21.高二【数学（人教B版）】正态分布-课件

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正态分布高二年级 数学主讲人 黎宁北京师范大学附属实验中学北京市中小学空中课堂尝试与发现 已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，你能手工计算出P(X=50)的值吗？因为 ，手工计算该值是一个“几乎不可能”完成的任务，由此可以看出，若X~B(n，p)，那么n较大时，直接计算P(X=k)的值将是十分困难的，有没有其他办法能得到上式的近似值呢？例如，若X~B(6， )，则X的分布列如下.直观图具有以下性质：（1）中间高，两边低；（2）图形关于X=3对称；（3）某一整数k上方的矩形面积等于P(X=k),其中k=0，1，2，3，4，5，6；（4）所有矩形的面积之和为1.事实上，许多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都有类似的特点.例如，若X~B(50， )，或者X~B(100， )，则X的分布列可分别用图(1)，(2)表示.其中：μ=E(X)即X的均值， ，即X的标准差。一般地 ， 对应的图像称为正态曲线.正态曲线的性质(1)μ=1, σ=2(2)μ=0, σ=1正态曲线的一些性质：（1）正态曲线关于直线 x=μ 对称，具有中间高、两边低的特点；（2）正态曲线与x轴所围成的面积为1；（3）σ决定曲线的“胖瘦”： σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”； σ越小，曲线越“瘦”. 正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围面积为0.3413，在区间[μ +σ ，μ+2σ]内所围面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围面积约为0.0215 ，如图所示. 例题 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积（精确到0.001）（1）[μ，+∞）解：（1）因为正态曲线关于x=μ对称，且它与x轴所围成的面积为1，所以所求面积为0.5. （2）利用对称性可知，所求面积为[μ，μ+σ] 内面积的2倍，即约为0.3413×2=0.6826≈0.683. （2）[μ -σ ，μ+σ] （3）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954. （3）[μ-2σ，μ+2σ]； （4）利用对称性可知，所求面积为(0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997. （4）[μ-3σ，μ+3σ].正态分布：如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于 对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ 和σ的正态分布，记作X~N(μ ，σ2 ). μ是X的平均值，σ是X的标准差,σ2是X的方差.由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ ，σ2 )，那么P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5,P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.3％,P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.4％,P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.7％.现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布：随机误差、同一地区同龄人的身高、正常条件下生产出来的产品尺寸、同一批灯泡的寿命等.例 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1）不高于170的概率；解：设该学生的身高为X，X~N(170 ，102 ).（1）P(X≤170 )=50％,（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤ 180 ) =P(|X –170|≤10) ≈68.3％，（2）在区间[160，180]内的概率；(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知P(170≤X≤ 180 )= P(160≤X≤ 180 ) ≈ 68.3％=34.15％，由概率加法公式可知P(X≤ 180 )= P(X≤ 170 )+ P(170≤X≤ 180 ) ≈ 50％+34.15％=84.15％.（3）不高于180的概率.标准正态分布：μ =0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0 ，1 )，对于任意a，通常记Φ(a)=P(X