所属成套资源:基础知识点专项讲练 - 人教版数学七年级上册知识讲解+专项练习(基础+巩固+培优)
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专题2.12 《整式的加减》全章复习与巩固(知识讲解)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
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专题2.12 《整式的加减》全章复习与巩固(知识讲解)【学习目标】1.理解并掌握单项式与多项式的相关概念;2.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项,并会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的加减运算、求值;3.深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想.【知识网络】【知识点梳理】要点一、整式的相关概念 1.单项式:由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式. 特别说明:(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和. 2.多项式:几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.特别说明:(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.3. 多项式的降幂与升幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.特别说明:(1)利用加法交换律重新排列时,各项应连同它的符号一起移动位置;
(2)含有多个字母时,只按给定的字母进行降幂或升幂排列.4.整式:单项式和多项式统称为整式.要点二、整式的加减1.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.特别说明:辨别同类项要把准“两相同,两无关”:(1)“两相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数相同;(2)“两无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序无关.2.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.特别说明:合并同类项时,只是系数相加减,所得结果作为系数,字母及字母的指数保持不变.3.去括号法则:括号前面是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变;括号前面是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.4.添括号法则:添括号后,括号前面是“+”,括号内各项的符号都不改变;添括号后,括号前面是“-”,括号内各项的符号都要改变.5.整式的加减运算法则:几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减号连接,然后去括号,合并同类项.【典型例题】类型一、整式的相关概念1.在式子①﹣x2,②﹣2xy,③xy2﹣x2,④⑤﹣x,⑥,⑦0中,整式有_____个.【答案】5【分析】根据整式的概念求解可得.解:所列代数式中整式有①,②,③,⑥,⑦0这5个,故答案为:5.【点拨】本题主要考查整式,解题的关键是掌握整式的概念:概念:单项式和多项式统称为整式.举一反三:【变式1】 在代数式①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧中单项式有________;多项式有________;整式有________.【答案】①⑤⑦⑧ ③ ①⑤⑦⑧③ 【分析】根据单项式是数与字母的乘积,多项式是单项式的和,单项式与多项式统称整式,可得答案.解:单项式有:①,⑤,,⑦,⑧;多项式有:③,整式有:①,③,⑤,⑦,⑧故答案为:①⑤⑦⑧,③,①⑤⑦⑧③【点拨】本题考查了整式,单项式是数与字母的乘积,多项式是单项式的和,单项式与多项式统称整式.【变式2】下列代数式:(1)mn,(2)m,(3) ,(4),(5)2m+1,(6),(7),(8)x2+2x+,(9)y3﹣5y+中,整式有______.(填序号)【答案】1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(8).【解析】单项式和多项式统称整式,由此可得(1)mn,(2)m,(3) ,(5)2m+1,(6)都是整式,所以整式有(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(8).类型二、同类项及合并同类项2.若,则单项式和是同类项吗?如果是,请把它们进行加法运算;如果不是同类项,请从下列代数式中找出同类项进行加法运算:,【解析】先根据题意求出m与n的值,然后把m与n的值代入3x2ym+n-1和进行化简,最后根据合并同类项的法则求出答案即可.试题解析:∵|m-2|+(-1)2=0,∴m-2=0,-1=0,∴m=2 n=3∴m+n-1=4,n2-2m=5,∴单项式为:3x2y4与x5y4,不是同类项,∴3x2y4+(-2x2y4)=x2y4 举一反三:【变式1】在 2x2y,-2xy2 ,3x2y ,-xy这四个代数式中,哪两项是同类项,并合并这两项.【答案】2x2y ,3x2y; 5x2y. 分析:先根据同类项的定义找出同类型,然后根据合并同类项的方法合并即可.详解:同类项是2x2y ,3x2y;合并同类项,即2x2y +3x2y= 5x2y.点拨:本题考查了利用同类项的定义及合并同类项,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项;合并同类项时,把同类项的系数相加,所得和作为合并后的系数,字母和字母的指数不变.【变式2】合并同类项:(1) (2)【答案】(1);(2)【分析】(1)去括号,合并同类项即可;(2)去括号,合并同类项即可. 解:(1)==;(2)==【点拨】本题考查了合并同类项,解题的关键是掌握运算法则.类型三、类型三、去(添)括号3、(_________)(_________)(__________).【答案】c-d, -b-c+d, b+c-d, 【分析】根据添括号的法则即可解答.解:原式=a-b-c+d=a-b-(c-d)=a+(-b-c+d)=a-(b+c-d),【点拨】本题考查了添括号,添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如果括号前面是负号,括号括号里的各项都改变符号.4、计算:(2xy-y)-(-y+xy)=________.