2022届上海市春季高考数学试卷 含简答

2022届上海市春季高考数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知，则       

2. 已知，，则       

3. 不等式的解集为       

4. 已知，则       

5. 已知方程组有无穷解，则的值为       

6. 已知函数的反函数为，则       

7. 在的展开式中，含项的系数为       

8. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为       

9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为       

10. 在△ABC中，，，M为AC的中点，P在AB上，则的最小值为       

11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点，，满足恒成立，则a的取值范围是       

12. 已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则       

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列幂函数中，定义域为R的是（    ）

　 A.     B.     C.     D.

14. 已知，下列选项中正确的是（    ）

　 A.           B.      

C.               D.

15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个

时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（    ）次

　 A.        B.        C.        D.

16. 已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ）

A. 若，则数列单调递增    B. 若，则数列单调递增

C. 若数列单调递增，则    D. 若数列单调递增，则

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在圆柱中，底面半径为1，为圆柱母线.

（1）若，M为中点，求直线与底面的夹角大小；

（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

18. 已知数列，，的前n项和为.

（1）若为等比数列，，求；

（2）若为等差数列，公差为d，对任意，均满足，求d的取值范围.

19. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

（1）若∠ADE，求EF的长；

（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？

（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

20. 在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.

（1）若∠AFB，求椭圆的标准方程；

（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；

（3）已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.

21. 已知函数，甲变化：；乙变化：，.

（1）若，，经甲变化得到，求方程的解；

（2）若，经乙变化得到，求不等式的解集；

（3）若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.

参考答案

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知，则       

【答案】

2. 已知，，则       

【答案】

3. 不等式的解集为       

【答案】

4. 已知，则       

【答案】

5. 已知方程组有无穷解，则的值为       

【答案】

6. 已知函数的反函数为，则       

【答案】3

7. 在的展开式中，含项的系数为       

【答案】66

8. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为       

【答案】

9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为       

【答案】17

10. 在△ABC中，，，M为AC的中点，P在AB上，则的最小值为       

【答案】

11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点，，

满足恒成立，则a的取值范围是       

【答案】

12. 已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则       

【答案】2

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列幂函数中，定义域为R的是（    ）

　 A.     B.     C.     D.

【答案】C

14. 已知，下列选项中正确的是（    ）

　 A.           B.      

C.               D.

【答案】B

15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个

时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（    ）次

　 A.        B.        C.        D.

【答案】B

16. 已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ）

A. 若，则数列单调递增    B. 若，则数列单调递增

C. 若数列单调递增，则    D. 若数列单调递增，则

【答案】D

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在圆柱中，底面半径为1，为圆柱母线.

（1）若，M为中点，求直线与底面的夹角大小；

（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

【答案】（1）；

（2）侧面积，体积

18. 已知数列，，的前n项和为.

（1）若为等比数列，，求；

（2）若为等差数列，公差为d，对任意，均满足，求d的取值范围.

【答案】（1）4；（2）

19. 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

（1）若∠ADE，求EF的长；（长度精确到0.1m）

（2）当AE多长时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m²）

【答案】（1）m；

（2）最大面积为m²

20. 在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.

（1）若∠AFB，求椭圆的标准方程；

（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；

（3）已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.

【答案】（1）；

（2）交点为，在椭圆上；

（3）6

21. 已知函数，甲变化：；乙变化：，.

（1）若，，经甲变化得到，求方程的解；

（2）若，经乙变化得到，求不等式的解集；

（3）若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.

【答案】（1）；（2）；（3）证明略