专题1.14 有理数的减法（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.14   有理数的减法（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握有理数减法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；

2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；

3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、有理数减法

 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．

 特别说明：

（1）任意两个数都可以进行减法运算．

（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．

2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．

特别说明： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：

要点二、有理数加减混合运算

将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

【典型例题】

类型一、有理数的减法运算 

1．计算：

（1）                （2）

【答案】（1）-6；（2）18．

【分析】（1）先算括号里面的，再根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解；（2）根据有理数的减法法则进行计算即可得解．

解：（1）

（2）

【点拨】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）；      （2）．

【答案】（1）；（2）7．

【分析】（1）先去括号，再计算有理数的减法即可得；（2）先去括号，再计算有理数的加法即可得．

解：（1）原式，

，

；

（2）原式，

．

【点拨】本题考查了去括号、有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．

【变式2】若，是整数且满足：，求的值．

【答案】1或3．

【分析】根据数轴上两点间的距离及绝对值的意义，结合题意确定a与b的值，然后代入求解．

解：表示数轴上表示a的点与1的距离，表示数轴上表示b的点与-1的距离

又∵且，是整数

∴或

由此解得：当a=2，b=-1时，；

当a=0，b=-1时，；

当a=1，b=0时，；

当a=1，b=-2时，；

综上，的值为1或3．

【点拨】本题考查绝对值的意义及有理数的减法运算，正确理解题意，采用数形结合思想解题是关键．

类型二、有理数减法的实际运用

2．检查袋水泥的质量，把超过标准质量的千克数记为正数，不足标准质量的千克数记为负数，检查结果如下表所示（单位：千克）：

（1）最接近标准质量的是几号水泥？请说明理由．

（2）计算质量最多的水泥比质量最少的水泥多的千克数．

【答案】（1）最接近标准质量的是5号水泥；（2）质量最多的水泥比质量最少的水泥多17千克

【分析】（1）根据超过标准质量的千克数记为正数，不足标准质量的千克数记为负数，可得绝对值最小的最接近标准，依此求解即可；（2）用质量最大的水泥的千克数减去质量最小的水泥的千克数，即可求解．

解：（1）最接近标准质量的是5号水泥．

∵，，，，，

∴最接近标准质量的是5号水泥．

（2）（千克）．

答：质量最多的水泥比质量最少的水泥多17千克．

【点拨】本题考查了绝对值、有理数的减法在实际中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．

举一反三：

【变式1】一建筑工地记录星期一和星期二仓库水泥的进货和出货数量如下，其中进货为正，出货为负(单位：吨)：

（1）分别列出算式表示出这两天水泥进货和出货的合计量，并算出结果；

（2）星期一该建筑工地仓库的水泥库存是增加了还是减少了？星期二呢？

【答案】（1）见解析；（2）星期一增加了，星期二减少了

【分析】

（1）根据出货记为负，进货记为正，根据有理数的加减法，可得答案．

（2）根据减少了记为负，增加了记为正，根据有理数的加减法，可得答案．

解：（1）进货总量：5+3=8，出货总量：-2-4=-6；

（2）星期一库存变化：5-2=3，增加了；

星期二库存变化：3-4=-1，减少了．

【点拨】本题考查了正数和负数，有理数的加减法的应用，理解题意，列出算式即可解答．

【变式2】 某冷库的温度是-20℃，下降8℃后，又下降了6℃，两次变化后冷库的温度是多少？

【答案】-34℃

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．

解：根据题意得：-20-8-6=-34（℃）．

【点拨】此题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

类型三、有理数加减混合运算

3、计算下列各题：

（1）；            （2）．

【答案】（1）-7；（2）2

【分析】（1）先根据绝对值的意义化简，再相减；（2）先化简符号，再计算同分母分数，最后合并．

 解：（1）

=

=-7；

（2）

=

=

=2

【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则．

举一反三：

【变式1】 计算：

【答案】-3

【分析】先化简符号，将分数化为小数，再作加减法．

解：

=

=

=

=-3

【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及简化运算的方法．

【变式2】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，

根据上面的规律，把（1）（2）（3）中的式子写成去掉绝对值符号的形式，并计算第（4）题．

（1）___________．

（2）__________．

（3）__________．

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）根据题目形式打开绝对值符号即可；（2）根据题目形式打开绝对值符号即可；（3）根据题目形式打开绝对值符号即可；（4）运用前面总结的结论，打开绝对值符号，再计算即可

解：（1）

（2）

（3）

（4）原式==

【点拨】本题考查了绝对值的代数意义，能够理解题意且根据题意准确打开绝对值符号是解题关键

类型四、有理数加减的简便运算

4、计算：

（1）19＋（－6.9）＋（－3.1）＋（－8.35）   

（2）（－）＋3.25＋2＋（－5.875）＋1.15

【答案】（1）0.65；（2）1

【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算求解即可；（2）利用加法交换律和结合律简化运算求解即可．

