第23讲 证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第23讲 证明数列不等式
参考答案与试题解析
一．解答题（共47小题）
1．（2021•浙江月考）设等差数列的前为，已知，．
（1）求数列的通项公式
（2）记数列的前项和为，求证：
【解答】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
则由，得，
故，
故．
（2）证明：
而．
，
故
2．（2021春•江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，求数列 的前项和
（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上
所以得，
当时，，
当时，，
又因为为等比数列，公比为，所以，解得，首项，

（2）当时，，
则

两式相减，得



（3）若使得对于任意的，都成立
，
即对于任意的，都成立
又，
的最大值在时取得，最大值为2，
，，所以存在这样的符合题意．
3．（2021春•兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
【解答】解：（1）由题意，，当时，，

且，所以时，是以为公比的等比数列，
又，，，即，解得，
的值；
（2）证明：当时，由（1）知，因此，
不等式为
①当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立
②假设时结论成立，即，
则当时，
要证当时结论成立，只需证成立，
只需证：成立，显然成立，
当时，成立，
综合①②可知不等式成立．
4．数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上．
（1）求证：是等比数列；
（2）当时，记，证明：数列的前项和．
【解答】（1）证明：数列的前项和为，
对任意的，点均在函数的图象上，
，
，
当时，．
时，上式成立，
，．
是等比数列．
（2）时，，，
，①
，②
①②，得：

，
，
．
5．（2021•临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小．
【解答】解：（1）因为对任意的，点，均在函数为常数）的图象上．
所以得，
当时，，
当时，，
又因为为等比数列，所以
故；
（2）由（1）可知，，，
又由，则，
则数列的前项和为①
②
①②得到：
即
所以
当时，，；
当时，，；
当时，，．
综上，当，2时，；当时，．
6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立，
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：；，．
【解答】解：（1）设二次函数，，
，则，
在上，．
当时

又时符合，
，
则，
由得，
①，
令代入上式得，
②，
①②得，，即，
又不满足上式，
，
（3）由（2）得，，
③，
④，
③④得，
，
则，
（3）设，则，
在上是增函数，
，即，
故；
，
当，时，令代入上式得：
，即，
令代入上式得，，
则


，
故结论成立．
7．，等比数列的前项和为，点，均在函数上．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，，
当时，，
，
，
，即，
数列的通项公式；
（2）结论：存在，使得对任意恒成立．
理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
，
当或10时取最大值，
存在，使得对任意恒成立，
且的最小值为45．
8．已知，求证：．
【解答】证明：，
，
．
．
9．（2021•嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
【解答】解：（Ⅰ），，成等差数列，可得，
当时，，两式相减可得，
即，可得为公比为2的等比数列，则，
由，可得，
解得，则，；
（Ⅱ）证明：，当时，，
则，
当时，，则等号取得，
则，．
10．（2021春•秀山县校级月考）设函数，．
（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；
（2）设，证明：为自然对数的底数）．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
且，
则，
由于在内单调递减，则对恒成立，
即对恒成立，（2分）
从而，则，
故的取值范围为（4分）
（2）证明：取，由第（1）问可知在为单调递减函数，
从而；
则对，均成立，（6分）
令，
有；（9分）
从而

，
故（12分）
11．（2021春•阳江校级月考）设数列满足，，，2，3，，
（1）求，，；
（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）由，得，
，．
（2）由此猜想的一个通项公式：．
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，，等式成立．
②假设当时等式成立，即，那么，
也就是说，当时，也成立．
根据①②对于所有，有．
证明：（3），

12．（2012秋•济源校级期中）设数列满足，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【解答】（1）解：因为，所以，
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
所以．
所以（4分）
（2）证明：因为，所以（6分）
所以．（8分）
所以
．（12分）
13．（2007•崇文区一模）已知数列中，，，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明．
【解答】解：当时，，
当时，，
数列是首项为3，公差为1的等差数列，
通项公式为；（5分）
，







