第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共24小题）
1．（2021•常熟市校级期中）已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．椭圆上有两个不同的点，关于直线对称
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值为坐标原点）．

【解答】解：（1）离心率，焦点到相应准线的距离为，
所以，，
故椭圆的方程为：，
（2）直线的方程为：，联立解方程组，消去得，
△，

设，，，，
所以，，
所以线段的中点，，代入直线，注意其中，
得，结合，得，即，
，得，所以，故或者，
（3），
到的距离，
，，
故．
2．（2021•扶沟县校级模拟）设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）依题设得，，
椭圆的方程为，
直线，的方程分别为，．
如图，设，，，，，，
其中，且，满足方程，
故． ①
由，知，得；
由在上知，得．
，化简得，
解得或；
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，
点，到的距离分别为，
．
又，
四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．
的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．
的最大值为．

3．（2021•江北区校级模拟）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于，两点，自，向直线作垂线，垂足分别为，．
（1）当时，求证：；
（2）记，△，的面积分别为，，，是否存在，使得对任意的，均有成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）当时，如图所示设，．则，，．
则，，．
设直线的方程为，联立，化为．
．
代入可得．
；
（2）假设存在，使得对任意的，均有成立．
设，．则，，不妨设．
设直线，联立，化为．
△成立，，．
，
同理，．
．
，
，解得．
故存在，使得对任意的，均有成立．

4．（2021春•武陵区校级月考）如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．
（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（2）求的最小值及此时点的坐标．

【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为，
由已知设直线的方程为，
与抛物线联立可得，，所以，
则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；
（2）设，，，，，，重心，，
令，，则，由直线过点，故直线的方程为，代入，可得，
所以，即，所以，
又由于，，重心在轴上，故，
所以，，
所以直线的方程为，可得，，
由于点在焦点的右侧，故，
故，
令，则，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，此时．
5．（2021•上城区校级期中）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上．
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求证：直线与直线的倾斜角互补；
（3）当时，求面积的最大值．

【解答】解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）证明：设过的直线方程为，，，，，，，
即有，，，
联立直线和抛物线可得，
可得，，
则，
由的重心在轴上，可得，即，
即有，
当直线的斜率不存在时，求得，，的坐标，可得．
则直线与直线的倾斜角互补；
（3）由（2）可得，，
可得，解得，
由抛物线的定义可得，
由，即，即，，
的坐标为，，
到直线的距离为，
可得的面积为，
由，可得，
设，则，
由，则在递减，
可得；
当直线的斜率不存在时，设，，可得，
的面积为，
可得的面积的最大值为2．
6．（2021•浙江月考）如图，已知抛物线与圆有四个不同的公共点，，，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

【解答】解（Ⅰ）联立，得．
由题可知，在上有两个不同的解，
，得，
；
（Ⅱ）设，，，，
由韦达定理可知，，，
，
又．
，
．
令，则，此时．
记，．
．
当时，，当时，．
在上单调递增，在单调递减．
，得四边形的最大值为．
7．（2021春•浙江期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，且抛物线经过点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，且直线平分，求首尾顺次连结、、、四点所得图形的面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线经过点，可得，解得，
故抛物线的标准方程为；
所以抛物线的焦点为，
则，
又椭圆的离心率，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）将直线的方程代入，消去并整理可得，
由题意知，△，即，
设直线、的斜率分别为、，
因为直线平分，所以，
设，，，，
则，，，
则，
解得，
故，
所以直线且，
联立方程组，消并整理可得，
依题意，△，
解得，
所以且，
设，，，，
则，，
则，
且、到的距离分别，，
当时，，
当时，，
综上所述，．
8．（2021•麒麟区校级模拟）已知椭圆的短轴端点与抛物线的交点重合，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）设是抛物线准线上的一个动点，过作抛物线的切线，，，为切点．
（ⅰ）求证：直线经过一个顶点；
（ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，椭圆的下顶点为，求面积的最大值．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率，由，则，所以，
由抛物线的焦点为，则，则，
所以椭圆方程为，抛物线方程为；
（2）（ⅰ）证明：抛物线的准线为，设，，，，，
则，，由，求导，
则，所以的方程为，
将代入可得的方程：，
过点，代入得，由过点，同理可得，，
则直线，
故直线恒过定点；
（ⅱ）由题意得直线斜率存在且不为0，设直线，代入椭圆，
得，所以或，则△，
即有，
当时，取得最大值，
所以，面积的最大值2，
此时直线的斜率，的方程为．
9．（2021•浙江模拟）已知椭圆和抛物线，点为第一象限中抛物线上的动点，过作抛物线的切线分别交轴、轴于点、，为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，求面积的最小值及此时的值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：设，，，，，，，，
与抛物线联立得：，
由题意知△，即．
而的横坐标，的横坐标，
所以为 的中点，
由到焦点的距离等于到准线的距离可知，，
所以平分．
（Ⅱ）直线与椭圆联立得：，
由条件知△，即，
由（1）知，可得：，
又因为，所以，
的横坐标，
所以 面积
，
令，
，（当 即 时取等），
所以 面积的最小值是2，此时．
10．（2021•菏泽二模）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且过点（1，）．抛物线C2：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3＝0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

