天津市和平区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析

2020届天津市和平区高考二模数学试题

一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件求出a=1，再根据复数的运算法则求解复数，即可得到其在复平面内的点所在象限.

【详解】，=，

所以对应点位于第一象限.

故选：A

【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.

2.设，则“”是“”的(  )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】由可得，

由可得，

据此可知“”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.已知：，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指数函数，对数函数的性质求解.

【详解】因为，，

所以a，b，c的大小关系为.

故选：A

【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.

4.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．

【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，

∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

．

故选：B．

【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．

5.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.

【详解】，

即，即，

，，得，，.

由余弦定理得，

由正弦定理，因此，.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

6.已知双曲线的右焦点为，圆（为双曲线的半焦距）与双曲线的一条渐近线交于两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

渐近线过圆心，代入求出渐近线，点在圆上，得，由中点及线段的中点，由中位线得渐近线与平行，建立方程组求解.

【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，代入圆，得，则，所以.易知点在圆上，所以，得，即①.因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，所以，与该渐近线垂直，所以该渐近线与平行，得②.解①②组成的方程组，得，所以双曲线的方程为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程.

求双曲线方程的思路:

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为求解．

7.把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.

【详解】的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数解析式为，

故.

令，，解得，

因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，

令，，故，，

因为，故，当时，.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．

8.已知、，，则当取最小值时，值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由得出，进而可得出，利用基本不等式求出的值，利用等号成立的条件求得，进而可得出的值.

【详解】由得，，

，等号成立时，即，

此时.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.

9.已知函数，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是(　　)

A. (－2－，0]∪ B. (－2＋，0]∪

C. (－2－，0]∪ D. (－2＋，0]∪

【答案】D

【解析】

【分析】

g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，即方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解.

【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，∴方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：

当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得k＝－2＋，当y＝－kx＋与f(x)＝，x≥0相切时可求得k＝，故由图可得－2＋<k≤0或k＝时函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，即函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，故选D.

【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．

二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.

10.已知全集为，集合，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】或，，

又，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

11.的展开式中，项的系数为______.

【答案】240

【解析】

【分析】

写出二项展开式的通项公式，令的幂指数为，求出通项中的即可求解.

【详解】依题意可得，的展开式的通项为

，

令，解得，

故项的系数为.

故答案为：240

【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

12.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是___.

【答案】

【解析】

分析】

根据函数的奇偶性以及在区间上的单调性确定出上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出的范围即可.

【详解】因为是上的偶函数且在上递增，所以在上递减，

又因为，所以，

所以，所以，所以.
故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.

13.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.

【详解】(1)每个三角形面积是，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，

可求出该四面体的高为，故四面体体积为，

因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是；

(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，

连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为，

所以， 所以球的体积.

故答案为：；.

【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.

14.设抛物线的焦点为，准线为1，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则_________，三角形的面积为________.

【答案】    (1). 2    (2). 5

【解析】

【分析】

通过抛物线的焦点坐标，即可求解，利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解的面积．

【详解】解：抛物线的焦点为，

所以，

所以；

如图所示，

过点作，交直线于点，

由抛物线的定义知，，

且，

所以，，

所以，，

可知：，

所以直线的斜率为，

设直线的方程为，点，，

由，

消去整理得，

所以，

所以，

所以；

所以的面积为，

故答案为：2；5.

【点睛】本题考查抛物线的方程与性质的应用问题，涉及联立方程组、韦达定理、焦点弦和三角形面积的计算问题．

15.已知平行四边形的面积为，，为线段的中点.则_______ ；若为线段上的一点，且，则的最小值为___________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；

由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.

【详解】解：因为平行四边形的面积为，

所以，得，

所以，

如图，连接，则,

所以

因为三点共线，

所以，得，

所以，

所以

当且仅当，即时取等号，

所以最小值为，

故答案为：；

【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题.

三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学､英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.

（1）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；

（2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

【答案】（1）.（2）分布列答案见解析，数学期望

【解析】

【分析】

（1）两小组的总人数之比为8∶4，确定分层抽样的比值,即数学组抽取2人,英语组抽取1人.数学组至少有1名女同学的情况有：1名男同学､1名女同学和2名女同学两种情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出结果.

（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3,根据题意可知需满足数学组抽取2人,英语组抽取1人,根据男生的人数进行分类讨论即可求得对应的概率,进而得出结果.

【详解】（1）两小组的总人数之比为8∶4=2∶1，共抽取3人，

所以数学组抽取2人，英语组抽取1人.

从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学､1名女同学和2名女同学两种情况.

所以所求概率.

（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3

分布列为：

【点睛】本题考查古典概型概率的计算,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.

17.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，且是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）证明见解析．  （Ⅱ） ．   （Ⅲ）不存在点；理由见解析．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明平面．

（Ⅱ）根据平面的法向量，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求得二面角的值．

（Ⅲ）假设存在这样的P，设出P点坐标，根据向量的夹角关系求出P的坐标，根据P的位置即可判断出不存在．

【详解】（Ⅰ）证明：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

由已知可得各点坐标为

，

设平面的一个法向量是

由 得

令，则

又因为 ，

所以，又平面，所以平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.

因为平面，所以

又因为，所以平面.

故是平面的一个法向量.

所以 ，又二面角为锐角，

故二面角的大小为

（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为

不妨设 ，则

所以

由题意得

化简得

解得

因为，所以无解

即在线段上不存在点，使得与所成的角为

【点睛】本题考查了空间向量在证明线面平行、面面夹角及线线夹角中的应用，建立空间直角坐标系，即可利用向量数量积的坐标运算求解或证明，属于中档题．

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若，求的值；

⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2） （3）

【解析】

试题分析：（1）；（2）由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，故． （3）设，则，通过直线和椭圆方程，解得，，所以，即存在．

试题解析：

（1）设椭圆方程为，由题意知：

解之得：，所以椭圆方程为：    

（2）若，由椭圆对称性，知，所以，

此时直线方程为，  

由，得，解得（舍去），

故．

（3）设，则，

直线的方程为，代入椭圆方程，得

　　　　　，

因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，

又在直线上，所以，

同理，点坐标为，，

所以，

即存在，使得．

19.已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前n项和；

（3）若对恒成立，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据，，，列方程组解方程组可得；
（2）分和讨论，求；
（3）令，由单调性可得，由题意可得，易得的最小值．

【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由题意可得，解得或，
∵数列是公差不为0的等差数列，，
∴数列的通项公式；
（2）由（1）知，

当时，，

当时，

，

综合得：
（3）由（1）可知，

令，，∴随着的增大而增大，
当为奇数时，在奇数集上单调递减，，
当为偶数时，在偶数集上单调递增，，
，

对恒成立，
，

∴的最小值为．

【点睛】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中档题

20.已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；

（2）先由题意，将问题转化为对任意恒成立，构造函数，对函数求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.

（3）令，对函数求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.

【详解】（1）因为，

所以，

∵，∴，

∴，所以，

故函数在上单调递减，函数的最大值为；

的最小值为，

所以函数的值域为．

（2）原不等式可化为 …（*），

因为恒成立，故（*）式可化为．

令，则，

当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；

当时，令，得，

所以当时，；当时，．

所以当，即时，函数成立；

当，即时，函数在上单调递减，，解得

综上，．

（3）令，则．

由，故存在，使得，

即 ．

所以，当时，；当时，．

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，

故函数

，

因为，所以，

故，

即．

【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.