专题2.1 整式-单项式（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.1  整式-单项式（知识讲解）

【学习目标】

1．认识整式的意义及表示方法；

2．掌握单项式系数及次数的概念；

3. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．

【要点梳理】

要点一、单项式

1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

特别说明：

（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

特别说明：

（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

特别说明：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

　【典型例题】

类型一、用字母表示数

1．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收0.80元，以后每天收0.50元．那么一张光盘在租出n天（n是大于2的自然数）应收租金___元．

【答案】0.5n+0.6

【分析】先求出出租后的头两天的租金，然后用n-2求出超出2天的天数，进而求出超出两天后的租金，然后将两部分租金相加即可解答.

解：由题意可得，应收租金为：

=1.6+0.5n-1

=0.5n+0.6

故答案为0.5n+0.6

【点拨】本题考查了列代数式，仔细辨别题意，分清数量关系是解题的关键.

举一反三：

【变式1】若x、y分别表示1﹣9中一个数字，小明想用x、y来组成一个两位数且把x放在y的右边，则这个两位数可以表示为_____．

【答案】10y+x

【分析】根据两位数的表示方法即可求解．

    解：由题意可知，这个两位数可以表示为10y+x．

故答案为10y+x．

【点拨】本题考查列代数式，会用字母表示两位数是解答的关键．

【变式2】一种商品每件成本价是元，按成本增加定价出售，后由于库存积压，又按定价的出售，则该商品现在的售价是__________元.

【答案】1.08a

【分析】先列出开始的售价，再列出后来的售价即可．

    解：由题意可知，开始的售价为(1+20％)a元，
所以后来的售价为90％×(1+20％)a=1.08a元..
故答案为1.08a．

【点拨】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

类型二、列代数式

2．长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．

【答案】

【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．

     解：根据单价×数量=总价得，共需花费元，

故答案为：．

【点拨】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．

举一反三：

【变式1】苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克____元(用含x的代数式表示).

【答案】0.8x

【解析】试题解析：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．

考点：列代数式．

【变式2】 如果把每千克元的糖果千克和每千克元的糖果千克混合在一起，那么混合后的糖果的售价是每千克_____元．

【答案】

【分析】求出糖果总重量，和总价，最后用总价除以总重量即可求解．

解：糖果总重量为：10+3=13（千克）

糖果总价为：

则每千克糖果的售价为元

故答案为．

【点拨】本题考查了列代数式，正确的求出糖果总重量和总价是本题的关键．

类型三、用代数式表示数、图形规律

3、根据排列规律，在横线上填上合适的代数式；x，，，_______，….

【答案】

【分析】根据已知的代数式可知第四个代数式的x的次数为4，系数为奇数，故可求解.

解：∵x，，，

∴第四个代数式的x的次数为4，系数为7，

故填：.

【点拨】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是根据已知的代数式找到规律.

举一反三：

【变式1】如图，将图中的菱形剪开得到图，图中共有个菱形；将图中的一个菱形剪开得到图，图中共有个菱形；如此剪下去，第图中共有_____个菱形……，第个图中共有_____个菱形．

【答案】13，       

【分析】观察图形可知，每剪开一次多出个菱形，然后写出前个图形中菱形的个数，根据这一规律写出第个图形中的菱形的个数的表达式.

   解：（1）第个图形有菱形个，

第个图形有菱形个，

第个图形有菱形个，

第个图形有菱形个，

…，

第个图形有菱形 个，

当时，  ，

故答案为 ．

【点拨】本题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．

【变式2】瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据：，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门.请你根据以上光谱数据的规律写出它的第七个数据___.

【答案】

【分析】分子的规律依次是，32，42，52，62，72，82，92…，分母的规律是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七个数据是．

      解：由数据可得规律：

分子是，32，42，52，62，72，82，92分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，

∴第七个数据是．

【点拨】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．

类型四、代数式概念

4、下列式子中a+b，S=ab，5m，21+y，m+3=2，0中，代数式有_______个.

【答案】4

【分析】利用代数式的定义，进行分析即可得出答案．

    解：在a+b，S=ab，5m，21+y，m+3=2，0中，

代数式有：a+b，5m，21+y，0；共有4个.

故答案为：4.

【点拨】此题主要考查了代数式的定义，正确把握定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】下列式子中，代数式有__________个．

【答案】4

【分析】根据代数式的定义：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，单独的一个数或字母也是属于代数式，进行判断即可得解.

解：属于代数式，

故答案为：4.

【点拨】本题主要考查了代数式的概念，熟练掌握代数式的区分方法是解决本题的关键.

类型五、代数式的书写方法

5、下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来．

(1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2·y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b．

【答案】见解析

【分析】（1）根据数与字母相乘的规则判断即可；-（4）根据字母与字母相乘的规则判断即可；（5）、（6）根据除号一般用分数线表示的规则判断即可．

 解：(1)3x＋1书写规范；

(2)m×n－3应该是mn－3；

(3)2·y应该是2y；

(4)a·m＋b×n元应该是(am＋bn)元；

(5)a÷(b＋c)应该是 ；

(6)a－1÷b应该是a－．

【点拨】本题主要考查代数式的书写，掌握代数式的书写要求是解题的关键．

举一反三：

【变式1】数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以____________，或用____________来代替．

【答案】省略不写    “．”   