．（13分）
14．（2021春•绍兴期中）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．
求证：对任意正整数，有；
设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，．
【解答】证明：正项数列满足：，，
，，解得．
猜想．
下面利用数学归纳法证明：
当时，成立．
假设时，成立．
则时，，
解得
．
因此时也成立．
综上可得：，成立．
，
故对任意正整数，有．
由（Ⅰ）知，
，，
在区间上单调递增，
．
，
当时，，，
，
令，，
设为不小于的最小整数，取（即，
当时，．
对任意，总存在正整数，使得时，．
15．（2021•邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和满足：，①
当时，
，或，
，
．
当，时，
，②
由①②得：，
，
正项数列，
，
数列是首项为1，公差3的等差数列．
，
的通项公式为：．
（Ⅱ）结论为：．以下证明．
证明：由（Ⅰ）知：．
，且，
，
，
，
，

，
又，
上述个式子叠乘，得：
．
要比较与的大小，
只要比较与的大小，
，，
只要比较与1 的大小．
记，
（1），
，
，
则有：．
16．（2021•安徽三模）已知正项数列的前项和为，且
①求，，；
②求数列的通项公式；
③若数列满足，，求证：．
【解答】解：①由，
，（负值舍去），
同理：，；
②猜想：（下面用数学归纳法证明，
当时，命题成立；
假设当时命题成立，即，
，
，，

，
，
，
，
，当时命题成立．
．
③，
，
，
，
，
，
，
．
17．（2021春•历下区校级期中）（1）已知，，比较和的大小并给出解答过程；
（2）证明：对任意的，不等式成立．
【解答】解：（1）．
由条件，
，，，
，
；
（2）证明：由（1）所得结论得若，，
则，
可得
，
两边开方，命题得证，
由①、②可得对任意的，不等式成立．
18．（2021•盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
因为，，所以，则，
所以，即．
所以，当且仅当，即时等号成立． （2分）
推广：已知，，，则．
（4分）
证明：①当时命题显然成立；
当时，由上述过程可知命题成立；
②假设时命题成立，
即已知，，时，
有成立，
则时，，
由，可知，
故，
故时命题也成立．
综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切恒成立． （6分）
（注：推广命题中未包含的不扣分）
（2）证明：由（1）中所得的推广命题知
①，（8分）
记，
则，
两式相加，得，
，
故②，
又③，
将②③代入①，得，
所以，，证毕． （10分）
19．（2021春•枣庄校级月考）（1）已知，，都是正数，且，用分析法证明；
（2）已知数列的通项公式为，．利用（1）的结论证明如下等式：．
【解答】证明：（1）要证，由于，，都是正数，
只需证，即，
只需证
因为，所以只需证，
又已知，所以原不等式成立
（2）证明：．
当时，左式右式．
当，时，由（1）知：
于是
综上可得
20．（2021•杭州期中）已知数列的前项和满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由；（1分）
当时，（2分）
，，（3分）
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．（4分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得（5分）

欲证，
只需证（7分）
令，记的前项和为，即证（8分）
当时，（10分）
当时，（12分）
综上，对成立．
21．（2021•沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：①为首项为2的等差数列；②．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，有．
【解答】解：（1）设数列公差为，
因为数列首项为2，所以，
由方程可得，解得，
所以，即，
因为数列的前项之积，
所以当时，，
当时，符合，所以，

证明：（2）由（1）得，
，
所以数列前项和，
同由上面可知：，，
所以
，
综上可得，．
22．已知数列中，为的前项和，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）当时，，
，可得，
两式相减可得，，
即有，
即为数列为第二项起为等比数列，
则，，，
即有；
（2），可得，
则，
即有前项和为，
，
两式相减可得，
，
化简可得，
由于各项大于0，可得，
由不等式的性质可得．
故．
23．（2021•宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）证明不等式且
【解答】解：（1）设数列公差为，因为，，成等比数列．
所以，即得又，所以．
故．（6分）
（2）证明：由（1）得 ，因为 当时，．
即．
所以．
即．（12分）
24．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
【解答】解：（1），，
方程可化为
．
即．
令．
则．
由得，
，或（舍去）．
当时，．单调递增．
当时，．单调递减．
，（1），．
，时，．
方程在区间，上有解等价于
．
（2）时，不等式可化为
，
即．
令．
则．
当，时，单调递增．
（4）．
当，时，恒成立．
可化为
，
即．
令．
．
当，时，单调递减．
（4）．
当，时，恒成立．
当时，证明不等式在，上恒成立．
（3），


