1.0924高二【数学（人教B版）】空间向量在立体几何中的应用小结-课件

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第一章 空间向量与立体几何小结高二年级 数学◆ 知识结构空间向量在立体几何中的应用空间向量及其运算 一、空间向量及其运算◆ 知识归纳xyOxzOy 1.平面直角坐标系与空间直角坐标系 2.空间向量的概念及其运算共线向量定理：如果a≠0且b//a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa.共面向量定理：如果两个向量a与b不共线，则向量a,b,c共面的充要条件是：存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 3.空间向量基本定理平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 空间向量基本定理：如果空间中三个向量a,b,c不共面，则对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. 例1. 已知向量a=(4,-2,6),b=(-1,4,-2),c=(2,6,λ).（1）计算|a+2b|;（2）若向量a,b,c共面，求实数λ的值. 解：（1）因为a+2b=(2,6,2)，（2）设c=xa+yb， 所以实数λ的值为2. 空间向量与平面向量相比，无论是概念、还是运算法则与性质，都基本相同. 但是平面向量是二维空间的工具，空间向量是三维空间的工具，所以空间向量比平面向量多一个维度，其坐标形式就多一个坐标. 二、空间向量的应用 应用一：解决空间直线与平面的平行垂直问题例2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD．(3)平面PCD⊥平面PAD．解：依题意，以点A为原点，建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．不妨令x1＝1，可得m＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量．方法二：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA.又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.应用 二：解决空间中的有关角的问题 (1)异面直线所成的角设v1，v2分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线a，b所成的角θ＝< v1,v2>或θ＝π-< v1,v2>.(2)直线与平面所成角设v是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角应用 二：解决空间中的有关角的问题(3)两个平面所成的角如果n1，n2分别是平面α，β的法向量，设平面α，β所成的角为θ，则θ＝或θ＝π-< n1,n2>.例3. 如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)求平面E­BC与平面­FBC所成角的正弦值；(2) 若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．应用三：解决空间中的有关距离问题应用三：解决空间中的有关距离问题应用三：解决空间中的有关距离问题例4. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA 1=4，AB=2，∠BAD=60º，E是BC的中点．求点C到平面C1DE的距离．解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA 1=4，AB=2，∠BAD=60º，E是BC的中点．所以DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，建立空间直角坐标系.三、小结 本章是通过类比平面向量得到空间向量的有关概念、运算法则与性质，然后以空间向量为工具，解决立体几何中的有关问题.五、作业课本P61A组1,2；B组10.谢谢