【解答】解：（I）由于椭圆C1中，，
则设其方程为，
由于点在椭圆上，故代入得λ＝1．
故椭圆C1的方程为．
抛物线C2中，
∵抛物线C2：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），
∴，故p＝1，
从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2＝﹣2y．
（II）（i）证明：∵x2＝﹣2y，∴y＝﹣，
∴y′＝﹣x，
设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3＝0，
点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，
从而MA的方程为y＝﹣x1（x﹣x1）+y1，
考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1＝0，
同理切线MB的方程为x2x+y+y2＝0，
由于切线MA，MB同过点M，
从而有，
由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0＝0上．
又点M在直线2x﹣4y+3＝0上，则2x0﹣4y0+3＝0，
故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0＝0，
即y0（4x+2）+（2y﹣3x）＝0，
∴直线AB过定点．
（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），
考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0＝0，
则联立方程，
消去y并简化得，
从而，，，
从而，
点O到PQ的距离，
从而
＝，
当且仅当，即，
又由于2x0﹣4y0+3＝0，
从而消去x0得，
即，解得，
从而或，
∴所求的直线为x+2y+2＝0或x﹣14y﹣10＝0．
11．（2021•安徽）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与，分别交于、两点，与、分别交于、两点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）过作直线（异于，与、分别交于、两点．记△与△的面积分别为与，求的值．

【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，和的斜率存在且不为0，
设，．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
，
．
，
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
同（Ⅰ）可证，．
△△，
因此，
又，
．
故．
12．（2021•柯桥区期末）如图，，为椭圆的左、右焦点．点满足：延长，分别交椭圆于，两点，且的重心在椭圆．直线交于点．
（1）若，是椭圆长轴的两个端点，求直线，的斜率之积；
（2）设△，的面积分别为，，求的最小值．

【解答】解：（1）设，由题意可知，，
则，

，（4分）
因为在椭圆，所以，
所以．（7分）
（2），设，
又因为，，三点共线，
故可知，
，，（9分）
因为点为的重心，所以，
，
，令，（12分）
，（14分）
当且仅当时，取得最小值．（15分）
13．（2021•浙江模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线截以为直径的圆所得的弦长为定值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，直线交轴于点，抛物线上的点满足的中垂线过点且直线不与轴平行，求的面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ），
设截得的弦为，圆心到弦的距离为．
则，
．
（Ⅱ）由上题可得，设，，，，
线段中点为，直线的斜率存在且不等于0，
设直线，
联立直线与抛物线方程得：，
△，
，
，

，
记，，，
时，单调递增，时，单调递减，
时，的最大值为．
此时，
的最大值为．
14．（2021•闵行区校级模拟）已知点为抛物线的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线为常数）截以为直径的圆所得的弦长为定值．
（1）求焦点的坐标；
（2）求实数的值；
（3）若点，过点的直线交抛物线于另一点，的中垂线过点，求的值和的面积．
【解答】解：（1）抛物线，即，．
（2）设点，的中点为，直径，
设截得得弦为，圆心到弦的距离为，
则，
得与无关，所以．
（3）设，，，，线段的中点为，
联立，
△，
，，，
，
符合，
，点到的距离为，
．
15．（2021•江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求△的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．

【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，，，，
所以△的周长．
（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，
椭圆的右准线为：，
所以直线与右准线的交点为，
，，，
当时，．
（3）若，设到直线距离，到直线距离，则，即，
，，可得直线方程为，即，所以，，
由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，
设平行于的直线为，与直线的距离为，
所以，即或12，
当时，直线为，即，
联立，可得，即或，
所以或，．
当时，直线为，即，
联立，可得，△，所以无解，
综上所述，点坐标为或，．
16．（2021•广东月考）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．