，
由（2）可知，，
，
即，
，
，
，
．
25．（2021•衡水校级模拟）已知函数．
（1）求函数在点，处的切线方程；
（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式．
【解答】（1）解：，则切线的斜率为，
又，故函数在点处的切线方程为，即．
（2）证明：由，，得，
所以当且时，．
所以当时，时，．
又当时，．
综上，．
26．（2012•洛阳模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，对于任意的，且，证明：不等式．
【解答】解：函数的定义域为，求导函数可得
当时，，令可得，令，，，
函数在上是增函数，在上是减函数；
当时，令得，解得或（舍去），此时函数在，上增函数，在上是减函数；
当时，令得，解得
此时函数在上是增函数，在和，上是减函数（6分）
证明：由知：时，在上是增函数，
时，（1）
设，则
恒成立，时，，在上单调递减
时，（1），即
，

不等式得证（12分）
27．证明不等式：．
【解答】证明：，
由

，
当取得等号，
即有，
则
．
故原不等式成立．
28．（2021春•辛集市校级月考）已知．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：
【解答】（Ⅰ）解：，，，
由，得，
当时，；，，．
函数的单调增区间为：，，单调减区间为：．
（Ⅱ）函数，
，令，得．
时，，时，
在递减，在递增，
，
关于的方程有解，则实数的最小值为0．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得在上恒成立，
令，则有
，，，，

．
29．（2021•大庆一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；
（2）在（1）中，取最小值时，设函数．若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：且．
【解答】解：（1）由题意知，恒成立．变形得：．
设，则．
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
在处取得最大值，且（1）．
所以，
实数的取值范围是，．
（2）由（1）可知，，当时，，
，
在区间上恰有两个零点，
即关于的方程在区间上恰有两个实数根．
整理方程得，，
令，
．
令，，
则，，
于是，在上单调递增．
因为（1），当时，，从而，单调递减，
当，时，，从而，单调递增，
，（1），，
因为，
所以实数的取值范围是．
证明（3）由（1）可知，当时，有，
当且仅当时取等号．
令，则有，其中，．
整理得：，
当，3，，时，，，，，
上面个式子累加得：．且，
即．命题得证．
30．（2021春•荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，，当时，．数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）解：，当时，①，，即，
又②，由②①可得：，
又也适合，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
（2）解：数列满足③，
当时，有，
当时，有④，
对式子④左右两边同时乘以可得：⑤，
由③⑤可得：，
，
又当时也适合，
；
（3）证明：由（1）（2）可得：，，
当时，，显然成立；
假设当时，有成立，即成立，
那么当时，，
这说明当时也成立，
综上所述，．
31．（2021春•淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
【解答】解：（1）数列的前项和满足：，
当时，，解得，
当时，，
化简可得，
由等比数列的通项公式，可得，
数列满足：对任意有．
即有，
两式相减，可得
，
由，可得，
即有，
当时，，可得，
故有，；
（2），
则，
，
两式相减，可得，
解得，
当时，，即为，即证．
运用数学归纳法证明．
当时，，，则，成立．
当时，，，则，成立．
假设时，．
当时，．
由，
即有，
则当时，．
综上可得，
当时，．
即有．
32．（2009秋•沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．
【解答】（1）解：


是以1为首项1为公差的等差数列

；
（2）证明：
，，，
设，其中，且
则
又
从而

所以
；
（3）证明：


当时，



累加得：
由（2）结论有



33．（2021•黄冈模拟）已知数列满足，首项为；
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，
求证：当时，恒有．
【解答】解：（1）由已知可得：，
即，
由累加法可求得：，
即，
又也成立，
（4分）；
（2），
先证
由，
此式显然成立，
（6分）
又，

