第39讲 斜率和积问题与定点定值问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第39讲 斜率和积问题与定点定值问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共34小题）
1．（2021•西陵区校级月考）已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2），为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，，使其满足：①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上，若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知得，
解得，，
椭圆的方程．
（2）设直线的方程为，代入，
得．
设，，，，且是方程的根，
，
用代替上式中的，可得，
故中点横坐标为
解得
直线，的方程分别为，或，．
2．（2021•盐湖区校级月考）已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．
【解答】解（1）根据题意，，
解得
椭圆的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为：
由得
，
由题直线的方程为
，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为．
3．（2021•汉阳区校级期末）已知椭圆经过点，且两个焦点、的坐标依次为和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程；
【解答】解：（1）由椭圆定义得，
即，又，所以，得椭圆的标准方程为，
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
直线的方程与椭圆方程联立，消去得，
当判别式△时，得，
设，因为点，在直线上，得，
整理得
即，化简得，
原点到直线的距离，则，
由已知有是定值，所以有，解得
即当时，直线与以原点为圆心的定圆相切，
验证知当直线的斜率不存在时也成立，
此时，定圆的标准方程为
4．（2021•杨浦区校级期末）已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程：
（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点．
【解答】解：（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，
即有、、满足椭圆方程，
即，，
解得，，
可得椭圆方程为；
（2）设直线为，线段中点为，
根据椭圆中点弦性质，
即，
联立解得中点，，
代入，可得，
；
（3）证明：当直线的斜率不存在时，设，，，
直线与直线的斜率的和为，，
解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；
若直线的斜率存在，设，联立椭圆，
可得，
设，，，，
则，，
，
直线，即，
则直线经过定点．
5．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）证明：的导数为，
设切点，，，，即有，，
切线的方程为，即为，
切线的方程为，
联立两切线方程可得，
可得，即，
直线的方程为，
即为，
可化为，
可得恒过定点；
（2）法一：设直线的方程为，
由（1）可得，，
中点，
由为切点可得到直线的距离即为，
可得，
解得或，
即有直线的方程为或，
由可得，四边形的面积为；
由，可得，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
法二：
（2）由（1）得直线的方程为．
由，可得．
于是，，，
．
设，分别为点，到直线的距离，则，．
因此，四边形的面积．
设为线段的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得或．
当时，；当时，．
综上，四边形的面积为3或．
6．（2013秋•临川区校级月考）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，，
（1）设动点满足，求点的轨迹方程；
（2）设，，求点的坐标；
（3）若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

【解答】解：（1）由椭圆可得：，，．
，．
设，则，．
满足，
，，，
，
化简得，
故的轨迹方程为
（2）由及得，则点，
从而直线的方程为；
同理可以求得直线的方程为
联立两方程可解得
点的坐标为．
（3）假设直线过定点，由在点的轨迹上，
直线的方程为，直线的方程为
点，满足得，
又，解得，从而得．
同理：，．
直线的方程：，
令，解得．
直线经过定点．
7．（2010•江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．

【解答】解：（1）设点，则：、、．
由，得，化简得．
故所求点的轨迹为直线．
（2）将分别代入椭圆方程，以及，，
得、，
直线方程为：，即，
直线方程为：，即．
联立方程组，解得：，
所以点的坐标为．

（3）点的坐标为
直线方程为：，即，
直线方程为：，即．
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，
解得：、．
（方法一）当时，
直线方程为：，
令，可得，
即为，
令，解得：．此时必过点；
当时，直线方程为：，与轴交点为．
所以直线必过轴上的一定点．
（方法二）若，则由及，得，
此时直线的方程为，过点．
若，则，直线的斜率，
直线的斜率，得，所以直线过点．
因此，直线必过轴上的点．

8．（2021•西安一模）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值．
【解答】解：（1）由已知得，的方程为，
由已知可得，点的坐标为或．
所以的方程为或；
（2）当与轴重合时，，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，，，，
当，直线，的斜率之和为，
由，得，
将代入，得，
所以．
则，
从而，故，的倾斜角互补，所以，
所以．
9．（2021春•湖北期中）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，
，解得，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
联立，得，
△，，，
从而

，
当时，，
此时，为定值．
当直线的斜率不存在时，直线即为直线，
此时，．
故存在常数，使得为定值．
10．（2021春•湛江校级月考）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是经过的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得十？若存在，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆经过点，
，
又，，
，，
椭圆的方程为：；
（Ⅱ）结论：存在常数，使得十．
理由如下：
①当斜率存在时，不妨设为，
联立直线与椭圆方程，消去整理得：，
设，，，，则，，
十




，
令，则，从而，，
则，
十，
对比可知；
②当斜率不存在时，不妨设，，，，
则十，
，当时也成立；
综上所述，存在常数，使得十．
11．（2013•江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）椭圆经过点，可得①
由离心率得，即，则②，代入①解得，，
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设的斜率为，则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理得
设，，，，
，④
在方程③中，令得，的坐标为，
从而，，
注意到，，共线，则有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又，所以
故存在常数符合题意
方法二：设，，则直线的方程为
令，求得
从而直线的斜率为，
联立，得，，
则直线的斜率，直线的斜率为
所以，
故存在常数符合题意

