专题1.16 有理数的乘法（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.16   有理数的乘法（知识讲解）

【学习目标】

1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；

2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；

3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；

4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘法

1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同0相乘，都得0．

特别说明：

(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如  -  2与  -  3的乘积，应列为(  -  2)×(  -  3)，不应该写成  -  2×  -  3．

2. 有理数的乘法法则的推广：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．

 特别说明：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．

3. 有理数的乘法运算律：

（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．

（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．

（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b + c)＝ab + ac．

特别说明：

（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．

（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b + c + d)＝ab + ac + ad．

（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．

要点三、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．

要点四、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．

【典型例题】

类型一、两个有理数的乘法运算

1．计算：

；        ；；     ．

【答案】 ；；；．  

【解析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．

详解：（1）

=   -  （）

=   -  6；

（2）

=

= 14；

（3）

 =  - （7.6×0.5）

=  -  3.8；

（4）

=

=

=．

点拨：本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．

举一反三：

【变式1】 计算：

（1）                    （2）

（3）             （4）   

（5）              （6）

（7）              （8）．   

（9）              （10）

（11）            （12）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）

【分析】

（1） -  -  - （12）根据有理数的乘法法则计算；

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）．

【点拨】本题考查了有理数的乘法，两个有理数相乘，同号得正，异号得负，任何有理数与0相乘，都得0，熟练掌握乘法法则是解题的关键．

【变式2】 对于整数a、b、c、d，定义  表示运算ac－bd．求  的值.

【答案】1

【分析】直接利用  表示运算ac－bd，代入已知数可求出答案.

解：  =3×（ - 2）－7×（ - 1）= - 6 + 7=1.

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义是解题关键.

 类型二、多个有理数的乘法运算

2．计算：．

【答案】 - 27.

【解析】逆用乘法的分配律进行简便计算即可.

解：原式

．

【点拨】本题主要考查的是有理数的乘法，逆用乘法分配律是解题的关键.

举一反三：

【变式1】．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24．

(1)求3*( - 4)的值；

(2)求( - 2)*(6*3)的值．

【答案】（1） - 48；（2） - 576

【分析】（1）根据a*b=4ab，把3*（﹣4）转化为常规运算计算即可；（2）根据a*b=4ab，先算6*3，再算（﹣2）*（6*3）即可.

 解：（1）∵a*b=4ab，

∴3*（﹣4）=4×3×（﹣4）= - 48；

（2）∵a*b=4ab，

∴（﹣2）*（6*3）

=（﹣2）*（4×6×3）

=（﹣2）*72

=4×（﹣2）×72

= - 576.

【点拨】本题考查了新定义运算及有理数的乘法，明确新定义的算理，把新定义运算转化为常规运算是解答本题的关键.

【变式2】 计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；  （2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．

【答案】（1）；（2）﹣1．

 【分析】按照先算乘除再算加减，有括号的先算括号里面的顺序运算．注意观察算式的特点，能运用运算定律简算，或者其它简便方法简算的要简算．

解：（1）原式=﹣0.75×（﹣0.4 ）×

=

=；

（2）原式=0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）

=﹣×××

=﹣1．

【点拨】考察的基本运算法则，根据运算顺序计算．本题有很多可以简算，用相关的运算定律简算．

 类型三、有理数的乘法运算的实际应用

3、有张写着不同数字的卡片：

，，，，，，如果从中任意抽取张．

使这张卡片上的数字的积最小，应该如何抽？积又是多少？

使这张卡片上的数字的积最大，应该如何抽？积又是多少？

【答案】(1) 抽数据、、,最小值－80；（2）抽数据；；，最大值120

【解析】(1)根据几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负可得应该抽取抽数据 - 8、5、2；(2) 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正可得抽数据 - 8、 - 3、5.

解：抽数据、、；

；

抽数据；；，

．

【点拨】此题主要考查了有理数的乘法，关键是掌握多个有理数相乘的法则.

举一反三：

【变式1】 (1) 某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：

表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？

(2)某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利 2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何?

【答案】（1）星期六盈利，盈利38元；（2）这个公司去年全年盈利3.7万元．

【分析】

(1)根据表格可知星期六盈亏情况等于合计减去其他六天盈亏之和;

(2)公司去年全年总的盈亏等于各月盈亏情况之和.

解：（1）解:星期六盈亏情况为:458﹣（﹣27.8﹣70.3 + 200 + 138.1﹣8 + 188）=38, 

星期六盈利,盈利38元;

（2）记盈利额为正数,亏损额为负数,

公司去年全年盈亏额（单位:万元）为:（﹣1.5）×3 + 2×3 + 1.7×4 + （﹣2.3）×2=3.7.