【分析】由题意根据如果是字母和字母相乘，中间的乘号可以直接省略；但如果是字母和数相乘时中间的乘号也可以省略，但要把数字写在字母的前面，据此进行解答．

解：在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，但数字一定要写在字母的前面；或用“．”来代替；

故答案为：省略不写；“．”．

【点拨】本题考查列代数式的定义，解决此题明确只有在含有字母的乘法算式里，中间的乘号能省略，其它的运算符号都不能省略．

类型六、代数式表示的实际意义

6、若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是_____．

【答案】买8本练习本和3支铅笔需要的钱数．

【分析】根据练习本每本a元，铅笔每支b元，知道8a+3b是买8本练习本和3支铅笔需要的总钱数．

解：8a+3b表示的意义是买8本练习本和3支铅笔需要的钱数，

故答案为买8本练习本和3支铅笔需要的钱数．

【点拨】本题考查了代数式的实际意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．

举一反三：

【变式1】若为整数,则代数式表示的实际意义___________.

【答案】连续三个整数的乘积

【解析】根据每两个连续整数之间差1，即可得出结论.

解：代数式表示的实际意义是连续三个整数的乘积.

故答案为连续三个整数的乘积.

【变式2】体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元，则代数式表示的实际意义是______．

【答案】小金用500元买3个足球和2个篮球后剩下的钱数

【分析】根据代数式及题中各自字母的含义说明即可．

解：∵一个足球x元，一个篮球y元，

∴3x表示三个足球的价格，2y表示两个篮球的价格，

∴表示小金用500元买3个足球和2个篮球后剩下的钱数，

故答案为：小金用500元买3个足球和2个篮球后剩下的钱数．

【点拨】本题主要考查代数式的实际意义，理解字母的意义是解题的关键．

类型七、单项式的判定

7、在代数式:①；②-3x3y；③-4+3x2；④0；⑤；⑥中，是单项式的有________(只填序号）．

【答案】①②④⑤

【分析】根据单项式的定义解答即可．

解：①，②-3x3y，④0，⑤是单项式；

③-4+3x2，⑥是多项式．

故答案为：①②④⑤．

【点拨】本题考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

举一反三：

【变式1】已知单项式与的和仍是单项式，则____.

【答案】1

【分析】它们的和为单项式，说明为同类项，根据同类项定义，求出x，y；即可完成解答.

   解：由与的和仍是单项式，即它们是同类项

则有：解得：

所以x+y=1，故答案为1.

【点拨】本题考查了同类项的定义和代数式求值，其关键是灵活应用同类项的定义求得

类型八、单项式的次数、系数

8、单项式的次数_______.

【答案】3

【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

解：单项式5mn2的次数是：1+2=3．

故答案是：3．

【点拨】考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

举一反三：

【变式1】单项式的系数________，次数________.

【答案】    4   

【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可得出答案．

    解：=xy3，

所以此单项式的系数是，次数是1+3=4．

故答案为，4．

【点拨】此题考查了单项式的相关概念，掌握单项式的系数及次数的概念是解答此类问题的关键，属于基础题．

【变式2】是_____次单项式．

【答案】3

【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．

   解：∵单项式中所有字母指数的和，

∴此单项式的次数是．

故答案为．

【点拨】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键

类型九、写出满足单项式的一些特征

9、系数为-5，只含字母m、n的三次单项式有_____个，它们是______．

【答案】两个；-5m2n或-5mn2．

【解析】试题分析：单项式中前面的数字因数是单项式的系数 ，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数，因此系数为－5，只含字母m、n的三次单项式可以是-5m2n或-5mn2．共有两个．

考点：单项式的系数与次数．

举一反三：

【变式1】 请写出字母只含有m、n，且次数为3的一个单项式__________．

【答案】-2m2n（答案不唯一）

【解析】先构造系数，例如为﹣2，然后使m、n的指数和是3即可．如﹣2m2n，答案不唯一．

故答案是：﹣2m2n（答案不唯一）．

点拨：本题考查了单项式的定义.利用单项式的定义构造符合条件的单项式是解题的关键.

【变式2】请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母m、n：②系数是负整数；③次数是3，你写的单项式为______.

【答案】−2mn(答案不唯一).

【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

解：根据题意,得−2mn(答案不唯一)，

故答案为：−2mn(答案不唯一).

【点拨】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义.

类型十、单项式的规律题

10、观察下面的一列单项式：根据你发现的规律，第n个单项式为__________．

【答案】

【分析】分别从单项式的系数与次数两方面总结即可得出规律，进而可得答案．

    解：由已知单项式的排列规律可得第n个单项式为：．

故答案为：．

【点拨】本题考查了单项式的规律探求，通过所给的单项式找到规律，并能准确的用代数式表示是解题的关键．

举一反三：

【变式1】下面是一列单项式则第个单项式是____．

【答案】．

【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为正，数字变化规律是，字母变化规律是．

解：依题意得：（1）为奇数，单项式为：，（2）为偶数时，单项式为：，

∴第个单项式为：．

故答案为：．

【点拨】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

【变式2】有一列式子，按照一定的规律排列成：，，，，，，第个式子为______．

【答案】

【分析】先确定符号规律，再确定系数规律，最后确定字母指数规律即可得出答案．

解：先确定符号规律：第一项为正，第个数为

再确定系数规律：，，，，，属于等差规律，第个数为：

最后确定字母指数规律：，，，，．第个数为：

第个式子为．

故答案为：．

【点拨】本题考查数的规律探索，根据题意找准数字之间的等量关系正确计算是本题的解题关键．