物理选修3-4第十一章 机械振动1 简谐运动复习ppt课件

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振幅、周期和频率振动图象：实质是振动物体的位移—时间图象
阻尼振动与无阻尼振动受迫振动周期与驱动力周期的关系：T迫=T驱共振的条件：T驱=T固
波的特有现象：波的叠加、干涉、衍射、多普勒效应
一、机械振动 1.机械振动：物体(或物体的一部分)在某一平衡位置两侧所做的往复运动，叫机械振动，简称振动. 2.机械振动的产生条件 (1)物体在偏离中心位置后受到回复力的作用. (2)阻力足够小.
3.回复力：使振动物体回到平衡位置的力. 说明：回复力是根据力的效果来命名的，是一种效果力.所以回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力，还可能是某个力的分力.如竖直方向的弹簧振子振动时，其回复力是振子所受重力和弹力的合力；在光滑水平面上振动的弹簧振子，其回复力是弹簧的弹力；而单摆摆动时，其回复力是摆球重力的切向分力.
4.平衡位置：物体在振动过程中经过平衡位置回复力为零.请注意，振动物体通过平衡位置时，受到的合外力不一定为零，即物体并不一定处于平衡状态.例如单摆的摆球通过平衡位置时，由于拉力和重力的合力要提供摆球的向心力，因而摆球不是处于平衡状态，但此时摆球所受回复力为零.可见，所谓平衡位置是指振动过程中物体所受回复力为零的位置.
关于机械振动，下面叙述正确的是( ) A.物体受到与初速度方向相反的力一定会做机械振动 B.振动物体受其他物体的力作用之外还受到一个回复力 C.振动物体在平衡位置受力一定平衡 D.振动物体在平衡位置的加速度不一定为0
物体受到与初速度方向相反的力时，不一定做机械振动，例如竖直上抛运动，就不是机械振动，A错；振动物体所受的回复力可能是由其所受外力的合力提供的，也可能是所受外力中的某一个力提供的，还可能是所受外力中某个力的分力提供的，不是在它所受的实际外力之外还受一个回复力，B错；振动物体在平衡位置不一定受力平衡，因此加速度不一定为0，故C错，D对.综上所述.
二、描述振动的物理量 1.振动物体的位移x：振动物体在某时刻的位移是指从平衡位置指向该时刻物体所在位置的有向线段. 2.振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅反映振动的强弱.
说明：对于同一振动系统，振幅越大，表明振动系统的机械能越多，振动也就越强.例如在光滑水平面上振动的弹簧振子，振动到最大位移处时，振动系统的机械能即为此时弹簧的弹性势能，而弹簧的弹性形变越大，弹性势能越大，故可知振动系统的机械能越大.另外，要明确振动的能量是指振动系统的机械能，不一定是指振动物体的机械能.
3.周期T：振动物体完成一次全振动所需的时间.国际单位：s. 说明：全振动是指振动物体从某一初始状态开始第一次回到这个状态的过程，从初始状态第一次回到这个状态要求所有的状态量(回复力、速度、加速度等)相同，而不仅仅是位置相同.
4.频率f：振动物体在单位时间内完成全振动的次数，即 .国际单位：Hz. 说明：振动的周期和频率是描述物体的振动快慢的物理量.当物体自由振动时，其周期和频率只由振动系统本身性质决定，与振幅无关，故此时的周期和频率又分别称为固有周期和固有频率.
如图7-1-1所示，弹簧振子在光滑水平面上振动，O为平衡位置，所有过程中弹簧的形变都在弹性限度内，下列说法中正确的是( )
A.如果以向右为正方向，在振子从O运动到A的过程中，振子的位移是正向增大的，在振子从A运动到O的过程中，振子的位移是负向增大的 B.振子在AA′之间振动时，振动系统的机械能是守恒的 C.振子完成Ｏ→A→O→A′→O的过程，所需的时间是一个周期 D.把振子拉到A点无初速释放，经0.1s第一次回到O点，那么把振子拉到B点无初速释放，第一次回到O点的时间将比0.1s少
振动物体的位移是从平衡位置指向某时刻物体所在位置的有向线段，所以，即使是从A运动到O的过程中，位移也是正方向的，且减小，A错；振子在AA′间振动时，系统的机械能是守恒的，B正确；完成一次全振动，所有的状态与原来相同，C正确；两种情况下回到O点的时间都应是周期的四分之一，而振幅不会影响周期，所以都应是0.1s，D错.综上所述 .