即．
（3）由题意知：，
为递增数列
只需证：即可
若，则显然成立；
若，则，即，
因此，

故时，恒有（14分）
34．（2021•桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，．
（1）求，与；
（2）若，求证：．
【解答】（1）解：由题意得，，即，得，
由，得．
，，
由，得，，
；
（2）证明：，
由恒成立，，
．
35．（2021•柯桥区期末）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）设首项为，公差为，则，
解得，，故，
由，得，，所以，即，
所以，故．
（Ⅱ）证明：由（1）知，用数学归纳法证明：，
①当时，左边，右边，不等式成立，
②假设时成立，即，
即当时，
．
即当时，不等式也成立．
由①，②可知，不等式对任意都成立．
36．（2021•芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足．各项为正数的数列中，
对于一切，有，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【解答】（1）解：，
当时，，解得．（1分）
当时，，
得，即．（3分）
数列是首项为，公比为的等比数列．
．（4分）
对于一切，有，①
当时，有，②
①②得：
化简得：，③
用替换③式中的，得：，④（6分）
③④整理得：，
当时，数列为等差数列．
，
数列为等差数列．（8分）
，
数列的公差．
．（10分）
（2）证明：数列的前项和为，
，⑤
，⑥
⑤⑥得：（12分）．
．（14分）
37．（2021•温州期末）已知数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．
【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和为，满足，①，
当时，②，
①②得：③，
当时，④，
所以（常数），
所以数列和数列都为等差数列；
所以．
证明：（Ⅱ）由于数列满足2，，4，1，6，3，8，5，，
当为偶数时，
所以，
由于，
则，
同理，
故．
当为奇数时，则为偶数，．
38．（2021•温州三模）已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为前项和，证明：．
【解答】解：（1）证明：正项数列满足，，
对任意的正整数，是和的等差中项，
可得，
化为，
所以是首项为，公差为2的等差数列，
则，
则，
由于，可得；
（2）证明：由，
所以，
，
所以，
又，
．
．
即有．
39．（2021•中原区校级月考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）设为常数），则，
得，又，所以，即
所以，由，，得
又因为，所以数列是以1为首项，8为公比的等比数列，所以，
所以．
所以数列的通项公式为．
（2）由式，得，所以
将的底数与指数互换得到，所以．
当时，；
当时，；
当时，．
综上，成立．
40．（2021•浙江开学）已知数列的前项积为，，且对一切均有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）证明：对一切均有，即有，
又，
所以，即，
所以时，，得，
所以为等差数列，首项，公差，
所以，即，
所以一切，；
（Ⅱ）由，所以，
，
先证明，对一切，．
令，则当时，，
即在，上单调递减，
故，所以，
，
．
41．（2021•台州模拟）已知数列，的前项和分别为，，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ），令得；当时，由可得：，两式相减得：
，即，由此可知数列是首项为1，公比为的等比数列，故，
又，；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，故；
又，
．
则．
42．（2021春•浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明：．
【解答】解：（1）由题意，得，
即，解得或，
已知，故．
，则；
当时，，
当时，，
适合上式，
则，
又，；
证明：（2）．
先用数学归纳法证明当时，．
①当时，，左式右式，不等式成立．
②假设时，不等式成立，即，
那么，当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，可得，不等式也成立．
综①②可知，当时，．
，
故．
43．（2021•浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．
【解答】解：（Ⅰ），
时，，
又时，，符合上式，
，
；
（Ⅱ）证明：，，
，

，
得证．
44．已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得△都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．
（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．
【解答】（1）解：（1），（2），
猜想．
（2）解：，
由，可得，
，，，，
，


，
由对任意恒成立，可得，解得，
存在实数，使得对任意恒成立．
（3）证明：，记，，
则，所以，所以，所以，
，记，，则，可得，
，，
当时，，
．
45．（2021•山东模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
【解答】解：选择①②：
（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
选择：②③：
（1）解：由当时，，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
46．（2021•闵行区期末）已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由．
（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解（1）法1：设数列的公差为，数列的公比为．
，
令，2，3分别得，，，
又，
，即，
解得：或．
经检验，符合题意，不合题意，舍去．
．
法①
则②
①②得，，
又，也符合上式，
，
由于为等差数列，令，则，
为等比数列，则（为常数），
即恒成立，
，，
又，，
故；
（2）假设存在，满足条件，则，
化简得，
由得，为奇数，
为奇数，故．
得，即，
故，这与矛盾，
不存在满足题设的正整数，；
（3）由，得，
设，则不等式等价于，
，
，数列单调递增．
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
①当为奇数时，得；
②当为偶数时，得，即．
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．
47．（2021春•资阳期末）已知数列中，，且对任意，，有．
（1）求的通项公式；
（2）已知，，且满足，求，；
（3）若（其中对任意恒成立，求的最大值．
【解答】（1）由已知，令，则，即，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
；
（2）由（1），得，
则．
由，知，，
则或或，
解得，；或，；或，；
（3）不等式对任意恒成立，
即为恒成立，
即不等式恒成立．
令，
则
，于是，
单调递增，则中，为最小，故．
的最大值为．