，得2a﹣b＞0；
（4）x＝1时y＜0，即a+b+c＜0．
解：（1）由图像可知1＜c＜0，∴不符合题意；
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴符合题意；
（3）∵﹣＜﹣1，a＜0，∴﹣b＞﹣2a，∴2a﹣b＞0，∴不符合题意；
（4）x＝1时y＜0，即a+b+c＜0，∴符合题意；
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出＝＝＝，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．
解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180°
∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴＝＝＝，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴5a2＝100，
∴a＝2（负根已经舍弃），
∴AC＝2，BC＝4，
∵•AC•BC＝•AB•CJ，
∴CJ＝＝4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 ：1 ．
【分析】由两相似三角形面积之比为3：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
解：∵两相似三角形面积之比为3：1，
∴它们的相似比为：1，
∴它们的周长之比为：1．
故答案为：：1．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝ 17 ．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15，
∴，
解得AC＝8，
根据勾股定理得，AB＝＝＝17．
故答案为：17．
13．如图，等边△AOB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，边OB在x轴上，则点B的坐标为 （2，0） ．
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，），则OC＝x，OB＝2x，再根据锐角三角函数的定义求出x的值即可．
解：过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，），则OC＝x，OB＝2x，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴＝tan60°，＝，解得x＝±1，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴x＝1，
∴OB＝2x＝2，即B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
14．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得第674段抛物线C674．若P（m，﹣2）在C674上，则m＝ 2020.5 ．
【分析】根据题意可以发现每旋转两次为一个循环，OA1＝3，A1A2＝3，再根据P（m，﹣2）在C674上，即可计算出m的值．
解：由题意可得，
每旋转两次为一个循环，点A1（3，0），A2（6，0），
674÷2＝337，
∵P（m，﹣2）在C674上，
∴m＝337×6﹣＝2020.5，
故答案为：2020.5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．根据公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，求cos75°．
【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数值来解答．
解：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°，
＝•﹣•，
＝．
16．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
【分析】（1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）令y＝0求出x的值，然后根据二次函数的性质，即可写出x取何值时，y＜0．
解：（1）∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），对称轴是直线x＝﹣2；
（2）∵y＝﹣（x+2）2+4，
∴该函数图象开口向下，
当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+4，得x1＝0，x2＝﹣4，
∴当x＜﹣4或x＞0时，y＜0．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝4，cosB＝，求这个菱形的面积．
【分析】解直角三角形ABE，求出AB、AE后计算．
解：设菱形的边长为x，
则BE的长为x﹣4．
∵cosB＝，
∴，
可得：x＝，
∴BE＝，
∵AB2＝BE2+AE2，即+AE2，
∴AE＝6．
故：S菱形＝BC×AE＝．
18．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）将△OBC以O点为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出位似形△OB′C′，并写出B′、C′的坐标；
（2）若△OBC内一点M（x，y），写出（1）中经位似变换后M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）把M点的横纵坐标都乘以﹣2得到M′的坐标．
解：（1）如图，△OB′C′为所作，点B′的坐标为（﹣5，2）、C′的坐标为（﹣4，﹣2）；
（2）M（x，y）的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．在面积都相等的若干矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的长宽分别为x、y，求y关于x的函数表达式；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
解：（1）由题意可得：xy＝3，
则y＝（x＞0）；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y＝3，
∴x+＝3，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x+y＝5，
∴x+＝5，
整理得：x2﹣5x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴矩形的周长可能是10，
所以方方的说法对．
