湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模数学试题

湘潭市2022届高三第一次模拟考试

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

3. 如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（    ）

A. 与是两条相交直线

B. 平面

C.

D. ，，，四点共面

【答案】B

4. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ）

A. 192盏 B. 128盏 C. 3盏 D. 1盏

【答案】A

5. 已知函数，则（    ）

A. 的周期为

B. 将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为

C. 的图象关于点对称

D. 图象关于直线对称

【答案】B

6. 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（    ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】A

7. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：

问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？

问题二：你是否经常吸烟？

调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（    ）

A. 7% B. 8% C. 9% D. 30%

【答案】C

8. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量，，且与的夹角为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

10 已知随机变量服从正态分布，则（    ）

A. 的数学期望为 B. 的方差为

C.  D.

【答案】AC

11. 若，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】ACD

12. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（    ）

A. 若，则的离心率为

B. 若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切

C. 若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标

D. 若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角的终边经过点，则______．

【答案】

14. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且2是函数的一个零点，则不等式的解集为______．

【答案】

15. 已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．

【答案】1

16. 用实数（或1）表示命题的真假，其中表示命题为假，表示命题为真．设命题：，（）．

（1）当时，______；（2）当时，实数的取值范围为______．

【答案】    ①. 0    ②.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知为数列的前项和，且，(，为常数)，若，．求：

(1)数列的通项公式；

(2)的最值．

【答案】(1)或；(2)当时，的最小值为3，无最大值；当时，的最大值为12，无最小值．

18. 在锐角中，角，，对边分别为，，，若．

（1）求的值；

（2）是否存在角，（），满足?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，，．

19. 某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛，评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分，若设“口语表达”得分为，“演讲内容”得分为，比赛结束后，统计结果如下表：

（1）从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率；

（2）若“口语表达”得分的数学期望为．求：

①，的值；

②这30名参赛学生最后得分的数学期望．

【答案】（1）；（2）①，；②．

20. 如图，在三棱锥中，底面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）60°．

21. 已知圆锥曲线上的点的坐标满足．

（1）说明什么图形，并写出其标准方程；

（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．

①求直线在轴上的截距的取值范围；

②求证：的平分线总垂直于轴．

【答案】（1）是以，为焦点，长轴长为的椭圆，标准方程为；（2）①；②证明见解析．

22. 已知为自然对数的底数，函数，（）．

（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；

（2）若对任意的恒成立，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．