12．（2021•新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
【解答】解：如图所示：

（1）由题意，，，
，，，解得：，
故椭圆的方程是；
（2）由（1）知，，设，
则直线的方程是，
联立，
由韦达定理，
代入直线的方程为得：
，即，，
直线的方程是，
联立方程，
由韦达定理，
代入直线的方程为得，
即，，
则①当即时，有，
此时，即为直线，
②当时，直线的斜率，
直线的方程是，整理得：
，直线过定点，．
综合①②故直线过定点，．
13．（2021•怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，．
（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；
（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值．

【解答】解：（1）证明：设，，，，，，
因为直线，的中点在抛物线上，
所以，为方程的两个根，
即，的两个不同的实数根，
所以，
所以垂直于轴．
（2）根据题意可得，，
设，，，，则，，
所以，则或，
因为，位于轴的两侧，所以，
设直线的方程为，
联立，得，
所以，则，
所以直线过定点，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为6．
14．（2021•丽水月考）已知椭圆的离心率，，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为．
由已知，，解得：，
所以椭圆的标准方程为：．
（Ⅱ）由题意直线不能是轴，设，，，，；
联立可得；
则，；
因为以为直径的圆经过右焦点，
所以．
即
解得直线方程为：或．
15．已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、，是坐标原点，则的充要条件是．
（1）试根据上述定理，写出直线与圆相交于，，坐标原点为，且的充要条件，并求的值；
（2）若椭圆与直线相交两点、，而且，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）由定理可知的充要条件为：，
即，．
（2）椭圆与直线相交两点、，
，即．
圆的半径为，
又圆心到直线的距离为，
，
直线与圆相切．
16．若直线与圆相交于，两点，并且，求实数的值．
【解答】解：设，，，．
联立，化为．
△，
．
，．
．
，
，
解得．满足．
．
17．（2021•朝阳区校级月考）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解答】解：（1）联立，可得，，或，．
，故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故在处的导数值为，
在处的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意的点，，，，，直线，的斜率分别为，．
将代入得方程整理得．
，．
．
当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以符合题意．
18．（2013秋•普宁市校级月考）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围；
（3）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（1）设圆心，过点作 轴，垂足为，则，
，
，化为；
（2）联立，得．
轨迹与圆相交于、、、四个点，
，
解得；
（3）设，，，，
由题意可知，，．
轴是的角平分线，，
，，化为．
直线的方程为，
，化为，
化为，
，令，则，
直线过定点．
19．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心，则即：，
即动圆圆心的轨迹方程为：，
（Ⅱ）设两点，，，设不垂直于轴的直线：，则有：，所以：，，
因为轴是的角平分线，
所以：即：即：，
则：，所以：所以直线过定点．
20．（2021•平顶山一模）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，长为的线段的两端点在轨迹上滑动．当轴是的角平分线时，求直线的方程．
【解答】解：（1），设圆心，线段的中点为，
则由圆的性质得：，，
，即．
（2）设，，，，
由题意可知，．
（ⅰ）当与轴不垂直时，，，
由轴平分，得，
，
，．
设直线，
代入的方程得：．
，即．
由于，，
，
因此，直线的方程为．
（ⅱ）当与轴垂直时，，
可得直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
21．已知椭圆离心率，过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且点分有向线段所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2），为椭圆上两动点，满足，探求是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）椭圆离心率，
，，
过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，
直线的方程为，
联立，得，
设，，，，则，，
点分有向线段所成的比为3，，
，，，，
，
解得，，
，，
椭圆方程为．
（2）设直线为：，
联立，得，
设，，，，则，，
，
，
，，
原点到直线的距离，
，
当的斜率不存在时，仍然满足上述关系，
综上，为定值．
22．（2014•江西一模）如图，，是离心率为的椭圆的左、右焦点，直线将线段分成两段，其长度之比为．设，是上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）设，
直线将线段分成两段，其长度之比为，
，解得．
离心率为，，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，直线的方程为，
此时，，，，，不合题意．
当直线不垂直于轴时，设存在点，，，
设直线的斜率为，，，，，
由，得，
则，故，
此时，直线的斜率为，
的直线方程为，即．
联立，消去，整理，得．
，，
由题意，