解：（1）19＋（－6.9）＋（－3.1）＋（－8.35）

=19＋[（－6.9）＋（－3.1）]－8.35

=19-10-8.35

=9-8.35

=0.65；

（2）（－）＋3.25＋2＋（－5.875）＋1.15

=[（－）＋（－5.875）]＋[3.25＋1.15＋2.6]

=-6+7

=1．

【点拨】本题主要考查有理数的加减运算，正确运用运算法则是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）

（2）     

（3）

【答案】（1）-21；（2）0.98；（3）

【分析】（1）将分数化为小数，把小数部分相同的相加，再计算；（2）将同号的相加，再计算加法；（3）省略括号，同时将分数和分数，小数和小数交换结合到一起，然后计算即可得答案．

解：（1）

= - 25-3.75+7.75

= - 25+4

= - 21；

（2）   

=（-0.6）+（-3.4）+0.08+1.92+2.98

=-4+4.98

=0.98；

（3）

=

=

=．

【点拨】此题考查有理数的运算，掌握有理数的省略括号的方法、加减法计算法则是解题的关键．

【变式2】计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先去绝对值符号和括号，再相加减即可；（2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律进行计算．

解：（1）

＝

＝

＝

（2）

＝

＝

＝

【点拨】考查了有理数的加减法和去括号，解题关键是熟记去括号法则和利用计算法则进行计算．

类型五、有理数加减混合运算的应用

5、某仓库原有某种货物库存200千克，现规定运入为正，运出为负；一天中七次出入如下（单位：千克）

（1）在第________次纪录时库存最多．

（2）求最终这一天库存增加或减少了多少？

（3）若货物装卸费用为每千克0.3元，问这一天需装卸费用多少元？

【答案】（1）四；（2）增加了55千克；（3）109.5元

【分析】

（1）分别算出每一次出入后的库存量，再比较即可；

（2）根据表格数据相加计算即可求解；

（3）根据总价=单价×数量计算即可求解．

 解：（1）第一次库存为：200-30=170千克，

第二次库存为：170+80=250千克，

第三次库存为：250-10=240千克，

第四次库存为：240+100=340千克，

第五次库存为：340-90=250千克，

第六次库存为：250+30=280千克，

第七次库存为：280-25=255千克，

∴在第四次纪录时库存最多；

（2）-30+80-10+100-90+30-25=55千克，

∴最终这一天库存增加了55千克；

（3）（30+80+10+100+90+30+25）×0.3=109.5元，

∴这一天需装卸费用109.5元．

【点拨】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】学校为了备战校园足球联赛，利用体育课让学生进行足球训练，为了训练学生快速抢断转身，体育老师设计了折返跑训练．老师在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：

+40，﹣30，+45，﹣25，+25，﹣35，+15，﹣28，+16，﹣18．

（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？

（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？

（3）学生在一组练习过程中，跑了多少米？

【答案】（1）在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）最远处离出发点55米；（3）跑了277米

【分析】

（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；

（2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果；

（3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可．

  解：（1）（+40）+（﹣30）+（+45）+（﹣25）+（+25）+（﹣35）+（+15）+（﹣28）+（+16）+（﹣18）＝+5（米）．

答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点5米；

（2）第一段，40米，

第二段，40﹣30＝10（米），

第三段，10+45＝55（米），

第四段，55﹣25＝30（米），

第五段，30+25＝55（米），

第六段，55﹣35＝20（米），

第七段，20+15＝35（米），

第八段，35﹣28＝7（米），

第九段，7+16＝23（米），

第十段，23﹣18＝5（米），

故最远处离出发点55米；

（3）|+40|+|﹣30|+|+45|+|﹣25|+|+25|+|﹣35|+|+15|+|﹣28|+|+16|+|﹣18|＝277（米）．

答：学生在一组练习过程中，跑了277米．

【点拨】此题考查有理数的加减法的实际应用，绝对值的性质，正确理解题意列式进行计算是解题的关键．

【变式2】某检修小组乘一辆检修车沿一段东西方向铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下：

+12，-5，-9，+10，-4，+15，-9，+3，-6，-3，-7

（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？

（2）若检修车每千米耗油0.3升，求从出发到收工时检修车共耗油多少升？

【答案】（1）收工时，检修小组距离出发地点3千米，在点西侧；（2）24.9升

【分析】

（1）根据有理数的加法，可得答案；

（2）根据单位耗油量乘以路程，可得答案；

解：（1）；

答：收工时，检修小组距离出发地点3千米，在点西侧．

（2）（升）．

答：从出发到收工时检修车共耗油24．9升；

【点拨】本题考查了正负数，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.