2021届山西省晋中市高三下学期3月适应性考试（二模）数学（文）试题
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试卷类型：A
晋中市2021年3月高三适应性调研考试
数学（文科）
（本试卷考试时间120分钟，满分150分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知向量，且，则m的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．或4
4．已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y轴于点N，交双曲线右支于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．若存在实数x，y满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设x，y满足则的最小值是_______，最大值是_________．
14．曲线在点处的切线方程为________．
15．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则_______．
16．如图所示，在平面四边形中，，在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则的面积为__________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共60分）
17．（12分）设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率．
20．（2分）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对，都有成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A，B，且的中点为Q，求线段的长．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
2021年3月高三适应性调研考试
数学（文科）答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | B | C | A | D | B | A | B | B | C |
13．答案：
14．答案：[或，或]（多种形式均得分）
15．答案：
16．答案：
17．解：（1）因为，所以，
即，
又是各项为正的单调递增数列，所以， 3分
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以． 6分
（2）， 8分
所以
10分
． 12分
18．解：（1）证明：根据已知得，又G为的中点，所以， 2分
因为，G为的中点，所以， 4分
又平面平面，所以平面， 5分
又因为，所以平面． 6分
（2）因为，所以平面，
取中点H，连接，则平面， 8分
所以对于三棱锥的体积，以三角形为底，为高，
所以， 10分
所以． 12分
19．解：（1）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元，
则，共15种情况， 3分
，共6种情况， 5分
所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为． 6分
（2）设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则，共1种情况， 8分
所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为，
故减免金额低于80元的概率． 12分
20．解：（1）由题意得，，所以． 3分
所以椭圆C的方程为． 4分
（2）证明：设，则，
．
因为点三点共线，
所以，即， 6分
所以，
整理得．① 7分
由得， 8分
则， 9分
代入①整理得， 11分
所以直线l的方程为，即直线l恒过定点． 12分
21．解：（1）， 1分
令，
①当时，，
在上，，所以单调递增． 2分
②当时，，令，
得，且，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减． 3分
③当时，，
当时，，
在上，，所以单调递增． 4分
当时，，令，
得，且，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减． 5分
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减． 6分
（2）因为，根据（1）的讨论可知，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，所以成立． 8分
当时，在上单调递减，时，，
所以存在使得，故此时不成立． 9分
当时，在上单调递增；在上单调递减，而，所以当时，单调递减，此时，不合题意． 11分
综上可得：． 12分
22．解：（1）由题意可知在曲线C中，，则，得曲线C的直角坐标方程为； 2分
因为，可得直线l的直角坐标方程为． 4分
（2）已知点P的直角坐标为，设直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程得， 6分
设A，B对应参数为，则Q对应的参数为， 8分
故． 10分
23．解：（1）当时，不等式即为， 1分
法一：当x时，可得，解得，则； 2分
当时，可得，即，所以； 3分
当时，可得，解得，则． 4分
综上可得，原不等式的解集为． 5分
法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为． 5分
（2）当时，若不等式对任意的恒成立，即为，
又 6分
当时，； 7分
当时，； 8分
当时，． 9分
故，则，即a的取值范围是． 10分
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