20．某小区要在一矩形场地修建停车场，已知该场地长30m，宽8m，原设计方案如图1所示，每车位长5m，宽2.5m，这样可修建12个车位．由于通道设计宽度仅3m，车辆进出不便，决定将原方案中的直向车位改为斜向平行四边形车位，如图2所示（三角形阴影部分不做车位），其中车位斜长AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝，车位宽度d＝CD＝2.5m．
（1）求图2中通道宽BF；
（2）实际可建成斜向车位多少个？（参考值：）
【分析】（1）利用三角函数求出AB的长度，根据BF＝AF﹣AB求出BF即可；
（2）利用三角函数求出CE，再利用勾股定理求出BC，用总长度减去BC再除以CE的长度即可求出实际建成的车位个数．
解：（1）∵AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝＝，
∴AB＝＝＝4.5（m），
∵BF＝AF﹣AB，AF＝8m，
∴BF＝AF﹣AB＝8﹣4.5＝2.5（m），
即通道宽BF为2.5m；
（2）∵d＝CD＝2.5m，CD⊥AC，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠α，
∵cos∠DCE＝cos∠α＝＝＝，
∴CE＝＝＝3（m），
∵AB2+BC2＝AC2，
∴BC＝＝＝（m），
∵（30﹣）÷CE＝（30﹣）÷3≈9（个），
∴实际可建成斜向车位9个．
六、（本大题满分12分）
21．如图，点B，A，E在同一直线上，BD∥AC，AB＝3AC，BD＝3AE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC＝BD＝a，AD＝2BD，求BC的长．
【分析】（1）由BD∥AC，得∠EAC＝∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．
（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D＝∠E＝90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．
【解答】（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA＝∠CAE，
又∵＝3，
∴△ABD∽△CAE；
（2）解：∵AB＝3AC＝3BD，AD＝2BD，
∴AD2+BD2＝8BD2+BD2＝9BD2＝AB2，
∴∠D＝90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E＝∠D＝90°，
∵AE＝BD，EC＝AD＝BD，AB＝3BD，
在Rt△BCE中，BC2＝（AB+AE）2+EC2
＝（3BD+BD）2+（BD）2＝BD2＝12a2，
∴BC＝2a．
七、（本大题满分12分）（第22题图）x
22．小明家门前有一空地，空地外有一面长10m的围墙，小明的爸爸准备一面靠墙建一个矩形花圃，他买回32m长的不锈钢管准备全部作为花圃的围栏，为了浇花和赏花方便，在花圃的正中间留一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门．如图设花圃宽为x（m），花圃总面积（阴影部分）为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大？
【分析】（1）设花圃宽为x（m），则长为（32﹣4x+2+1）m，由图形可知：花圃的面积＝长×宽﹣中间通道的面积，然后即可写出y与x之间的函数关系式，再根据地外有一面长10m的围墙，可以列出相应的不等式，从而可以得到x的取值范围；
（2）将（1）的函数关系式化为顶点式，然后根据x的取值范围和二次函数的性质，可以得到宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大．
解：（1）设花圃宽为xm，则长为（32﹣4x+2+1）m，
由图可得：y＝（32﹣4x+2+1）x﹣x×1＝﹣4x2+34x，
∵空地外有一面长10m的围墙，
∴32﹣4x+2+1≤10且32﹣4x+2＞0，
解得6.25≤x＜8.5，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x2+34x（6.25≤x＜8.5）；
（2）∵y＝﹣4x2+34x＝﹣4（x﹣）2+，
∴该函数图象开口向下，当x＞时，y随x的增大而减小，
∵6.25≤x＜8.5，
∴当x＝6.25时，该函数取得最大值，
答：宽x设计为6.25米时才能使花圃的面积最大．
八、（本大题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为 （4，0）或（8，0） ．
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，先求出B（2，0），A（﹣1，），再将B（2，0），A（﹣1，）代入y＝ax2+bx，即可求解解析式；
（2）先求M（1，﹣），则可求∠BOM＝30°，所以∠AOM＝∠AOB+∠BOM＝150°；
（3）由∠ABO＝30°，则∠ABC＝150°，分两种情况讨论：当△ABC∽△AOM时，＝，BC＝2，则C（4，0）；当△ABC∽△MOA时，＝，BC＝6，则C（8，0）．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴交于点E，
∵OB＝2，
∴B（2，0），
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠AOE＝30°，
∵OA＝2，
∴OE＝，AE＝1，
∴A（﹣1，），
将A（﹣1，），B（2，0）代入y＝ax2+bx，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣x；
（2）∵y＝x2﹣x＝（x﹣1）2﹣，
∴M（1，﹣），
∴tan∠BOM＝，
∴∠BOM＝30°，
∴∠AOM＝∠AOB+∠BOM＝150°；
（3）如图2，∠AOM＝150°，∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝150°，
当△ABC∽△AOM时，＝，
∵AO＝2，AB＝2，OM＝，
∴＝，
∴BC＝2，
∴C（4，0）；
当△ABC∽△MOA时，＝，
∴＝，
∴BC＝6，
∴C（8，0）；
综上所述：C点坐标为（4，0）或（8，0），
故答案为：（4，0）或（8，0）．
2020-2021学年安徽省安庆市岳西县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y＝（x+1）2
C．y＝1﹣x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
4．如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝
5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣100
9．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，某同学观察得出下面四条信息：（1）c＞1；（2）b2﹣4ac＞0；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中正确的信息有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 ．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝ ．
