2020-2021学年陕西省西安市铁一中学八年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

陕西省西安市铁一中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（    ）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6

2．的算术平方根是（    ）

A． B．4 C． D．2

3．点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．下列二次根式中，不能与合并的是（    ）

A． B． C． D．

5．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）

A． B． C． D．

6．将直线沿着轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（    ）

A． B． C． D．

7．已知中，为斜边，、为直角边，若，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线，，的图像如图则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

10．当时，化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若二次根式有意义，则x的取值范围是___．

12．在中，斜边，则的值是______．

13．点到轴的距离是______；到轴的距离是______；到原点的距离是______；

14．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．

15．如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上，当的周长最小时点的坐标是______．

16．如图，已知直线与轴交于点，过点和的直线上有一个动点，则的最小值为____________．

三、解答题

17．计算

（1）

（2）

（3）

（4）

18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）作出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1向下平移3个单位长度，画出平移后的△A2B2C2．

19．已知在中，，，是上一点，且，求的长．

20．如图，把矩形放入直角坐标系中，使、分别落在轴、轴的正半轴上，且．

（1）求过点、的直线解析式；

（2）将矩形折叠，使点与点重合，是折痕，求折叠后重叠部分的面积．

21．甲乙两人沿相同的路线同时登山甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为：______．

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山多长时间时，乙追上了甲?此时乙距地的高度为多少米？

22．如图，平面直角坐标系中，点和；

（1）在轴上求点，使得，请求出点的坐标；

（2）在轴上求点，使得，请求出点的坐标．

23．问题提出：

（1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______．

问题探究：

（2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

问题解决：（自行作图并解决）

（3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

【分析】

本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．

【详解】

解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；

B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；

C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；

D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

2．D

【分析】

首先求出的值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．

【详解】

解：∵=4，

∴的算术平方根是：=2，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

3．B

【分析】

根据点在第二象限的坐标特点即可解答．

【详解】

解：∵点P的横坐标﹣2＜0，纵坐标3＞0，

∴点P在第二象限．

故选：B．

【点睛】

解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

4．B

【分析】

首先把每一项都化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可推出不能与合并的二次根式．

【详解】

解：A、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误；

B、与被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项正确；

C、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误；

D、与被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式的定义，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简．

5．D

【详解】

根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．

故选D．

6．D

【分析】

直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．

【详解】

解：把直线y=-3x沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=-3（x-2），即y=-3x+6．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一次函数图象与几何变换．掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．

7．B

【分析】

利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积．

【详解】

解：∵a+b=17，

∴(a+b)2=289，

∴2ab=289-(a2+b2)=289-c2=289-169=120，

∴ab=60，

∴ab=30．

∴△ABC的面积是30cm2．

故选：B．

【点睛】

本题考查了勾股定理，以及完全平方公式，熟练运用完全平方公式的变形是解答本题的关键．

8．A

【分析】

利用一次函数函的增减性和函数值可以判断即可．

【详解】

由一次函数的的增减用特值法x=1时，由此可知，y1=k1,y2=k2,y3=k3

由图像可知y1y2y3

则k1>0>k2>k3，

故选择：A．

【点睛】

本题考查一次函数函数值的大小比较问题，掌握一次函数的性质利用特值法，图像与x=1交点与往上y越大是解题关键．

9．C

【分析】

如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．

【详解】

根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点．

10．B

【分析】

根据二次根式的性质即可化简．

【详解】

解：∵

∴

∴=

故选：B．

【点睛】

此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．

11．

【详解】

试题分析：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．

故答案是x≥2．

【点睛】

考点：二次根式有意义的条件．

12．6．

【分析】

利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值．

【详解】

解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×=6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解决问题的关键．

13．2    3       

【分析】

点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值；利用勾股定理列式可求出求出到原点的距离，据此即可得答案．

【详解】

∵点，

∴点P到x轴的距离等于，点P到y轴的距离等于，

∴点P到原点的距离等于，

故答案为：2、3、

【点睛】

本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．

14．（-2,3）．

【分析】

由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．

【详解】

解：∵

∴

∵直线与直线的交点坐标为

∴

得

∴

∴

将代入中得

∴交点坐标为（-2,3）

故答案为：（-2,3）．

【点睛】

此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．

15．（0，4）．

【分析】

根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值

【详解】

解：作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点，

B′点的坐标是（-4，0），

设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（-4，0），（1，5），得

解得

AB′的函数解析式为y=x+4

自变量的值为零时，y=4

当△ABC周长最小时，C点坐标为（0，4）．

故答案为：（0，4）．

【点睛】

本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短．

16．．

【分析】

易得A(0，5)，根据待定系数法得到直线OM的解析式为：y=-2x，设P点坐标为（a，-2a），如图过P点作y轴垂线，垂足为B，连接PB，在中，根据勾股定理即可得到，最后根据二次函数的性质即可求解．

【详解】

解：令x=0，有y=-x+5=5

A(0，5)

设直线OM解析式为y=kx

把M（1，-2）代入得：k=-2

∴直线OM的解析式为：y=-2x

∵P在直线OM上

∴设P点坐标为（a，-2a）

如图过P点作y轴垂线，垂足为B，连接PB

在中

若求AP最小值，则应求最小值

是一个开口向上的抛物线

最小值在a=处取得

最小值为

∴AP的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考察一次函数、二次函数和几何的综合，解题的关键是熟练掌握函数的性质．

17．（1）（2）（3）（4）

【分析】

（1）利用多项式乘以多项式的法则计算即可；

（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；

（3）利用完全平方公式和平方差公式化简即可；

（4）根据二次根式的除法法则计算即可.

