第35讲 利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第35讲 利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题 一．解答题（共35小题）1．（2021•浙江模拟）如图，中，，，现将以为轴旋转，将点旋转至点，使得．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．2．（2021•南开区期中）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，．，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．3．（2021•浙江模拟）已知多面体中，，均垂直于平面，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．4．（2021春•湖北期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，是线段上的动点．（1）若是线段中点时，证明：平面；（2）若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．5．（2021•丹东二模）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，点在线段上，平面．（1）证明：点为线段中点；（2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求．6．（2021•嵊州市二模）如图，已知四棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．7．（2021•邢台月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．8．（2021•台州期末）如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．9．（2021春•上虞区期末）如图，四棱锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．10．（2021•浙江月考）如图，在三棱台中，平面平面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．11．（2021•杭州期中）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．12．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，棱长为2的正方体中，已知点，，分别是棱，，的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线和所成角的余弦值．13．（2021春•杨浦区期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱、的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）连接，与交于点，点在线段上移动．求证与保持垂直；（3）已知点是直线上一点，过直线和点的平面交平面于直线，试根据点的不同位置，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论．14．（2013•温州一模）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，求与平面所成角的正弦值．15．（2021•湖南校级模拟）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．（1）求证：平面；（2）若平面，求二面角的钝二面角的余弦值．16．（2013春•天心区校级月考）在空间几何体中，平面，平面平面，，．（1）求证：平面；（2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由．17．（2015•红桥区二模）如图，已知平面，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．18．（2021•通州区一模）如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、、分别是、、的中点，，（1）求证：平面；（2）求证，，且；（3）求直线与所成的角；（4）求直线与平面所成的角；（5）求平面与平面所成的角．20．（2021•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，．（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正切值．21．如图，已知点是三角形所在平面外一点，且，截面分别平行于，（点，，，分在棱，，，上）（1）求证：四边形是平行四边形且周长为定值；（2）设与所成角为，求四边形的面积的最大值．22．（2021•浙江模拟）如图，在四棱锥中，，．．是的重心，底面．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．23．（2021春•浙江期末）如图．在四棱锥中，，，平面，且，，，、分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．24．（2021•全国模拟）如图，在四棱锥中，，，平面，，为上的动点．（Ⅰ）当为的中点时，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；（Ⅱ）的面积最小时，求三棱锥的体积．25．（2021•浙江模拟）如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．26．如图所示，已知三棱锥中，，，，为的中点，且是正三角形，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（3）若为的中点，求三棱锥的体积．27．（2021秋•荔湾区校级期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．28．（2021•澄海区校级月考）已知四棱锥中，平面，且，底面是边长为的菱形，．（1）求证：平面平面；（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值是，求的值．29．（2021•温州模拟）在四棱锥中，，，，底面是梯形，，，，．求证：；求直线与平面所成角的大小．30．（2015秋•临海市校级月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．31．（2014•滨州一模）在四棱锥中，平面，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．32．（2021•义乌市模拟）如图1，平行四边形中，，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中△的位置，使得． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．33．（2021•浙江模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．34．（2021•浙江模拟）已知直角梯形，，，，为的中点，将沿翻折至．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．35．（2021•浙江二模）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．