专题1.5 数轴（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.5  数轴（知识讲解）【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素； 2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 3．体会并理解数形结合思想；4. 初步理解数轴上的动点问题.【要点梳理】1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.特别说明：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.特别说明：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.【典型例题】类型一、数轴的三要素及画法 1．在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做________，在直线上任取一点表示0，这个点叫做________；通常规定直线上向右的方向为________；选取适当的长度作为________，数轴的三要素为________、________、________.【答案】  数轴  原点  正方向  单位长度  原点  正方向  单位长度【解析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．在画数轴时，一般先画成一条水平的直线，再在直线上选取一点为原点，然后用箭头表示向右为正，最后根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…．故答案为：数轴，原点，正方向，单位长度，原点，正方向，单位长度.举一反三：【变式1】 （2021·安徽阜阳市·七年级期中）如图图中数轴画法不正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据数轴的定义对各选项进行逐一分析即可．解：（1）没有正方向，数轴画法不正确；（2）单位不统一，数轴画法不正确；（3）缺少单位长度，数轴画法不正确；（4）单位不统一，数轴画法不正确；（5）符合数轴的定义，数轴画法正确．故选C．【点拨】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．【变式2】（2019·江苏无锡市·七年级月考）下列结论正确的有（      ）个：                                     ① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴  ② 最小的整数是0  ③ 正数，负数和零统称有理数  ④ 数轴上的点都表示有理数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A解：试题解析：①规定了唯一的原点，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴，故命题不正确；②整数包括负整数，故此命题错误；③应为正有理数、负有理数和零统称有理数，故此命题不正确；④数轴上的点不但表示有理数，也能表示无理数，故此命题错误．综上所述，全都不正确．故选A．【点拨】数轴：规定了唯一的原点，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴．有理数是整数和分数的统称．正数、负数和零统称有理数．数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数．【变式3】 （2019·全国七年级专题练习）关于数轴下列说法最准确的是(     )A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线【答案】D解：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D正确.故选D.类型二、用数轴上的点表示有理数2．（2020·云梦县实验外国语学校七年级月考）在数轴上，表示数–3，2.6，，0，，，–1的点中，在原点左边的点有__________个．【答案】4【解析】数轴上，表示负数的点在原点的左边；表示正数的点在原点的右边．本题中的负数有–3，，，–1，共4个，所以在原点左边的点有4个．故答案为：4．举一反三：【变式1】（2018·全国七年级课时练习）如图，指出数轴上A、B、C、D、E各点表示什么数．【答案】A:1  B: -4.5  C:3.5  D: -2  E：-0.5【分析】数轴是规定了原点（0点）、方向和单位长度的直线，在原点（0点）左边的点所表示的数都是负数，右边的点表示的数都是正数．根据各点在数轴上的位置，即可确定此点所表示的数．【详解】如图，各点表示的数分别是：A：1，B：-4.5，C：3.5，D：-2，E；-0.5．【点拨】此题主要考查了数轴，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的各点一一对应．类型三、利用数轴表示有理数的大小3、（2019·宁夏石嘴山市·七年级期末）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“＞”把它们连接起来．–3，+1，，－1.5，－（－5）．【答案】见解析， ．【分析】利用数轴的定义把直线补充成一条数轴，然后描出5个数表示的点，再利用在数轴上右边的数总比左边的数大表示它们的大小关系．解：如图，

