第31讲 立体几何中的最大角和最小角定理-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第31讲 立体几何中的最大角和最小角定理 参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2021•浙江月考）如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点．记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则，的大小关系是　　A． B． C． D．不能确定【解答】解：连接，平面，故为直线与平面所成的角，即，故而．过向作垂线，垂足为，若与重合，则直线与直线所成的角为，即，此时显然有，若不与重合，则为直线与直线所成的角，即，故而，是平面的垂线，故而，，．故选：．2．（2021春•江岸区校级期末）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，过作底面的垂线，垂足为，连接，则，．取为的中点，连接，则，，为二面角的平面角，等于．过作的平行线，过作的平行线，相交于，则为与所成的角，等于．底面，，又，，平面，则，在与中，有，，而，，得，均为锐角）；在与中，有，，而，，，得，均为锐角）．当与重合时，．综上，．故选：．3．（2021•湖州期末）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：过点作平面于点，在平面内过作于点，作于点，在平面内作与点，交于点，连接，，则是异面直线与所成的角，是直线与平面所成的角，是二面角所成角的平面角；如图所示，显然，，均为锐角；在中，；在中，；在中，，所以，即；又，且，所以，即．故选：．4．（2021•宁波期末）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则A． B． C． D．【解答】解：四棱锥为阳马，且，底面．是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，，．故选：．5．（2021•衢州期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面，，是线段上的点（不含端点），若侧面，直线，侧面与平面所成角大小分别为，，，则下列结论成立的是（注指二面角的大小，指二面角的大小）　　A． B． C． D．【解答】解：侧面，，，是面与底面所成的二面角，，侧面，直线，与底面所成的二面角分别为，，，，过作于，则，平面，为平面与底面所成角，，，过作于，则为直线与平面所成的二面角，，，故选：．6．（2021•临川区校级月考）已知正四棱锥，是线段上的点且，设与所成的角为，二面角的平面角为，与平面所成的角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：取中点，如图，易知，，均为锐角，，，且，故；将绕着点旋转并在其上取一点，使得，且，则，显然，故，即，显然，平面，则，，由可知，；综上，．故选：．7．（2020•柯桥区二模）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：取的中点，连接、，，，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面．过作，连接，过作于，连接，平面平面，平面，平面．，，，，，，．矩形，，，过作于，连接，则，平面，平面，，，、平面，平面，，，．综上所述，．故选：．8．（2016•桐乡市一模）如图，已知，为的角平分线，沿直线将翻折成△，所成二面角的平面角为，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：①当时，，，②当时，如图，点投影在上，，连结，，，，即 ‘．综上，，．故选：．9．（2021•浙江模拟）是边长为6的正三角形，在上，且满足，现沿着将折起至△，使得在平面上的投影在内部（包括边界），则二面角所成角的余弦值的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：如图1，在中，过点作，交于，交于，点在平面上的投影在内部（包括边界），其投影在线段上，如图2，过作，垂足为，则平面，为二面角的平面角，，，，．，又，即，．以的中点为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则，，，，设，，，即，即，，．，，在△中，，．即二面角所成角的余弦值的取值范围是，．故选：．10．（2021春•金华期末）如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成△，所成二面角的平面角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，不妨设，，，，，．取中点，中点，连接，，，则，，即为二面角的平面角为，由已知可得，，，，．，，．则，在，上余弦函数为减函数，；而与的大小不确定，与的大小不确定．故选：．11．（2021•上虞区期末）如图，已知中，，是的平分线，将沿直线翻折成，在翻折过程中，设所成二面角的平面角为，，，则下列结论中成立的是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：考虑极限情况，当位于初始位置时，，显然此时，故排除；当重叠时，，显然此时，故排除；故选：．12．（2020•柯桥区模拟）如图，在矩形中，将沿翻折至，设直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，当为锐角时　　A． B． C． D．【解答】解：如图所示，，故二面角的平面角为就为与平面所成的线面角，由线面角最小性可知，；另一方面，在三棱锥中，由于，所以到平面的距离小于到平面的距离为，与平面所成角大于与平面所成角，即，所以．故选：．13．（2016•丽水校级模拟）如图，长方形，，分别为，上异于点的两点，现把沿着翻折，记与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则与的大小关系是　　A． B． C． D．不能确定【解答】解：作平面，垂足是，连接过点作直线，在上取点，令，在和中，，平面，，，与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，平面，，，，．故选：．14．（2020•浙江模拟）已知三棱锥的所有棱长为1．