13．如图，等边△AOB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，边OB在x轴上，则点B的坐标为 ．
14．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得第674段抛物线C674．若P（m，﹣2）在C674上，则m＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．根据公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，求cos75°．
16．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝4，cosB＝，求这个菱形的面积．
18．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）将△OBC以O点为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出位似形△OB′C′，并写出B′、C′的坐标；
（2）若△OBC内一点M（x，y），写出（1）中经位似变换后M的对应点M′的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．在面积都相等的若干矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的长宽分别为x、y，求y关于x的函数表达式；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
20．某小区要在一矩形场地修建停车场，已知该场地长30m，宽8m，原设计方案如图1所示，每车位长5m，宽2.5m，这样可修建12个车位．由于通道设计宽度仅3m，车辆进出不便，决定将原方案中的直向车位改为斜向平行四边形车位，如图2所示（三角形阴影部分不做车位），其中车位斜长AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝，车位宽度d＝CD＝2.5m．
（1）求图2中通道宽BF；
（2）实际可建成斜向车位多少个？（参考值：）
六、（本大题满分12分）
21．如图，点B，A，E在同一直线上，BD∥AC，AB＝3AC，BD＝3AE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC＝BD＝a，AD＝2BD，求BC的长．
七、（本大题满分12分）（第22题图）x
22．小明家门前有一空地，空地外有一面长10m的围墙，小明的爸爸准备一面靠墙建一个矩形花圃，他买回32m长的不锈钢管准备全部作为花圃的围栏，为了浇花和赏花方便，在花圃的正中间留一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门．如图设花圃宽为x（m），花圃总面积（阴影部分）为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大？
八、（本大题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y＝（x+1）2
C．y＝1﹣x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，根据此定义即可判断．
解：∵y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．，
∴A选项不合题意，
∵y＝（x+1）2＝x2+2x+1，
∴B选项不合题意，
∵y＝1﹣x2是二次函数，
∴C选项不合题意，
∵y＝2（x+3）2﹣2x2＝2x2+12x+18﹣2x2＝12x+18，
∴D选项不是二次函数，
故选：D．
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2 B．：2 C．1： D．：1
【分析】坡度是坡角的正切值．
解：因为tan30°＝，即坡度为1：．故选：C．
3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
4．如果x：y＝2：3，那么下列各式不成立的是（ ）
A．＝ B．＝﹣ C．＝ D．＝
【分析】根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果．
解：设x＝2k，y＝3k．通过代入计算，
进行约分，A，B，C都正确；
D不能实现约分，故错误．
故选：D．
5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．
故选：C．
6．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案
解：连接DC，
由网格可得：CD⊥AB，
则DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故选：D．
7．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．
解：由二次函数y＝ax2的性质知，
（1）抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定．
|a|越大，抛物线的开口越窄；
|a|越小，抛物线的开口越宽．
（2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定．
当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；
当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．
根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．
故选：A．
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y＝﹣3x C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣100
【分析】A：k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大；
B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小；
C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小；
D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小．
解：A：∵k＝﹣1＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大，∴不符合题意；
B：k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∴符合题意；