三、简谐运动 1.定义：物体在跟位移大小成正比，且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫做简谐运动. 2.特征 (1)动力学特征：回复力F＝-kx 说明：k是由振动系统本身决定的一个常数,不一定是劲度系数；x是振动物体相对平衡位置的位移；“－”号表示F与x方向相反.
(2)运动学特征： 说明：由此可知，简谐运动是变加速运动. 3.振动是否为简谐运动的判断：取决于物体在振动过程中的受力情况(或运动情况)是否满足简谐运动的动力学特征(或运动学特征).
如图7-1-2所示，一个轻弹簧吊着一个物体处于静止状态，现若将物体向下拉一段距离，松手后物体将上下振动，不计空气阻力，且弹簧的形变在弹性限度内，试判断物体的运动是否为简谐运动. 设物体静止时，弹簧伸长了x0，设弹簧的劲度系数为k，则此时弹簧弹力f0=kx0.
设物体的质量为m，由平衡可知：f0=mg. 以竖直向下的方向为正方向，设某时刻物体振动到平衡位置下方x处，此时弹力f＝－k(x+x0)， 回复力F＝f+mg=－k(x0+x)+mg=－kx. 回复力满足简谐运动的动力学特征，故竖直方向的弹簧振子的振动为简谐运动.
4.简谐运动过程 (1)能量：简谐运动中振动系统机械能守恒，振幅不变；同一振动系统的振幅越大，振动能量越多；振动过程中，动能和势能相互转化. (2)运动规律： a.周期性：物体振动一个周期，回到原来的状态. b.对称性：简谐运动具有对平衡位置的对称性.
如图7-1-3所示，一个做简谐运动的物体先后以相同的向右的速度通过A、B两点，历时2s，再经过2s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则物体振动的周期T= s. 由简谐运动的对称性可知，A、B的中点即为平衡位置，设为O，则物体从O运动到B的时间tOB=1s；
物体从B点继续向右运动到最右端(设为C点，图中未画出)，再从最右端返回B点，共历时2s，且B→C和C→B过程互逆，故时间相等，则有tBC=1s； 物体从O到C的时间 tOC=tOB+tBC=2s，又 解得T=8s.
5.图象 (1)意义：描述振动物体的位移随时间变化的规律. 说明：振动的图象不是振动物体的运动轨迹. (2)简谐运动的图象是正弦或余弦图象. (3)图象的用途：
a.从图象中可以直接读出振幅、周期. b.确定任一时刻振动物体相对平衡位置的位移大小和方向. c.判断任一时刻振动物体的回复力、加速度、速度(看斜率)的方向. d.定性判断任一过程中的能量转化的情况. 说明：利用图象解决问题，往往直观、简捷，但这一优势必须建立在深刻理解图象的物理意义的基础上.
(4)某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向的判定方法. ①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴. ②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向指向t轴.
一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm.振子的平衡位置位于x轴上的O点.图7-1-4甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态，黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图7-1-4乙给出的四条振动图线，可用于表示振子的振动图象是（ ）
A.若规定状态a时t=0，则图象为①B.若规定状态b时t=0，则图象为②C.若规定状态c时t=0，则图象为③D.若规定状态d时t=0，则图象为④
振动图象的意义在于能形象地表达出从计时时刻开始，任意时刻质点相对于平衡位置的位移来.一般以平衡位置或最大振幅处为计时起点，得到的振动图象为正弦或余弦曲线.若计时起点不在特殊点时，得到的振动图象也将不同.该题中，若以a为计时起点，0时刻的位移为+3cm，且向正方向运动，则下一时刻的位移将大于+3cm，所以振动图象是①；
若以b为计时起点，0时刻的位移为+2cm，且向负方向运动，下一时刻的位移将小于+2cm，所以振动图象①②③④都不满足要求；若以c为计时起点，0时刻的位移为负，大小为2cm，且向负方向运动，下一时刻的位移仍为负，大小将大于2cm，所以①②③④都不满足要求；若以d为计时起点，0时刻为负的最大位移-4cm，下一时刻的位移也应为负，大小将小于4cm，所以振动图象是④；所以最终答案是AD正确.
四、简谐运动的两种理想化模型 1.弹簧振子 (1)一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子.弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型. (2)在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力.
有一弹簧振子做简谐运动，则( ) A.加速度最大时，速度最大 B.速度最大时，位移最大 C.位移最大时，回复力最大 D.回复力最大时，加速度最大 振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F=-kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对.振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错.