【答案】xy【分析】根据去括号法则:去括号时,括号前是减号,去括号要变号,正变负,负变正;,再根据合并同类项的法则合并同类项即可求解.解:(2xy-y)-(-y+xy),=2xy-y+y-xy,= xy,故答案为: xy.【点拨】本题主要考查整式的化简,解决本题的关键是要熟练掌握去括号和合并同类项的法则.举一反三:【变式1】m+n-p的相反数为__________.【答案】p-m-n【解析】m+n-p的相反数为-(m+n-p)=-m-n+p=p-m-n,故答案为:p-m-n.【点拨】本题考查了相反数的知识,一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.【变式2】在等式的括号内填上恰当的项,x2﹣y2+8y﹣4=x2﹣(___________).【答案】y2﹣8y+4【解析】试题解析:x2﹣y2+8y﹣4=x2﹣(y2﹣8y+4).点拨:添括号的法则括号前为负号,括号内各项改变符号.类型四、整式的加减5、整式的加减(1)化简:3b+5a+2a-4b;(2)化简:(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2).(3)化简并代入求值:(4a2-3a)-2(1-2a+2a2),其中a=-2【答案】(1);(2);(3),【分析】(1)直接合并同类项,即可得到答案;(2)先去括号,然后合并同类项,即可得到答案;(3)先去括号,然后合并同类项,再把a=-2代入计算,即可得到答案. 解:(1)3b+5a+2a-4b=;(2)(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=;(3)(4a2-3a)-2(1-2a+2a2)=4a2-3a-2+2a-4a2=;当时,原式=.【点拨】本题考查了整式的化简求值,整式的加减运算,解题的关键是熟练运算法则进行解题.举一反三:【变式1】已知与是同类项,计算的值.【答案】2【解析】【分析】由与是同类项得到m=1,n=2,将原式去括号合并得到最简结果,把m与n的值代入计算即可求出值.【详解】解:∵与是同类项,∴,,∴,当,时,原式.故答案为:2.【点拨】本题考查了同类顶的定义和整式的加减【变式2】 计算:( 1)3x2y-3xy2-xy2+x2y; (2)4(a-2b+1)-3(-4a+b-5).【答案】(1)x2y-xy2;(2) 16a-11b+19【分析】(1)直接合并同类项即可;(2)先去括号,再合并同类项即可.解:(1)3x2y-3xy2-xy2+x2y=x2y-xy2. (2)4(a-2b+1)-3(-4a+b-5)=4a-8b+4+12a-3b+15=16a-11b+19.【点拨】本题主要考查整式运算:去括号及合并同类项,注意运算的准确性.【变式3】 嘉淇准备完成题目:化简:,发现系数“”印刷不清楚.(1)他把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几?【答案】(1)–2x2+6;(2)5.【详解】【分析】(1)原式去括号、合并同类项即可得;(2)设“”是a,将a看做常数,去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0,据此得出a的值.解:(1)(3x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2)=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=﹣2x2+6;(2)设“”是a,则原式=(ax2+6x+8)﹣(6x+5x2+2)=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=(a﹣5)x2+6,∵标准答案的结果是常数,∴a﹣5=0,解得:a=5.【点拨】本题主要考查整式的加减,解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则.类型五、综合应用6、如图是一个长为a,宽为b的矩形,两个阴影图形都是一对底边长为1,且底边在矩形对边上的平行四边形.(1)用含字母a,b的代数式表示矩形中空白部分的面积;(2)当a=3,b=2时,求矩形中空白部分的面积. 【答案】(1)S=ab﹣a﹣b+1;(2)矩形中空白部分的面积为2;【分析】(1)空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积;
(2)将a=3,b=2代入(1)中即可;【详解】(1)S=ab﹣a﹣b+1;(2)当a=3,b=2时,S=6﹣3﹣2+1=2;【点拨】本题考查阴影部分面积,平行四边形面积,代数式求值;能够准确求出阴影部分面积是解题的关键.举一反三:【变式1】设A=2x2﹣3xy+y2+2x+2y,B=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y,(1)求B-2A(2)若|x﹣2a|+(y﹣3)2=0,且B﹣2A=a,求a的值.【答案】(1)﹣7x﹣5y;(2)-1.【解析】分析:(1)、根据多项式的减法计算法则得出答案;(2)、根据非负数的性质得出x和y的值,然后根据B-2A=a进行代入得出a的值.详解:解:(1)、B﹣2A=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣2(2x2﹣3xy+y2+2x+2y)=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣4x2+6xy﹣2y2﹣4x﹣4y=﹣7x﹣5y(2)、∵|x﹣2a|+(y﹣3)2=0 ∴x=2a,y=3又B﹣2A=a, ∴﹣7×2a﹣5×3=a, ∴a=﹣1.点拨:本题主要考查的是多项式的减法计算法则,属于基础题型.在解答这个问题的时候我们一定要注意去括号的法则.【变式2】“十一”期间,某中学七年级(1)班的三位老师带领本班a名学生(学生人数不少于3名)去北京旅游,春风旅行社的收费标准为:教师全价,学生半价;华北旅行社不论教师、学生一律八折优惠,这两家旅行社的基本收费都是每人500元.(1)用代数式表示,选择这两家旅行各需要多少钱?(2)如果有学生20名,你认为选择哪家旅行社较为合算,为什么?【答案】(1)详见解析;(2)春风旅行社合算,理由见解析.【分析】(1)利用旅行社的收费标准可列出代数式,(2)把a=20代入即可求解.解:(1)春风旅行社的总费用为3×500+500a×50%=1 500+250a(元), 华北旅行社的总费用为(3+a)×500×80%=1 200+400a(元);(2)当a=20时,春风旅行社费用为1 500+250×20=6 500(元),华北旅行社费用为1 200+400×20=9 200(元),6 500元<9 200元,故春风旅行社合算.【点拨】本题考查了列代数式以及代数式求值,正确理解题意列出代数式是解题的关键.