  用“＞”把它们连接起来 ．故答案为：见解析， ．【点拨】本题考查数轴，有理数的大小比较：比较有理数的大小可以利用数轴，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式1】（2019·全国七年级专题练习）把下列各数在数轴上表示出来，3.5， -3.5， 0， 2，  -0.5， -2， 0.5. 并按从小到大的顺序用“＜”连接起来.【答案】在数轴上表示见解析，-3.5 ＜ -2 ＜-0.5  ＜ 0 ＜ 0.5＜ 2＜ 3.5 【分析】先在数轴上找出对应的点,然后根据数轴的特点按从小到大的顺序用""连接起来.解：在数轴上表示：从小到大的顺序是：用“＜”连接起来。-3.5 ＜ -2 ＜-0.5  ＜ 0 ＜ 0.5＜ 2＜ 3.5【点拨】本题考查了有理数与数轴的关系,由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.【变式2】 （2018·邻水县九龙镇中学七年级期中）在如图所示的数轴上表示3.5和它的相反数、－和它的倒数、绝对值等于1的数、－2和它的立方，并用“＜”把它们连接起来．【答案】见解析【分析】根据题目中的数据，可以在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列起来.解：题目中各个数据在数轴上表示如下：－8＜－4＜－3.5＜－2＜－1＜－＜1＜3.5.【点拨】本题考查数轴、相反数、绝对值、倒数，解答本题的关键是在数轴上表示出各个数据.类型四、数轴上两点之间的距离4、（2020·河南洛阳市·七年级期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为　   　，　   　，m的值为　   　；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．【答案】（1）﹣3，﹣1，﹣4；（2）﹣2；（3）8或-40．【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m=﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．【变式1】 （2020·全国七年级课时练习）在一条东西方向的跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以西？他距离旗杆多少米？【答案】小亮此时的位置在旗杆以东；距离旗杆20米．【分析】可以画出数轴，以旗杆为原点，正东方向为正方向，取10米为单位长度，按照要求画出图，即可解决．解：如图，规定从旗杆开始向东为正，向西为负．∵小亮从旗杆处向东跑60米，可记为米，向西跑40米，可记为米∴+60-40=+20（米）∴小亮此时的位置在旗杆以东，距离旗杆20米．【点拨】本题主要考查了数轴，熟知数轴的定义和三要素是解决本题的关键．类型五、数轴上的动点问题5、（2020·全国七年级课时练习）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．（1）数轴上点表示的数是___________；点表示的数是___________(用含的代数式表示)（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发，问多少秒时之间的距离恰好等于2？（3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长．【答案】（1），；（2）2.5秒或3秒；（3）线段的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】 （1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点相遇之前；②点相遇之后，分别列式求解即可．（3）分两种情况：①当点在点两点之间运动时；②当点运动到点的左侧时，分别列式求解即可．解：（1），；（2）分两种情况：①点相遇之前，由题意得，解得．②点相遇之后，由题意得，解得．答：若点同时出发，2.5或3秒时之间的距离恰好等于2；（3）线段的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点在点两点之间运动时：；②当点运动到点的左侧时，；线段的长度不发生变化，其值为11．【点拨】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·胶州市第二十六中学七年级月考）如果点A表示+3，将A向左移动7个单位长度，再向右移动3个单位长度，则终点表示的数是__________．【答案】-1【分析】根据向右为正，向左为负，根据正负数的意义列式计算即可.解：根据题意得，终点表示的数为：3-7+3=-1．故答案为-1．【点拨】本题考查了数轴，正负数在实际问题中的应用，在本题中向左、向右具有相反意义，可以用正负数来表示，从而列出算式求解．【变式2】 （2020·仪征市实验中学东区校七年级月考）一只蚂蚁从数轴上点出发爬了个单位长度到了表示的点，则点所表示的数是________．【答案】或【分析】一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位长度到了表示-1的点B，因为蚂蚁可能从左向右爬，也可能从右向左爬，因此要分两种情况，所以点A所表示的数是-5或3.解：若右向左爬，则-1+4=3；若从左向右爬 ，则-1-4=-5.【点拨】本题考查的是数轴上点的位移，熟练掌握位移的方法是解题的关键.类型六、数形结合判断有理数的正负性6、（2021·广东九年级期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b_____0．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞【分析】根据a、b在数轴上的位置可得：－1＜a＜0＜1＜b，据此求解即可．解：由图可得：－1＜a＜0＜1＜b，则有a+b＞0．故答案为＞．【点拨】本题考查了数轴和有理数的加法，解答本题的关键是根据a、b的在数轴上的位置得出a、b的大小关系．举一反三：【变式1】（2019·长沙市雅礼实验中学七年级月考）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则a﹣b_____0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】＜【分析】根据原点左边的数小于0、原点右边的数大于0，可得出和的符号，继而结合选项可得出答案．解：由坐标轴可得，，，．故答案为：【点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数．【变式2】（2018·全国七年级课时练习）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，试用“＞”“＝”或“＜”填空：a________0，b________0，a_______b.【答案】<    >    <     【分析】根据数轴上点的坐标特征解答即可.解：由数轴可知，a＜0，b>0，a<b．故答案为：＜，＞，<．【点拨】此题考查了数轴上的点的坐标特征：原点左边的数为负数、右边的数为正数，原点坐标为0，不分正负，熟悉数轴的结构是解题的关键．