答：这个公司去年全年盈利3.7万元．

【点拨】本题主要考查有理数的加减法,有理数乘法的应用,解决本题的关键是要正确确定题目中的等量关系.

【变式2】某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200（不含200元）元而不足500元，所有商品按购物价优惠10%，超过500元的，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠，A，B两个商品价格分别为180元，550元．

（1）某人第一次购买一件A商品，第二次购买一件B商品，实际共付款多少元？

（2）若此人一次购物购买A，B商品各一件，则实际付款多少钱？

（3）国庆期间，某人在该商场两次购物分别付款180元和550元，如果他合起来一次性购买同样的商品，还可节约多少钱？

【答案】(1) 670元； (2) 634元；  (3)36元 ．

【解析】试题分析：商品元不超过元，不给优惠，按原价付款.商品 元，其中元按折优惠,超过的有元按折优惠.列出式子，即可算出他共付多少元.

一次性购买商品各一件，价格超过元，元按折优惠,超过的有元按折优惠. 列出式子，即可算出他共付多少元.

问算出的结果与 问算出的结果相减，即可知道他节约多少钱.

解：由题意得：(元).

(元).

答：若此人一次够买商品各一件，实际共付634元.

(元).

答：实际共付670元.

实际付款634元.

可节约元.

 类型四、倒数

4、有一列数a1，a2，a3，…an，若a1=，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．

（1）试计算a2，a3，a4；

（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据题中的要求，按所给公式进行计算；（2）由（1）中的计算可知，每三个值为一个循环，把2016除以3，由余数即可确定结果.

试题解析：

（1）∵a1=，

∴a2==2，

∴a3==﹣1，

∴a4==；

（2）由（1）得：

∵2016÷3=672，

∴a2016=﹣1，

a2017=．

举一反三：

【变式1】若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则2019a + 2018b + bcd=_________．

【答案】0

【解析】根据相反数和为零，倒数积为1，得到a + b=0，cd=1然后再把2019a + 2018b + bcd变形为2018(a + b) + a + bcd，代入进行计算即可．

解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，

∴a + b=0，cd=1，

∴2019a + 2018b + bcd=2018(a + b) + a + bcd=a + b=0.

故答案为0．

【点拨】此题主要考查了相反数和倒数，关键是掌握相反数和为零，倒数积为1．

【变式2】最小的正整数是______，最大的负整数是_______，绝对值最小的有理数是________，倒数等于它本身的数是________．

【答案】1     - 1    0    ±1   

解：最小的正整数是1，最大的负整数是 - 1，绝对值最小的有理数是0，倒数等于它本身的数是±1．

故答案为 (1). 1，(2).  - 1，(3). 0，(4). ±1.

 类型五、有理数乘法运算律

五、请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：

（1）999×（ - 15）；           （2）999× + 999×（） - 999×.

【答案】(1) - 149985;(2)99900.

解：试题分析：根据题目中所给的规律，第一题凑整法，第二题提同数法解决即可.

试题解析：（1）999×（ - 15）=（1000 - 1）×（ - 15）=15 - 15000=149985;

（2）999× + 999×（） - 999×=999×[ + （） - ]=999×100=99900.

考点：有理数的运算.

举一反三：

【变式1】计算题：

(1)（ - 20） - （ + 3） - （ - 5）                    (2)

 (3) |－3|×（－5）÷（－）                (4)

(5)                       (6)（）×4

(7)      (8)

【答案】（1） - 18；（2） - 5；（3）9；（4） - 25；（5） - 15；（6） - 399；（7）0；（8）40.

【解析】根据有理数的运算法则可解答本题.

 解：（1）原式=（ - 20） + （ - 3） + 5  

                   = - 23 + 5

                   = - 18

   （2）原式=

           = - 6 + 1

           = - 5

（3）原式=3×（－5）

        =35

        =9

  (4) +

      = - 28 + 30 - 27

      = - 25

 （5）

      = - 1 + 0 - 14

      = - 15

 （6）原式=（ - 100 +

       = - 400 +

       = - 399

(7)原式=

=0

=0

(8)

=4 - 1

=4 + 36

=40

【点拨】本题考查了有理数的加、减、乘、除、乘方的运算及它们的混合运算，正确理解运算法则及运算顺序是解题的关键.

【变式2】用简便方法计算

(1)                  (2).

【答案】(1)；(2)99900.

【分析】（1）将写成，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将写成，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果.

 解：(1)

；

(2)原式

.

【点拨】此题考察有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的.