2.单摆 (1)单摆：如图7-1-5所示， 用一根质量和伸缩可以忽略的 细线，下端拴一个直径远小于线 的长度的小球，上端固定于悬 点，就构成一个单摆. (2)当单摆的摆角很小时 (例如小于10°)，单摆的振动 可视为简谐运动. (3)单摆振动过程中，回复力由重力的切向分力提供.
说明： ①如图7-1-5所示，设摆球摆到B位置时，摆角为θ，位移为x，以向左为正方向.把重力G分解为沿切线方向的G1和沿绳向下的G2，其中G1为回复力.由几何关系可知，G1=－mgsinθ，在摆角很小的情况下，以“rad”作为角度的单位，
在数学中有结论：sinθ≈θ， 故有 ，则 .符合F=-kx的条件，所以单摆的小角度振动是简谐运动.
②设摆球运动到B点时速度为v，单摆运动的轨迹是圆弧，在沿摆线的方向，有 解得 由此式可知，摆球越靠近平衡位置，摆线的拉力越大. (4)单摆的周期:
说明： ①在摆角很小的条件下，单摆的周期与质量无关.此外，单摆的周期与振幅无关，这个性质被称为单摆的等时性. ②公式中的l是从悬点到摆球重心之间的距离(等效摆长)，g是指重力加速度或等效重力加速度(如果是前文所述的正常单摆，则为重力加速度g，如果是其他形式的单摆，则为“相当于正常单摆中摆球所受重力的力”与摆球质量的比值，一般用g′表示).
③周期为2s的单摆叫秒摆.注意：当g取9.8m/s2时，秒摆的摆长l≈1m，但在其他情况下，例如在其他星球上，秒摆的摆长不一定是1m，秒摆不是从摆长上定义的. ④小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同.只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动.这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差.
如图7-1-6所示，用三根长度均为l的细线将直径为d的 摆球吊在天花板上，A、B 两点间的距离也是l，求： (1)摆球在图示平面内 小角度摆动时的周期； (2)摆球垂直图示平面 小角度摆动时的周期.
(1)摆球在图示平面内摆动时，悬点为O，摆长为l+d/2，故周期为 (2)摆球垂直图示平面摆动时，悬点为O′，摆长为l+lsin60°+d/2，故周期 为
如图7-1-7所示，在倾角为θ=30°的光滑斜面上，长为l的细线吊着一个小球(直径与线长相比可以忽略)，上端固定在O点，当小球在斜面上做小角度摆动时，求其摆动周期.
由于这种形式的单摆的摆球是在光滑斜面内摆动，所以，“相当于正常单摆中摆球所受重力的力”是小球重力沿斜面向下的分力mgsinθ，则等效重力加 速度为 则周期
五、振动中的能量转化、阻尼振动和无阻尼振动、共振 1.振动的能量是指振动系统的机械能，其中动能由振动物体的速度决定，势能由其位移决定；振动过程中，动能和势能相互转化；在简谐运动中，系统机械能守恒；对同一振动系统，机械能越大，振幅越大. 2.振幅越来越小的振动叫阻尼振动；振幅不变的振动叫无阻尼振动(等幅振动).
说明：有阻力的运动不一定是阻尼振动，若给振动系统补充能量，使振幅保持不变，也是无阻尼振动；获得无阻尼振动的最简单的办法是用外力周期性地作用于振动物体，这种周期性外力叫驱动力. 3.受迫振动：物体在周期性外力(驱动力)作用下的振动叫受迫振动.在受迫振动稳定后，其频率等于驱动力的频率，与固有频率无关.
4.共振：物体做受迫振动时，驱动力的频率越接近物体的固有频率，其振幅越大，当两者相等时，振幅最大，这种现象就是共振，这种关系可用如图7-1-8所示的共振曲线来表示. 说明： (1)f驱=f固时，A=Am. (2)f驱与f固差别越大，受迫振动的物体振幅越小.
(3)从能量的角度理解共振：f驱越接近f固，驱动力做正功的机会就越多，把其他能转化为振动系统的机械能也就越多，因而振幅大；f驱越远离f固，驱动力做正功的机会就越少，把其他能转化为振动系统的机械能也就越少，因而振幅小. (4)要利用共振，应使f驱趋近f固，要避免共振，应使f驱远离f固.
