高考数学考前回归课本知识技法精细过（十）：解析几何（椭圆双曲线抛物线）教案

这是一份高考数学考前回归课本知识技法精细过（十）：解析几何（椭圆双曲线抛物线）教案，共7页。教案主要包含了必记3个知识点，必明3个易误点，技法等内容，欢迎下载使用。

第五节 椭圆
一、必记3个知识点
1．椭圆的定义
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
3.椭圆中的4个常用结论
(1)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.
二、必明3个易误点
1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
三、技法
1. 求椭圆标准方程的2种常用方法
2. 求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3. 求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.
4. 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
5．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率).
参考答案
①F1，F2 ②|F1F2| ③x轴，y轴 ④坐标原点 ⑤(－a,0) ⑥(a,0) ⑦(0，－b) ⑧(0，b) ⑨(0，－a) ⑩(0，a) ⑪(－b,0) ⑫(b,0) ⑬2a ⑭2b ⑮2c ⑯(0,1) ⑰c2＝a2－b2
第六节 双曲线
一、必记3个知识点
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；
(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；
(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.双曲线中的4个常用结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±eq \f(b,a)，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±eq \f(a,b).
(3)渐近线与离心率．
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1).
(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
二、必明4个易误点
1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0eq \r(2).
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±eq \f(b,a)，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±eq \f(a,b).
三、技法
1. 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
2. 求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
3. 求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
4．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程为：
eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
参考答案
①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距 ④2a<|F1F2| ⑤2a＝|F1F2| ⑥2a>|F1F2|
⑦x≥a或x≤－a ⑧y≥a或y≤－a ⑨x轴，y轴 ⑩坐标原点 ⑪x轴，y轴
⑫坐标原点 ⑬(－a,0) ⑭(a,0) ⑮(0，－a) ⑯(0，a) ⑰y＝±eq \f(b,a)x ⑱y＝±eq \f(a,b)x
⑲eq \f(c,a) ⑳ eq \r(a2＋b2) eq \(○,\s\up1(21))2a eq \(○,\s\up1(22))2b eq \(○,\s\up1(23))a2＋b2
第七节 抛物线
一、必记2个知识点
1．抛物线定义、标准方程及几何性质
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
三、技法
1. 应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2).
2. 求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
3．确定及应用抛物线性质的技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
参考答案
①相等 ②y2＝－2px(p＞0) ③x2＝－2py(p＞0) ④x2＝2py(p＞0) ⑤x轴 ⑥y轴
⑦F(－eq \f(p,2)，0) ⑧F(0，－eq \f(p,2)) ⑨F(0，eq \f(p,2)) ⑩e＝1 ⑪x＝－eq \f(p,2) ⑫y＝－eq \f(p,2) ⑬－y0＋eq \f(p,2)
⑭y0＋eq \f(p,2) ⑮y≤0 ⑯y≥0
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
①________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a
(2a＞|F1F2|)
②________为椭圆的焦距
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：③________
对称中心：④________
顶点
A1⑤_____，A2⑥_____
B1⑦_____，B2⑧_____
A1⑨_____，A2⑩_____
B1⑪_____，B2⑫_____
性
质
轴
长轴A1A2的长为⑬________
短轴B1B2的长为⑭________
焦距
|F1F2|＝⑮________
离心率
e＝eq \f(c,a)∈⑯________
a，b，c
的关系
⑰________
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
⑦________ y∈R
⑧________ x∈R
对称性
对称轴：⑨________
对称中心：⑩________
对称轴：⑪________
对称中心：⑫________
顶点
顶点坐标：A1⑬______，
A2⑭________
顶点坐标：A1⑮______，
A2⑯________
渐近线
⑰____________
⑱____________
离心率
e＝⑲________，e∈(1，＋∞)其中c＝⑳________
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝eq \(○,\s\up1(21))________；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝eq \(○,\s\up1(22))________；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c关系
c2＝eq \(○,\s\up1(23))________(c＞a＞0，c＞b＞0)
定义(几
何条件)
平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫做抛物线
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
②________
________
③________
________
④________
________
图形
对称轴
x轴
⑤________
y轴
⑥________
顶点坐标
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
焦点坐标
F(eq \f(p,2)，0)
⑦________
⑧________
⑨________
离心率e
e＝1
e＝1
⑩________
e＝1
准线方程
⑪________
x＝eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
⑫________
焦半径
公式
|PF|＝
x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
－x0＋eq \f(p,2)
⑬|PF|＝
________
⑭|PF|＝
________
范围
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
⑮________
x∈R
⑯________
x∈R