第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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1．（2021•南岗区校级期中）如图，三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：三棱锥中，，建立空间直角坐标系，
如图所示：
由于，，分别为，的中点，
所以，0，，，，0，，，，
则，，
所以异面直线与所成角余弦值．
故选：．
二．解答题（共21小题）
2．（2021•凉山州模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：面，面，，
，，
，，面，面，
面，，
又中，，为的中点，，
，，平面，面，
又，分别为，的中点，
，，，
面，面，面，
．
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，0，，，0，，，1，，，2，，，，，
设面的法向量，，，
，0，，，，，
，取，得，0，，
设面的法向量，，，
，，，，，，
，取，得，2，，
，
二面角的正弦值为：．
3．（2021•荔湾区校级期末）如图，在平行四边形中，，，为线段的中点，将沿在直线翻折成△，使平面平面，为线段的中点．
（1）求证：平面．
（2）设为线段的中点，求直线与平面所成角的大小．
（3）若，求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：取中点，连结，，
在平行四边形中，，，
为线段的中点，将沿在直线翻折成△，使平面平面，
，，
，，平面平面，
，平面．
（2）解：取中点，连结、、，，
设，则四边形是边长为2的菱形，且，
，
由平面平面，为线段的中点．
平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，1，，，，，
，，，平面的法向量，0，，
设直线与平面所成角为，
则，．
直线与平面所成角的大小为．
（3）解：，由（2）得，，平面的法向量，0，，
，点到平面的距离．
，
三棱锥的体积：．
4．（2021•和平区校级月考）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面间的距离．
【解答】（1）证明：取的中点，连接、，
为的中点，，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
（2）解：平面，点到平面的距离即为所求．
，
取的中点，连接、，则四边形为矩形，
是以为斜边的等腰直角三角形，，，
，，、平面，
平面，
，平面，
平面，平面平面，
以为原点，、分别为、轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，1，
平面，，
在中，，
，，
点，0，，，，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
点到平面的距离，
故直线与平面间的距离为．
5．（2021•沙坪坝区校级月考）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为上一点．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若直线与底面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：取线段的中点，连结，，
因为线段的中点为，线段的中点为，所以且，
又四边形中，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：已知是以为斜边的等腰直角三角形，，
所以，因为，所以，
由勾股定理的逆定理可得，，又，，，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
取的中点，连结，，则，又平面，平面平面，
所以平面，四边形中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，，所以，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
所以，，，，0，，，1，，，1，，，0，，
则，
设，
所以，
平面的法向量可取，
因为直线与底面所成角的正弦值为，
所以，即，解得，
所以，则，
所以，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，，所以，
又，设平面的法向量为，
则有，所以，
令，则，，所以，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
6．（2021•江苏一模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设是的中点，判断点是否在平面内，并请证明你的结论．
【解答】解：（1）取中点，连接、，
是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，
因为，，，所以四边形为边长为1的正方形，
所以，又因为，所以，所以，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，，0，，
平面的法向量为，1，，，1，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）连接，，0，，，0，，，，，，，，
点到平面的距离为，所以点在平面内．
7．（2021•房山区一模）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为中点，求与面所成角的正弦值；
（Ⅲ）由顶点沿棱锥侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为．求该最短路线的长及的值．
【解答】（Ⅰ）证明：，，
，，
又，，
平面．
（Ⅱ）解：取的中点，连接，，
，．
平面，平面，
，又，
平面，
，．
四边形是矩形，．
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示
则，，0，，，1，，，，，，
，，
设面的法向量，则，即，
令可得，0，．．
设与面所成角为，．
（Ⅲ）解：平面，面，
，为等腰直角三角形，
作出平面和平面的侧面展开图，如图所示：连接交于，则为最短路线，
，，四边形为平行四边形，与重合，
最短路线长为，此时．
8．（2021春•湖北期末）如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：四棱锥中，，，
侧面为等边三角形，，．
，，
，，
同理得，
，平面，
平面，．
（2）解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，，，，4，，
设平面的一个法向量是，，，
则，取，得，，，
设与平面所成的角为，
则．
与平面所成的角的正弦值为．
9．（2021•天山区校级期末）如图，在三棱锥中，，，点，分别是，的中点，底面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）点，分别是，的中点，
又平面，平面
平面；
（2）连接，
，点是的中点，
又底面．
故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
令，，
则，
则，0，，，0，，，，，，0，，，，
，，，，，，，，
设，，是平面的一个法向量
则，即
令，则，，
直线与平面所成角满足：
故直线与平面所成角的正弦值为
10．（2012秋•小店区校级月考）如图，四边形中（图，是的中点，，，，．将（图沿直线折起，使二面角为（如图
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【解答】解：（1）如图1取中点，连接，．因．
（3）（1分）
因，，满足：，
所以是为斜边的直角三角形，，
因是的中点，所以为的中位线，
，（2分）
是二面角的平面角，
（3分）
，且、是平面内两相交于的直线
平面平面，
（4分）
因．，，
为等腰直角三角形，
，
，
（6分）
，面，面，
平面（7分）
（2）如图2，以为原点为轴，为轴，建立空间直角坐标系，（8分）
则由（1）及已知条件可知，0，，，，
，0，，，1，，
，（9分）
设异面直线与所成角为，
则（10分）
．（11分）
（3）由，
可知满足，，是平面的一个法向量，（12分）
记点到平面的距离，
则在法向量方向上的投影绝对值为
则（13分），
所以（14分）
11．（2010•浙江）如图，在矩形中，点，分别在线段，上，．沿直线将翻折成△，使平面平面．
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点，分别在线段，上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长．