是底面内部一个动点（包括边界），且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，由余弦定理可知，，，其中，表示直线与的夹角，同理可以将，转化，，，其中，表示直线与的夹角，，，其中，表示直线与的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，， 则，其中是正四面体相邻两个面所成角，，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，可知在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，与所成角小于与所成角，所以，故选：．15．（2015•绍兴一模）如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内一动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，根据题意，易得，0，，，0，，，，，，，，设，，，则，，，，，，，0，，，，，即，记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，，，点的轨迹在平面内是以为圆心，1为半径的单位圆，，，，又为锐角，，，故选：．16．（2020秋•昌江区校级期末）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为　　（参考数据：A．， B．， C．， D．，【解答】解：如图，建立空间直接坐标系，连结，交平面于点，，，，、，0，、，，，，，，，，、，，，，0，，，，，，，平面，根据等体积转化可知，即，解得，，，，异面直线与所成的角，转化为与所成的角，如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取的中点，过点作，则以点为原点，，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，即，，即，即，，，，，，因为异面直线所成的角是锐角，并设为，则，，，．，，故选：．17．（2020秋•庐阳区校级期中）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：取中点，连接，，，，，，为正△，取中点，连接，则，且，易知平面，，平面，，在图中圆上，当与，重合时，最大，当与，重合时，最小．故选：．18．（2021•浙江期中）如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则　　A． B． C． D．【解答】解：设三棱锥是棱长为2的正四面体，取中点，中点，中点，连结、、、，过作，交于，连结，则，，，，，，，，取中点，连结、，则，，又，平面，，．．故选：．19．（2013春•合浦县期中）二面角是直二面角，，，设直线与、所成的角分别为和，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，，，则．又，．故选：．20．直线与直二面角的两个面分别交于，两点，且，都不在棱上，设直线与，所成的角分别为和，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：分别过点，向平面，作垂线，垂足为，，连接，，由已知，所以，，所以，，由最小角定理得，而，故，当时，．故选：．21．（2021•温州期中）在矩形中，若，，为边上的一点，，现将沿直线折成△，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设直线，与平面所成角分别为，，二面角的大小为，则　　A． B． C． D．【解答】解：如图，四边形为矩形，，当点在底面上的射影落在上时，平面底面，又，平面，，平面，在△中，设，则，，为中点，当点在底面上的射影落在上时，，设，则，，，要使点在平面上的射影在内（不含边界），则点的射影落在线段上（不含端点），可知为二面角的平面角，直线与平面所成角为，直线与平面所成的角为，由题意得，，且，的最小值为2，，．故选：．二．填空题（共4小题）22．（2015•黄冈模拟）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，，，则的最大值为　　．（仰角为直线与平面所成角）【解答】解：如图由点向作垂线，连结，则，，，，，，当，即时，取最大值，此时．即的最大值为．故答案为：．23．（2021•嘉兴一模）如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为　　．【解答】解：设棱长为，，则．设到平面的距离为，则，，，时，的最大值为．故答案为．24．（2021•浙江期中）已知三棱锥的所有棱长均相等，为的中点，若点为中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　，若点在棱所在直线上运动，则直线与平面所成角正弦值的最大值为　　．【解答】解：连结，，过作底面，垂足为，连结，则是直线与平面所成角，设三棱锥的所有棱长均相等，设棱长为2，则，，．直线与平面所成角的正弦值为．当与重合时，直线与平面所成角正弦值取最大值，此时直线与平面所成角为，，直线与平面所成角正弦值的最大值为：．故答案为：，．25．如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内一动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为　　．【解答】解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，设，，，则，，，，，，，0，，，，，即，记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，，点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的单位圆，，，又为锐角，，直线与直线所成角的余弦值的最大值为．故答案为：．三．解答题（共1小题）26．（2021春•鹿城区校级期中）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．（仰角为直线与平面所成角）其中，，．（1）试求的正弦值；（2）当射程最短时，试求仰角的正切值．【解答】解：（1）过点作，垂足为，连接，如图所示：因为平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，所以，又，，，所以，中，，所以；中，，所以．（2）过点作，垂足为，连接，则即为直线与平面所成的角，且，计算，所以，，，所以，即射程最短时，仰角的正切值．