高考数学考前回归课本知识技法精细过（三）：导数与积分 (1)教案

这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（三）：导数与积分 (1)教案，共8页。教案主要包含了必记5个知识点，必明3个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。


一、必记5个知识点
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：eq \f(Δy,Δx)＝①________________.
(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝②________________.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______________，记作y'|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④________________.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤____________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________.
4．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝⑦________(C为常数)．
(2)(xn)′＝⑧________(n∈Q*)．
(3)(sin x)′＝⑨________，(cs x)′＝⑩________.
(4)(ex)′＝⑪________，(ax)′＝⑫________.
(5)(ln x)′＝⑬________，(lgax)′＝⑭________.
5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮____________________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯____________________.
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
二、必明3个易误点
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
三、技法
1.

[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.
2. 导数几何意义的应用及解决
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
(4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
[提醒] 当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.
3. 利用导数求函数的单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间.
4. 利用导数求函数的单调区间的方法
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根．
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
5. 已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．
[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
6. 利用导数研究函数极值问题的一般流程
7．已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[注意] 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
8. 求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值；可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
9.
10. 不等式恒成立问题的求解策略
(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法．
(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解.
11. 判断函数零点个数的3种方法
参考答案
①eq \f(fx2－fx1,x2－x1) ②eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ③瞬时变化率 ④eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)
⑤曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率 ⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)
⑦0 ⑧nxn－1 ⑨cs x ⑩－sin x ⑪ex ⑫axln a ⑬eq \f(1,x) ⑭eq \f(1,xln a) ⑮f′(x)±g′(x)
⑯f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
第二节 导数在研究函数中的应用
一、必记3个知识点
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内①____________.
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内②____________.
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内③____________.
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值④________，而且在x＝a附近的左侧⑤________，右侧⑥________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值⑦__________，左侧⑧________；右侧⑨________，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条eq \(○,\s\up1(10))________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(ⅰ)求函数y＝f(x)在(a，b)内的⑪________.
(ⅱ)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、必明2个易误点
1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数一定为0，但是导数为0的点不一定是极值点．
2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
参考答案
①单调递增 ②单调递减 ③不具备单调性 ④都小 ⑤f′(x)＜0 ⑥f′(x)＞0
⑦都大 ⑧f′(x)＞0 ⑨f′(x)＜0 ⑩连续不断 ⑪极值
第三节 定积分与微积分基本定理
一、必记6个知识点
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq \i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq \i\su(i＝1,n, )eq \f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq \i\in(a,b,)f(x)dx.
在eq \i\in(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做②________，③________叫做被积式．
2．定积分的几何意义
3.定积分的性质
(1)eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝⑧________(k为常数)．
(2)eq \i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨________.
(3)eq \(○,\s\up1(10))________＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b)．
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．
5．定积分与曲线梯形面积的关系
(1)

(2)
(3)

(4)
设阴影部分的面积为S.
(1)S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx.
(2)S＝⑫________.
(3)S＝⑬________.
(4)S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)g(x)dx＝eq \i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.
6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系
(1)s＝⑭________；(2)W＝⑮________.
二、必明4个易误点
1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．
2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
三、技法
1. 求定积分的4大常用方法
2. 利用定积分求平面图形面积的4步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案.
3. 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq \i\in(a,b,)v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq \i\in(a,b,)F(x)dx.
参考答案
①[a，b] ②积分变量 ③f(x)dx ④x＝a ⑤x＝b ⑥x＝a ⑦x＝b ⑧keq \i\in(a,b,)f(x)dx
⑨eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx ⑩eq \i\in(a,b,)f(x)dx ⑪F(b)－F(a) ⑫－eq \i\in(a,b,)f(x)dx ⑬eq \i\in(a,c,)f(x)dx－eq \i\in(c,b,)f(x)dx
⑭eq \i\in(a,b,)v(t)dt ⑮eq \i\in(a,b,)F(x)dx
直接法
令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数
画图法
转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数
定理法
利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决
f(x)
eq \i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线④________，⑤________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线⑥________，⑦________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积