【解答】解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，因为及是的中点，所以，
又因为平面平面．
如图建立空间直角坐标系
则，2，，，8，，
，0，，，0，．
故，2，，，0，．
设，，为平面的一个法向量，
，
取，则．
又平面的一个法向量，
故．
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）设，则，0，，
因为翻折后，与重合，所以，
故，，得，
经检验，此时点在线段上，
所以．
方法二：
（Ⅰ）解：取线段的中点，的中点，连接，，．
因为及是的中点，
所以
又因为平面平面，
所以平面，
又平面，
故，
又因为、是、的中点，
易知，
所以，
于是面，
所以为二面角的平面角，
在△中，，，
所以．
故二面角的余弦值为．
（Ⅱ）解：设，
因为翻折后，与重合，
所以，
而，
，
故
得，
经检验，此时点在线段上，
所以．
12．（2021•五莲县期中）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，．，．
（1）求证：平面；
（2）当的长为何值时，二面角的大小为．
【解答】证明：（1）过作于，连接，则四边形为矩形．
又为矩形，平行且等于，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面．
解：（2）分别以直线、、所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得：，0，，，，，，0，，，，，
设，则，0，．
，0，，，，，
平面的法向量，0，．
设平面的法向量，，，
则，取，得，，（8分）
二面角的大小为，
，解得．
当时，二面角的大小为．（12分）
13．（2014秋•成都校级月考）在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是的中点．
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ） 求与平面所成角的大小；
（Ⅲ） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）分别以，所在直线为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
设，则，，，，，，
所以，，，，，，
，
．
解：（2）平面的法向量，0，，，，，
设与平面所成角为，
则，，
直线与平面所成的角为．
（3），0，，，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，令，得，1，，
平面的法向量，0，，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
14．（2021•天津二模）如图，平面，，，，、分别为，的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【解答】（1）证明：、分别是、的中点，
，，
又，，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：平面，，
以点为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，0，，，4，，，0，，，0，，，0，，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值；
（3）解：由（Ⅱ）可知，，
设平面的法向量为．
则，取，得．
由已知可得平面的法向量为，0，，
．
故所求平面与平面所成锐二面角的大小为．
15．（2011•浙江）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：以为原点，以方向为轴正方向，以射线的方向为轴正方向，建立空间坐标系，
则，0，，，，，，2，，，2，，，0，
则，3，，，0，
由此可得
即
设，，则，，
，，，，
，5，，，0，
设平面的法向量，，
则
令，则，1，
平面的法向量，，
则
即
令
则，4，
由
得
解得
故
综上所述，存在点符合题意，此时
16．（2015秋•江西月考）如图，在三棱柱中，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在确定点的位置，若不存在，说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）设的中点为，
，，
，且，
又，，
，且，
，
，面，
又平面，
平面平面．
解：（Ⅱ）如图，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，0，，
平面的法向量，0，，
设，，
则，0，，点的坐标为，，，
设平面的法向量为，，，
由，，得，
取，得，，，
，，
解得，
在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，且点与点重合．
17．（2021春•东湖区校级期中）如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．
【解答】（1）证明：，是的中点．
，
，，
面，，，
，，
平面
（2）解，如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．则，
易知，，
，
设平面的法向量为，
由，得，
取，得
又平面的法向量为，
二面角的平面角的正切值．
18．（2021•舒城县校级开学）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，，，
，，，，，，
，即．
（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
设直线与平面所成的角为，则，，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
19．（2021•滁州期末）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，
（1）求证：平面．
（2）求与平面所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
【解答】证明：（1）以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，2，，
，1，，，1，，，0，，
，，
，，
，
平面．
解：（2）设，，为平面的一个法向量，
，0，，，1，，
则，取，得，2，，
又，1，，设与平面所面所成角为，
则，
与平面所成的角的余弦值为．
（3）由（2）知平面的一个法向量为，2，，
设，，为平面的一个法向量，
，1，，，1，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则，
．
二面角的正弦值为．
20．（2015秋•辽宁校级月考）如图，在四棱锥中，面，，，，为线段上的点，
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）求与面所成的角；
（Ⅲ）若满足面，求的值．
【解答】解：（1）设，，，
，，，，
面，，
，面．
解：（2）以为坐标原点，以和所在直线为轴和轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，，，，2，，，0，，
设面的法向量为，
则，，，
，得，取，得，
，
，
即与面所成角为，
（3）设，，，，得
得，即，
由，得，即．
21．（2021•龙岗区校级期中）如图，在三棱台中，平面平面，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，过点作，交与点，连接，
由，，
所以，
由平面平面，平面平面，平面，
故平面，又平面，
所以，
由，，
则，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
故；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
故二面角的正弦值为．
22．（2021•新疆模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角大小的余弦值．
【解答】证明：（1）以为原点，为轴，为轴，在过作平面垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，2，，
，1，，，0，，，，，
，，
，，
，平面．
解：（2）平面的法向量，0，，
，0，，，2，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
设平面与平面所成二面角大小为，
则．
平面与平面所成二面角大小的余弦值为．