C：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；
D：a＝2＞0，∴x＜0y随x的增大而减小，∴不符合题意；
故选：B．
9．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，某同学观察得出下面四条信息：（1）c＞1；（2）b2﹣4ac＞0；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中正确的信息有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）抛物线与y轴交点在0和1之间；
（2）抛物线与x轴有两个交点；
（3）﹣＜﹣1，a＜0，得﹣b＞﹣2a，得2a﹣b＞0；
（4）x＝1时y＜0，即a+b+c＜0．
解：（1）由图像可知1＜c＜0，∴不符合题意；
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴符合题意；
（3）∵﹣＜﹣1，a＜0，∴﹣b＞﹣2a，∴2a﹣b＞0，∴不符合题意；
（4）x＝1时y＜0，即a+b+c＜0，∴符合题意；
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C．8 D．6
【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出＝＝＝，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．
解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180°
∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴＝＝＝，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴5a2＝100，
∴a＝2（负根已经舍弃），
∴AC＝2，BC＝4，
∵•AC•BC＝•AB•CJ，
∴CJ＝＝4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果两相似三角形的面积比是3：1，则它们的周长比是 ：1 ．
【分析】由两相似三角形面积之比为3：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
解：∵两相似三角形面积之比为3：1，
∴它们的相似比为：1，
∴它们的周长之比为：1．
故答案为：：1．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝ 17 ．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15，
∴，
解得AC＝8，
根据勾股定理得，AB＝＝＝17．
故答案为：17．
13．如图，等边△AOB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，边OB在x轴上，则点B的坐标为 （2，0） ．
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，），则OC＝x，OB＝2x，再根据锐角三角函数的定义求出x的值即可．
解：过点A作AC⊥OB于点C，设A（x，），则OC＝x，OB＝2x，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴＝tan60°，＝，解得x＝±1，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴x＝1，
∴OB＝2x＝2，即B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
14．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得第674段抛物线C674．若P（m，﹣2）在C674上，则m＝ 2020.5 ．
【分析】根据题意可以发现每旋转两次为一个循环，OA1＝3，A1A2＝3，再根据P（m，﹣2）在C674上，即可计算出m的值．
解：由题意可得，
每旋转两次为一个循环，点A1（3，0），A2（6，0），
674÷2＝337，
∵P（m，﹣2）在C674上，
∴m＝337×6﹣＝2020.5，
故答案为：2020.5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．根据公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，求cos75°．
【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数值来解答．
解：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°，
＝•﹣•，
＝．
16．已知抛物线y＝﹣x2﹣4x．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
【分析】（1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）令y＝0求出x的值，然后根据二次函数的性质，即可写出x取何值时，y＜0．
解：（1）∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），对称轴是直线x＝﹣2；
（2）∵y＝﹣（x+2）2+4，
∴该函数图象开口向下，
当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+4，得x1＝0，x2＝﹣4，
∴当x＜﹣4或x＞0时，y＜0．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝4，cosB＝，求这个菱形的面积．
【分析】解直角三角形ABE，求出AB、AE后计算．
解：设菱形的边长为x，
则BE的长为x﹣4．
∵cosB＝，
∴，
可得：x＝，
∴BE＝，
∵AB2＝BE2+AE2，即+AE2，
∴AE＝6．
故：S菱形＝BC×AE＝．
18．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）将△OBC以O点为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出位似形△OB′C′，并写出B′、C′的坐标；
（2）若△OBC内一点M（x，y），写出（1）中经位似变换后M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）把M点的横纵坐标都乘以﹣2得到M′的坐标．
解：（1）如图，△OB′C′为所作，点B′的坐标为（﹣5，2）、C′的坐标为（﹣4，﹣2）；
（2）M（x，y）的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．在面积都相等的若干矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的长宽分别为x、y，求y关于x的函数表达式；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