共振筛用四根硬弹簧支起，并装有一个电动偏心轮，偏心轮每转动一周就给筛子一次驱动力.筛子自由振动时，完成10次全振动时间为15s.在某电压下，电动偏心轮的转速为30r/min，已知：增加电压可以使偏心轮的转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期.那么，要使共振筛的振幅增大，下列做法正确的是( )
A.适当提高输入电压B.适当降低输入电压C.增加筛子的质量D.减少筛子的质量
筛子的固有频率 驱动力频率 可见此时驱 动力频率小于固有频率.要使振幅增大，可以增大驱动力频率，即加快偏心轮的转速，故应适当提高输入电压，A对；另一个方面，可以增大筛子的质量，增大固有周期，也就是减小固有频率，故C对.
如图7-1-11所示，在竖直平面内有一个内壁光滑的圆形轨道，B为最低点，小球a放在离B点很近的A点，小球b放在圆心O点，小球c放在搭在圆形轨道上的光滑板的顶端C点，已知三个小球的直径均远小于圆形轨道的半径，若三个小球同时从静止释放，则( )
A.a球最先到达B点B.b球最先到达B点C.c球最先到达B点D.三球同时到达B点
单摆的周期公式的应用与其他运动的综合. 设圆形轨道的半径为R，因为a球是从靠近B点的位置A开始运动的，且其半径远小于圆形轨道的半径R，故a球的运动可视为单摆做简谐运动，其周 期 从A直接滚到B的时间为
b球的运动是自由落体运动，有 可得 C球在光滑斜板上从静止开始做 匀加速运动，设光滑板与竖直方向夹角为θ，连接圆形轨道的最高点D和C，可得直角三角形BCD，则sBC=2Rcsθ，由受力分析可得，c球在BC上运动的加速度a=gcsθ，又 三式联立可得： 由此可知，b球最先到达B点.
如图7-1-12所示，光滑圆弧ABC是半径很大的圆周的一段，B点是最低点.小球a静止在离B点很近的A点，一根竖直绳子从静止在圆心O点的小球b中穿过，现将两小球同时释放，若要在小球a第一次到达B点时与沿绳滑下的小球b相碰，求绳给小球b的摩擦力与b球重力之比(取g=10m/s2，π2=10，不计空气阻力，两球均可视为质点).
设光滑圆弧的半径为R，a球的运动可视为简谐运动，从A第一次运 动到B的时间为 设b球从 O点沿绳下滑的加速度为a，滑下后要与第一次到B点的a球相遇，则下滑时间tb=ta，
又 即 解得 a=8m/s2；设b球质量为m，再分析b球下滑时的受力情况，由牛顿第二定律有：mg－f＝ma，解得f＝0.2mg，则
如图7-1-13所示，一个质量为m的物体与竖直轻弹簧的上端相连，轻弹簧下端与地面仅接触而没有拴接，在物体平衡后，用力F压物体使之向下运动到一个新的平衡点，突然撤去压力F，物体运动到最高点时，弹簧下端恰好被带离地面，求压力F的大小是多少？(弹簧的形变在弹性限度内) 简谐运动的对称性.
若物体运动到最高点时，弹簧下端恰好被带离地面，则物体此时只受重力mg，物体的加速度为竖直向下的g；竖直方向上的弹簧振子的振动是简谐运动，由对称性可知，振子在最低点的加速度大小也应为a=g，方向竖直向上，设此时弹力为f，撤去F的瞬间，有f－mg=ma，解得f=2mg；则在没有撤去F时，由平衡有F+mg=f，解得F=mg.
如图7-1-14所示，两木块质量分别为m1=1kg和m2=2kg，用轻弹簧连接，竖立于水平地面上，今用F=25N的力向下压m1，重新平衡后，突然撤去F，试判断m1运动到最高点时，能否把m2带离地面？(g=10m/s2，弹簧的形变在弹性限度内)
设m1到最高点时恰能把m2带离地面，此时，弹簧将给m2以向上的弹力m2g，则m1受到弹簧向下的弹力大小为 m2g，m1的加速度为 方向竖 直向下；由对称性可知，在撤去F的瞬间，m1的加速度a1′=a1，方向竖直向上；又因撤去F时，m1所受合外力F合=F，由牛顿第二定律，F=m1a1′=(m1+m2)g，代入数据得F=30N，而实际上F只有25N，故m2不会被带离地面.
在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为10m，当车辆经过减速带时会产生振动.若某汽车的固有频率为1.25Hz，则当该车以 m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害，我们称这种现象为 . 产生共振的条件.
乘客感到最颠簸时，汽车发生了共振，即驱动力的频率f驱=f，汽车每过一根减速带，就受到一次驱动力，要发生共振，则汽车每秒要通过1.25根减速带，故v=lf=12.5m/s.