专题1.3 有理数（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.3  有理数（知识讲解）【学习目标】1．理解有理数的概念；2. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想；3. 理解并识记一些特殊的数。【要点梳理】有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：   （2）按正数、负数与0的关系分类：　
　　　                 　　     特别说明：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、有理数概念的理解 1、（2020·天津市宝坻区第二中学七年级月考）把下列各数分别填入相应的（1）正数集合：  {　                             …}；（2）负数集合：  {　                             …}；（3）整数集合：  {　                             …}；（4）有理数集合：{　                             …}．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）正数比0大；（2）负数比0小；（3）整数包含正整数、0、负整数；（4）整数和分数统称为有理数．解：（1）正数集合：；（2）负数集合：；（3）整数集合：；（4）有理数集合：．【点拨】本题考查有理数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式1】 （2018·武汉市南湖中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合内：5，，0， 0.56， －3， ， －0.0001， ＋2， －600， π正整数集合：{                       …}；负整数集合：{                       …}；正分数集合：{                       …}；负分数集合：{                       …}．【答案】见详解．【分析】根据正整数、负整数、正分数、负分数的定义，分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，则正整数集合：{ 5、＋2、…}；负整数集合：{－3、－600、…}；正分数集合：{0.56、、…}；负分数集合：{、－0.0001、…}．【点拨】本题考查了正整数、负整数、正分数、负分数的定义，解题的关键是掌握有理数的分类进行解题．【变式2】 （2020·成都市双庆中学校七年级月考）将下列各数填在相应的大括号里，，，，，，，，，，，，①负分数集合：{___________}②非负整数集合：{___________}③正有理数集合；{_____________}【答案】①；②；③．【分析】把小于0的有限小数、无限循环小数、分数填入；把0及正的整数填入；把大于0且不包括的所有数填入．解：负分数集合：非负整数集合：正有理数集合：【点拨】本题考查有理数的概念及分类．注意3.14是有理数，不是有理数；有限小数和无限循环小数是分数，是有理数．类型二、0的意义2．（2019·全国七年级课时练习）在表中符合条件的空格里画上“√”.【答案】【分析】根据有理数的分类，分别对：-8，-2.25，，0进行分类判断即可.解：-8属于有理数、整数；-2.25属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；0属于有理数、整数、自然数.【点拨】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.举一反三：【变式1】（2021·全国七年级）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．解：①零既不是正数也不是负数；②零小于正数，大于负数；③零不能做分母；④零是最小的非负数；⑤零的相反数是零;⑥任何不为零的数的零次幂为1；⑦零乘以任何数都是零等．【点拨】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．【变式2】 （2019·四川巴中市·七年级期中）把下列各数填在相应的括号内：+5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100（1）正整数：（                                     ）（2）分数：（                                       ）（3）非负数：（                                     ）【答案】（1）正整数：（ +5， 7，100）；（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）；（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100）【分析】根据正整数，分数和非负数的意义进行判断即可，注意0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0．解：（1）正整数：（ +5， 7，100）（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100）【点拨】本题考查有理数的分类，掌握0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0是本题的解题关键．类型三、有理数的分类3、（2020·重庆市江津实验中学校）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内．（1）正分数集合：｛                      …｝（2）负整数集合：｛                      …｝（3）非负整数集合：｛                    …｝（4）非正数集合：｛                      …｝（5）有理数集合：｛                      …｝【答案】（1）8.6；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】按有理数分类标准挑选即可．解：（1）正分数集合：｛   8.6                   …｝，（2）负整数集合：｛  -11，-9                    …｝，（3）非负整数集合：｛ 0，  +12                 …｝，（4）非正数集合：，（5）有理数集合：．【点拨】本题考查有理数的分类问题，关键是掌握有理数分类的标准，不重复，不遗漏． 举一反三：【变式1】（2020·邢台市第七中学七年级月考）把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开）5，，0，20%，，正数集合{                    …}；负分数集合{                        …}；整数集合{                    …}；正分数集合{                        …}．【答案】正数集合{5，，20%…}；负分数集合{…}；整数集合{5，0，…}；正分数集合{ ，20%…}.【分析】根据正数、负分数、整数和正分数的定义逐一判断即可．解：正数集合{5，，20%…}；负分数集合{…}；整数集合{5，0，…}；正分数集合{ ，20%…}.【点拨】本题考查有理数的分类，掌握正数、负分数、整数和正分数的定义是解题的关键．【变式2】（2020·滨州市滨城区滨北街道办事处北城英才学校七年级月考）把下列各数填在相应的括号里：﹣，﹣1，0，+6，﹣1.08，，10%，0.33…，4．正数集合：{                     }负数集合：{                     }自然数集合：{                   }分数集合：{                     }非负整数集合：{                 }【答案】+6，，10%，0.33…；﹣，﹣1，﹣1.08；0，+6，4；﹣，﹣1.08，，10%，0.33…；0，+6，4．【分析】根据正数、负数、自然数、分数、非负整数的定义将对应的数字填入括号即可．解：正数集合：{+6，，10%，0.33……}负数集合：{﹣，﹣1，﹣1.08…}自然数集合：{0，+6，4…}分数集合：{﹣，﹣1.08，，10%，0.33……}非负整数集合：{0，+6，4…}【点拨】本题主要考查有理数的分类，熟记正数、负数、自然数、分数、非负整数的定义是解题关键．类型四、带“非”的有理数4．（2020·广西河池市·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号里．－0.78，3，，－10，0，－4．正数：{　　　　}；分数：{　　　　}；非负整数：{　　　　}；【答案】正数：；分数：；非负整数：．【分析】根据正数、分数、非负整数的定义即可得．解：正数：；分数：；非负整数：．【点拨】本题考查了正数、分数、非负整数，掌握理解有理数的概念和分类是解题关键．举一反三：【变式1】 （2020·成都市第四十中学校七年级月考）把下列各数按要求分类：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ，⑩ ．．．（填序号）整数集合：｛　　 ｝．分数集合：｛　　　 ｝．正数集合：｛ 　　　｝．非负有理数集合：｛　　　 ｝．【答案】整数集合：①③⑥⑧；分数集合：②④⑤⑦⑨；正数集合：③④⑥⑦⑨⑩；非负有理数集合：③④⑥⑦⑧⑨⑩．【分析】根据整数、分数和有理数的定义逐一判断即可．解：由题意得：整数集合：①③⑥⑧；分数集合：②④⑤⑦⑨；正数集合：③④⑥⑦⑨⑩；非负有理数集合：③④⑥⑦⑧⑨⑩．【点拨】本题考查了有理数的分类，题目较为基础，关键是掌握有理数的两种分类方式：按定义分类和按正负分类．【变式2】 （2019·广西南宁市·南宁三中七年级期中）将下列各数填入适当的括号内-7，，-0.96，2019，0，，3.14，-50（1）负分数集合：{                       ……}（2）整数集合：{                       ……}（3）非负整数集合：{                       ……}【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】分数和正数统称有理数,整数包括正整数,0,负整数;分数包括有限小数和无限循环小数;非负整数是指正整数和0.解：（1）负分数集合:（2）整数集合:（3）非负整数集合:【点拨】本题主要考查有理数的分类,解决本题的关键是要熟练掌握有理数的分类.