解：（1）由题意可得：xy＝3，
则y＝（x＞0）；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y＝3，
∴x+＝3，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x+y＝5，
∴x+＝5，
整理得：x2﹣5x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴矩形的周长可能是10，
所以方方的说法对．
20．某小区要在一矩形场地修建停车场，已知该场地长30m，宽8m，原设计方案如图1所示，每车位长5m，宽2.5m，这样可修建12个车位．由于通道设计宽度仅3m，车辆进出不便，决定将原方案中的直向车位改为斜向平行四边形车位，如图2所示（三角形阴影部分不做车位），其中车位斜长AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝，车位宽度d＝CD＝2.5m．
（1）求图2中通道宽BF；
（2）实际可建成斜向车位多少个？（参考值：）
【分析】（1）利用三角函数求出AB的长度，根据BF＝AF﹣AB求出BF即可；
（2）利用三角函数求出CE，再利用勾股定理求出BC，用总长度减去BC再除以CE的长度即可求出实际建成的车位个数．
解：（1）∵AC＝5.4m，∠BAC＝α，cosα＝＝，
∴AB＝＝＝4.5（m），
∵BF＝AF﹣AB，AF＝8m，
∴BF＝AF﹣AB＝8﹣4.5＝2.5（m），
即通道宽BF为2.5m；
（2）∵d＝CD＝2.5m，CD⊥AC，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠α，
∵cos∠DCE＝cos∠α＝＝＝，
∴CE＝＝＝3（m），
∵AB2+BC2＝AC2，
∴BC＝＝＝（m），
∵（30﹣）÷CE＝（30﹣）÷3≈9（个），
∴实际可建成斜向车位9个．
六、（本大题满分12分）
21．如图，点B，A，E在同一直线上，BD∥AC，AB＝3AC，BD＝3AE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC＝BD＝a，AD＝2BD，求BC的长．
【分析】（1）由BD∥AC，得∠EAC＝∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．
（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D＝∠E＝90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．
【解答】（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA＝∠CAE，
又∵＝3，
∴△ABD∽△CAE；
（2）解：∵AB＝3AC＝3BD，AD＝2BD，
∴AD2+BD2＝8BD2+BD2＝9BD2＝AB2，
∴∠D＝90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E＝∠D＝90°，
∵AE＝BD，EC＝AD＝BD，AB＝3BD，
在Rt△BCE中，BC2＝（AB+AE）2+EC2
＝（3BD+BD）2+（BD）2＝BD2＝12a2，
∴BC＝2a．
七、（本大题满分12分）（第22题图）x
22．小明家门前有一空地，空地外有一面长10m的围墙，小明的爸爸准备一面靠墙建一个矩形花圃，他买回32m长的不锈钢管准备全部作为花圃的围栏，为了浇花和赏花方便，在花圃的正中间留一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门．如图设花圃宽为x（m），花圃总面积（阴影部分）为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大？
【分析】（1）设花圃宽为x（m），则长为（32﹣4x+2+1）m，由图形可知：花圃的面积＝长×宽﹣中间通道的面积，然后即可写出y与x之间的函数关系式，再根据地外有一面长10m的围墙，可以列出相应的不等式，从而可以得到x的取值范围；
（2）将（1）的函数关系式化为顶点式，然后根据x的取值范围和二次函数的性质，可以得到宽x设计为多大时才能使花圃的面积最大．
解：（1）设花圃宽为xm，则长为（32﹣4x+2+1）m，
由图可得：y＝（32﹣4x+2+1）x﹣x×1＝﹣4x2+34x，
∵空地外有一面长10m的围墙，
∴32﹣4x+2+1≤10且32﹣4x+2＞0，
解得6.25≤x＜8.5，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x2+34x（6.25≤x＜8.5）；
（2）∵y＝﹣4x2+34x＝﹣4（x﹣）2+，
∴该函数图象开口向下，当x＞时，y随x的增大而减小，
∵6.25≤x＜8.5，
∴当x＝6.25时，该函数取得最大值，
答：宽x设计为6.25米时才能使花圃的面积最大．
八、（本大题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为 （4，0）或（8，0） ．
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，先求出B（2，0），A（﹣1，），再将B（2，0），A（﹣1，）代入y＝ax2+bx，即可求解解析式；
（2）先求M（1，﹣），则可求∠BOM＝30°，所以∠AOM＝∠AOB+∠BOM＝150°；
（3）由∠ABO＝30°，则∠ABC＝150°，分两种情况讨论：当△ABC∽△AOM时，＝，BC＝2，则C（4，0）；当△ABC∽△MOA时，＝，BC＝6，则C（8，0）．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥y轴交于点E，
∵OB＝2，
∴B（2，0），
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠AOE＝30°，
∵OA＝2，
∴OE＝，AE＝1，
∴A（﹣1，），
将A（﹣1，），B（2，0）代入y＝ax2+bx，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣x；
（2）∵y＝x2﹣x＝（x﹣1）2﹣，
∴M（1，﹣），
∴tan∠BOM＝，
∴∠BOM＝30°，
∴∠AOM＝∠AOB+∠BOM＝150°；
（3）如图2，∠AOM＝150°，∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝150°，
当△ABC∽△AOM时，＝，
∵AO＝2，AB＝2，OM＝，
∴＝，
∴BC＝2，
∴C（4，0）；
当△ABC∽△MOA时，＝，
∴＝，
∴BC＝6，
∴C（8，0）；
综上所述：C点坐标为（4，0）或（8，0），
故答案为：（4，0）或（8，0）．
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