，
．
在椭圆内，，
符合条件．
综上所述，存在两点符合条件，坐标为，和，．
23．（2021•沈阳一模）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于、两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于、两点，求证：为定值．
【解答】（Ⅰ）解：设，则，，
又，，
由在椭圆上，得，即；
（Ⅱ）证明：当与轴重合时，，，
．
当与轴垂直时，，，
．
当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为，
此时设，，，，，，，，
把直线与曲线联立，
得，
可得△．
，．
，
把直线与曲线联立，
同理可得．
为定值．
24．（2021春•凉山州期末）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点．
【解答】解：（1）设，，则，，，
由得：，，因为点在椭圆上，所以，
即点的轨迹方程：；
（2）由题意设，则，
由得：，，，
，
，
由已知得，直线的方程：，
所以直线恒过定点．
25．（2021•武汉月考）设为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足
（1）求点的轨迹方程；
（2）设，在轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设，点坐标为，，，，则①，由知，，即，
代入①得，即点的轨迹方程．
（2）假设存在点，设，由得，，
即，又点的轨迹方程为，故，解得．
存在点满足条件．
26．（2021•武昌区校级期末）设点为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，过点作直线，使得．
证明：直线过定点（记为点，并求出该点的坐标；
当，两点在直线同侧时，求四边形的面积的取值范围．
【解答】解：（1）设，，，，，
则，
点满足，
可得，，
即有，，即，
可得，
即的轨迹方程为；
（2）证明：设，，
由，可得，，，
可得，
直线，
即为，
可得，即为，
由，即，，
则直线恒过定点；
设，，设，，
则，
可得，
由，可得四边形的面积为：



，
由
，
由可得，，
即有，
由在递减，可得的最小值为，
则四边形的面积的取值范围为，．
27．（2021•巨鹿县校级期中）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．
（1）求直线的斜率；
（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
【解答】解：（1）设，，，为曲线上两点，
则直线的斜率为；
（2）设直线的方程为，代入曲线，
可得，即有，，
再由的导数为，
设，可得处切线的斜率为，
由在处的切线与直线平行，可得，
解得，即，
由可得，，
即为，
化为，
即为，
解得．
则直线的方程为．
28．（2021•定远县三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．

【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，
由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，
由题意Δ＞0，所以3k2+1＞t2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系得，所以，
由于E为线段AB的中点，因此，
此时，所以OE所在直线的方程为，
又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，
所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，
此时由Δ＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．
（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得，
又，
由距离公式及t＞0得，，，
由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t＝k，
因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）．
29．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形．
（1）求的方程
（2）若直线平行，且和有且只有一个公共点，证明直线恒过定点求的面积最小值．
【解答】解：（1）当点的横坐标为3时，过点作轴于，
，，，
．
为正三角形，
．
又，
，
．
的方程为．
当在焦点的左侧时，
又，
为正三角形，
，解得，
的方程为．此时点在轴负半轴，不成立，舍．
的方程为．
（2）证明：设，，，
，，
．
由直线可设直线方程为，
联立方程，消去得①
由和有且只有一个公共点得△，，
这时方程①的解为，代入得，，．
点的坐标可化为，，直线方程为，
即，
直线过定点；
直线的方程为，即．
联立方程，消去得，
，
，
点的坐标为，，点到直线的距离为：，
的面积，
当且仅当时等号成立，
的面积最小值为16．

30．（2021春•合肥期末）已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，，点是椭圆上位于第三象限的动点，直线、分别将轴、轴于点、，求证：为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为得，，．
又椭圆经过点，
，解得，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点，，．由（Ⅰ）知，，，
直线的方程为．令得，．
直线的方程为．令得，．
，，
，是一个确定的定值．

31．（2021•黄浦区校级月考）已知抛物线关于轴对称，且经过点
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点
【解答】解：（1）设抛物线经过点．可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为；
（2）证明：抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立抛物线方程，可得，
设，，，，
可得，，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
可得，，，，
可得的中点的横坐标为，
即有为直径的圆心为，
半径为，
可得圆的方程为，
化为，
由，可得或3．
则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．
32．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点．
（1）求的方程；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）当时，求的中点坐标．
【解答】解：（1），点的轨迹为椭圆．
设椭圆的标准方程为．
则，，．
椭圆的标准方程为：．
（2）设，，，．
联立，化为，
，，
，
，
，
化为，
解得，
．
（3），
，
，
，
，
，
化为，
解得．
（4）设的中点，，
，
，
，
．
33．（2021•香洲区校级月考）如图，已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，直线与直线的斜率之积为，证明：直线过定点并且求出该定点坐标．

【解答】（1）解：因为一个顶点为，故，
又离心为，故，
即，
所以，故椭圆方程为：．
（2）证明：若直线的斜率不存在，则设，，
此时，与题设条件矛盾，故直线斜率必存在．
设，，，，，联立，
化为，△，
，．

，
，
化为，解得或（舍去）．
即直线过定点．
34．（2021•广州一模）已知椭圆的一个焦点为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点的坐标：若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，点在上，
，
又，
解得，，
椭圆的方程为，
（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，
设，，，，线段的中点为，，
由，消去可得，
△，解得，
，，
，，
，，
依题意有，，
由，可得，可得，
由可得，
，，
代入上式化简可得，
则，
解得，
当时，点满足题意，当时，点满足题意