【解答】解：（1）因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）因为椭圆的方程为，
所以，，
设，，，
则，即，
则直线的方程为，
令，得，
同理，直线的方程为，
令，得，
所以
，
所以四边形的面积为定值2．
17．（2021•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）证明：的导数为，
设切点，，，，即有，，
切线的方程为，即为，
切线的方程为，
联立两切线方程可得，
可得，即，
直线的方程为，
即为，
可化为，
可得恒过定点；
（2）法一：设直线的方程为，
由（1）可得，，
中点，
由为切点可得到直线的距离即为，
可得，
解得或，
即有直线的方程为或，
由可得，四边形的面积为；
由，可得，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
法二：
（2）由（1）得直线的方程为．
由，可得．
于是，，，
．
设，分别为点，到直线的距离，则，．
因此，四边形的面积．
设为线段的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得或．
当时，；当时，．
综上，四边形的面积为3或．
18．（2021•浙江模拟）已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．
（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，
则，抛物线的标准方程为，焦点．
（2）设，，，，，，，，
由，得点在直线上，且，
且四边形的面积．
，
由，得，
则，
，
因为，所以，
由，的斜率分别为，由图知必过点，
可设，且，
故直线，令，
则直线，代入椭圆方程，
得，
，
，
点 到的距离，
四边形的面积，
当且仅当时，面积最大为．
19．（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，过点作抛物线的切线与轴相交于点，直线交抛物线另一点为，线段交轴于点．记，的面积分别为，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）直线的方程为，代入抛物线方程，
得．
设，，，，则，，
，
（Ⅱ）设直线的方程为，
代入抛物线方程得，．
设，，，，点的坐标为．
设切线的方程为，
代入抛物线方程，得，
△，得，
令，得，
所以点的坐标为，．
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，，
，，，所以点的坐标为，，
直线的方程为，
即，
令，得，
所以点的坐标为，．
，，
由，知，，
令，则，，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
20．（2021•浙江月考）设抛物线的焦点为，，，，为抛物线上的两点不经过焦点，且直线斜率存在，若的中垂线恰好经过．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求面积与面积之和的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）设直线的方程为，
联立抛物线的方程，消去得，
所以，，
则的中点的坐标为，，的中垂线方程为．
将点代入的中垂线方程，
得，
即，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的中垂线方程为，所以点．
设的面积为，的面积为，
由（Ⅰ）可得，
点到的距离为，点到的距离为，
所以．
由及得，且，
所以．
①当时，，
令，
则，
令函数，
则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以的最大值为；
②当时，，
令，
则．
令函数，
则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以的最大值为．
因为，
所以的最大值为，
即和的面积之和的最大值为．
21．（2021•温州模拟）如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于，和，（其中，在轴的上方），交轴于点．
（Ⅰ）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（Ⅱ）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）证明：设直线的方程为，的方程为，
所以联立，得，
所以，
所以点、点的纵坐标乘积为定值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
联立，得，
所以，即，
因为，
所以，又因为，
所以，
所以，
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，①
所以，
又因为，
所以，，
所以，
设直线的方程为，
联立，得，
所以，②
联立①②，解得，，
所以，
将代入得，
所以直线的方程为．

22．（2021•浙江模拟）如图，已知椭圆，离心率为，，，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，为△的内心，连接，延长交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设△，△的面积分别为，，求的取值范围．

【解答】解：因为离心率为，故，
又因为为椭圆的左右焦点，
故，
所以椭圆．
（Ⅱ）因为为△的内心，故为△各内角角平分线交点，
故根据角平分线定理可知，，，
，
设△，△以，为底边的高为，，
，
，
设，，，
，
为椭圆上一动点，且构成三角形，故，
．
23．（2012秋•三元区校级月考）已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆，圆心为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当圆与轴相切的时候，求的值；
（Ⅲ）若为坐标原点，求面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率，
，
解得，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）联立方程，得，
即，的坐标分别为，，
圆的直径为，且与轴相切，
，，．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得的面积，
当且仅当即时，等号成立，
故的面积的最大值为1．
24．（2021•绍兴期中）已知椭圆和抛物线，点为的左焦点，点为的焦点．
（Ⅰ）过点的直线与相切于点，若，求抛物线的方程．
（Ⅱ）过点的直线交于，两点，点满足为坐标原点），且点在线段上．记的面积为，的面积为，求的取值范围．

【解答】解：由题可知：设直线的方程为：，
联立可得：．
则△，故且，即点．
故，所以，抛物线的方程：．
【其他方法也可：设点，，则在点处的切线方程为，即，由于该切线经过点，故，即，故，．】
设点，直线方程为：，
联立可得：．
故，从而，
又，则，
从而，且，则，
从而，
，
由此可得．