2021届上海市青浦区高三下学期4月第二次学业质量调研测（二模）数学试题

青浦区2020学年高三年级第二次学业质量调研测试

数学学科 试卷

                  （时间120分钟，满分150分）              Q2021.04

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1．已知集合，，则集合____________．

2．已知为虚数单位，复数，则____________．

3．已知三阶行列式的值为，则____________．

4．已知△中，，则____________．

5．已知函数最小值为，则____________．

6．的展开式中系数是____________．

7．若从一副张的扑克牌中随机抽取张，放回后再抽取张，则两张牌都是的概率

为____________．（结果用最简分数表示）．

8．已知正三角形的边长为，点在边上，且，则____________．

9．已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为，直线与该双曲线交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是____________．

10．已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是____________个．

11．已知直线与轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与直线的交点依次为，从而得到个直角三角形△，△，，△，若这些三角形的面积之和为，则____________．

12．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为____________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．已知，则“且”是“”的………………………………（     ）．

（A）充分不必要条件     （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件     （D）既不充分也不必要条件

14．下列点不在直线 (为参数)上的是……………………………………（     ）．

（A）   （B）   （C）   （D）

15．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是…………………………………（     ）．

（A）直线上的所有点都是“友善点”

（B）直线上仅有有限个点是“友善点”

（C）直线上的所有点都不是“友善点”

（D）直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”

16．已知函数的定义域为，给出以下两个结论：

① 若函数的图像是轴对称图形，则函数的图像是轴对称图形；

② 若函数的图像是中心对称图形，则函数的图像是中心对称图形．

它们的成立情况是…………………………………………………………………………（     ）．

（A）①成立，②不成立 （B）①不成立，②成立（C）①②均不成立（D）①②均成立

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，已知圆锥的体积为，底面半径与的夹角，且；是母线的中点．

（1）求圆锥的表面积；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.

19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）. 公司生产万件防护服还需投入成本(万元)．

（1）将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴万元计入公司收入)；

（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．

20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；

（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列为等差数列，且，．数列是各项均为正数的等比数列，，且对任意正整数都有成立．

（1）求数列、的通项公式；

（2）求证：数列中有无穷多项在数列中；

（3）是否存在二次函数和实数，使得为数列中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由．

青浦区2020学年第二学期高三年级第二次学业质量调研测试

　　　　　　数学参考答案                  2021.04

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1．；     2．；

3．；      4． ；

5．；      6．；

7．；     8．；

9. ；      10. ；

11． ；     12. .

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.     ；14.    ； 15．   ；16. .

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1），

（2）取中点，连接与所成角为(或其补角)， ，，所以异面直线与所成角的大小为．

18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

解:（1），

令，，

由的图像知，，即，，所以函数的值域为.

（2），，

即

，，且或

由于方程在区间上至少有两个不同的解，所以，解得，所以的取值范围为.

19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）由题意，，

即，，.

（2）对任意的(万元)，公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，，

令，则，则，

由函数在上单调递增，可得，

所以，即.

所以当复工率达到时，对任意的(万元)，公司都不产生亏损．

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

解：（1）因为，所以；

又点在图像上即，所以，

所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可得

①当直线的斜率不存在时，，以线段为直径的圆交轴于

点在以线段为直径的圆的外部，符合，此时，

②当直线的斜率存在时，设直线，设、，

由得，

解得或（i）

∵点在以线段为直径的圆的外部，则，

又

解得或  （ii）

由（i）、（ii）得实数的范围是或，

由①、②得直线的倾斜角的范围是；

（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，

记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.

令，解得，所以点S为；同理点T为.

所以，，.

由，，可得：，，

所以，

由（2）得，，

所以

综上所以的范围是.

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

解：（1）设数列公差为d，则，，所以．

设数列公比为q，由条件得，解得，从而．

（2）令得，所以，

取，则

所以能够被3整除，所以此时，即时，是数列中的项，从而数列中有无穷多项在数列中．

（3）设，若为数列中连续4项，设，则，，，

所以

于是

于是，所以，矛盾．

所以不存在二次函数和实数，使得为数列中连续4项．