高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程课前预习课件ppt

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问题1 已知椭圆 的方程为 ，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中 与 是否有取值范围，由此指出椭圆 在平面直角坐标系中的位置特征；（2）指出椭圆 是否关于 轴、 轴、原点对称；（3）指出椭圆 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.
问题1 已知椭圆 的方程为 ，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中 与 是否有取值范围，由此指出椭圆 在平面直角坐标系中的位置特征；
解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在 中，必有 ，即 .同理可得， .
解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在 中，必有 ，即 .同理可得， .因此，椭圆 位于直线 ， ， ， 所围成的矩形内.
问题1 已知椭圆 的方程为 ，根据这个方程完成下列任务：（2）指出椭圆 是否关于 轴、 轴、原点对称； 这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？
解（2）因为如果 是方程 的一组解，则不难看出， 、 、 都是方程的解，这说明椭圆 关于 轴， 轴，坐标原点对称.
问题1 已知椭圆 的方程为 ，根据这个方程完成下列任务：（3）指出椭圆 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.
解（3）在方程 中，令 ，得 或 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，坐标分别为 ， ；令 ，得 或 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，坐标分别为 ， .
问题1小结通过上面的研究，我们首先得到了椭圆 的横、纵坐标的取值范围，之后又清楚了椭圆的对称性，再之后我们得到了椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，这样我们就可以轻松的绘制椭圆了.
问题2 一般地，如果椭圆 的标准方程是 ， 我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？
椭圆的几何性质——范围由方程①可知 ，且 ，因此 且 .这说明，椭圆 位于直线 ， ， ， 所围成的矩形内.
椭圆的几何性质——对称性因为如果 是方程①的一组解，则 、 、 都是方程①的解，说明椭圆 关于 轴、 轴、坐标原点对称.因此， 轴、 轴是椭圆 的对称轴，坐标原点是椭圆 的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.
椭圆的几何性质——顶点在方程①中，令 ，得 或 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，记作 ， ；令 ，得 或 ，可知椭圆 与 轴有两个交点，记作 ， .
椭圆的几何性质——顶点因此，椭圆 与它的对称轴共有4个交点，即 ， 和 ， ，这四个点都称为椭圆的顶点.我们可以发现， ， 而且 ，所以线段 称为椭圆的长轴，线段 称为椭圆的短轴.
椭圆的几何性质——顶点 ，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为 ，则 是椭圆的半焦距.由于 ，可知长度分别为 ，，的三条线段构成一个直角三角形，且长度为 的线段是斜边.
椭圆的几何性质——顶点因此， ， ， ， .
椭圆的几何性质——离心率 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.
问题3 （1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.
问题3 （1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;
离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究 和 之间的关系.我们知道根据椭圆的定义 ，而 ，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？
解：（1）因为， ，所以， ，即椭圆的离心率 .
问题3 （2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.
解：（2）因为， ，这说明 越趋近于 ，则 的值越小，因此椭圆越扁；反之， 越趋近于 ，则 的值越大，这时椭圆就越接近于圆.
当固定 不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即 越趋近于 ，椭圆越扁； 越趋近于 ，椭圆就越接近于圆.
问题4 如果椭圆的标准方程是 ， 那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在 轴上的椭圆是有区别的？
解：方程②表示的椭圆，焦点坐标为 ， ，椭圆上的点的坐标的取值范围是 且 ；长轴的两个端点是 ， ；短轴的两个端点是 ， .除了这些以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在 轴上的椭圆是一致的.
焦点在 轴上椭圆的离心率研究固定 不变，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中得出.依然是 越趋近于 ，椭圆越扁； 越趋近于 ，椭圆就越接近于圆.这与焦点在 轴上椭圆的特征一致.
课堂小结——椭圆的几何性质
越趋近于 ，椭圆越接近圆； 越趋近于 ，椭圆越扁.
长轴长： ；半长轴长： ；短轴长： ；半短轴长： .
通过梳理我们可以发现，椭圆的几何性质其实可以分为两类：一类是与坐标系无关的性质，如对称性、离心率、焦距、轴和轴长；另外一类是与坐标系有关的性质，如焦点坐标、范围、顶点.与坐标系有关的性质，只要将方程 的有关性质中的横坐标 和纵坐标 交换，就可以得出 的相关性质了.
布置作业 人教社B版课本P134练习A
布置作业 人教社B版课本P134练习B