【详解】

（1）原式=

=

（2）原式=

（3）原式

（4）原式

【点睛】

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的法则，考查学生的计算能力.

18．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．

【详解】

试题分析：（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）将A1、B1、C1按平移条件找出它的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2B2、B2C2、C2A2，即得到平移后的图形．

试题解析：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）△A2B2C2即为所求．

考点：1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．

19．7

【分析】

过点A作AE⊥BC于点E，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．

【详解】

如图,过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=20，BC=32，

∴BE=CE=16，

在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE=，

设BD=x，则DE=16﹣x，DC=32﹣x，

又DA⊥CA，

在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：，

代入为：，

整理得：

解得：．

即BD=7．

【点睛】

本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理，列出等式．

20．（1）；（2）．

【分析】

（1）．确定A、C的新坐标， 过点、的直线解析式为：y=kx+b，

A、C两点坐标代入得解之即可，

（2）将矩形折叠，使点与点重合，是折痕，证出△OEF为等腰三角形，

设AE=x,则OE=2-x，在Rt在Rt△OAE C中,由勾股定理，

，求出x，折叠后重叠部分的面积S=求之即可．

【详解】

（1）．A点坐标为（2，0），C坐标为（0，1），

过点、的直线解析式为：y=kx+b，

A、C两点坐标代入得，

解得，

，

（2）将矩形折叠，使点与点重合，是折痕，则∠CEF=∠AEF，

∵BC∥AO，

∴∠CFE=∠AEF，

∴∠CEF=∠CFE，

CE=CF，

设AE=x,则OE=2-x，

在Rt在Rt△OAE C中,由勾股定理，

，

解得，

过E作EG⊥BC于G，则四边形OEGC为矩形，EG=OC=1，

折叠后重叠部分的面积S=．

【点睛】

本题考查直线的解析式，和折叠后重叠部分面积问题，掌握直线由两点确定，确定两点坐标，用待定系数法，掌握折叠图形的性质，会用折叠证出等腰三角形，利用勾股定理求出要长是解题关键．

21．（1）；（2）登山6.5分钟时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．

【分析】

（1）由C、D点坐标，用待定系数法即可求出甲距地面高度和时间之间的函数关系式；

（2）乙提速后的速度为30米/秒，把A、B点坐标代入速度公式求得B点横坐标，再由A、B点坐标用待定系数法求出直线AB的函数关系式，结合直线CD的函数解析式，组成方程组即可求出交点的坐标，交点横坐标即是乙追上甲的时间，纵坐标减去A的纵坐标即是此时乙距A地的高度．

【详解】

解：（1）设

当时，，得

当时，，得

∴；

（2）乙提速后速度为（米/秒）

由，得

设乙提速后与x的函数关系式

把，代入得

解得

∴乙提速后与x的函数关系式

由

解得

165-30=135（米）

答：登山6.5分钟时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象的信息．

22．（1）（-1，0）或（9，0）；（２）（0，-）．

【分析】

（1）先由勾股定理求出AB的长，然后以B为圆心，AB长为半径在x轴上截取两点C1、C2，△ABC1是等腰三角形，AB=BC1=5，OC1=BC1-OB即可求C1坐标，△ABC2是等腰三角形，AB=BC2=5，OC2=BC2+OB即可求 C1坐标，

（2）设OD=x，在Rt△BOD中由勾股定理BD2=OB2+OD2=16+x2，由，AD=3+x,由勾股定理AD2=AB2+BD2，求出x即可．

【详解】

（1）平面直角坐标系中，点和，

OA=3，OB=4，∠AOB=90 º，

在Rt△AOB中，由勾股定理AB= ，

以B为圆心，AB长为半径在x轴上截取两点C1、C2，

△ABC1是等腰三角形，AB=BC1=5，OC1=BC1-OB=5-4=1，则C1坐标为（-1，0），

△ABC2是等腰三角形，AB=BC2=5，OC2=BC2+OB=5+4=9，则C1坐标为（9，0），

则C点坐标为（-1，0）或（9，0），

（２）设OD=x，

∠BOD=90º，

在Rt△BOD中BD2=OB2+OD2=16+x2，

由，

AD=3+x，

由勾股定理AD2=AB2+BD2，

，

解这个方程得，

则D点的坐标为（0，-）．

【点睛】

本题考查等腰三角形的作法与坐标，和直角三角形的坐标问题，掌握图形的特征，利用做题找到满足条件的点，利用线段的和差与勾股定理是解题关键．

23．（1）5，1；（2）存在，6；（3）存在最大值，．

【分析】

（1）根据三角形的三边关系定理、线段的和差即可得；

（2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得；

（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得．

【详解】

（1）由题意，分以下两种情况：

①当点不在同一条直线上时，

由三角形的三边关系定理得：，

，即；

②当点在同一直线上时，

点B在点的中间时，则，

点C在点的中间时，则，

综上，线段AC的取值范围为，

则线段最大值是5，最小值是1，

故答案为：5，1；

（2）存在，求解过程如下：

如图，连接AC，将绕点C逆时针旋转，点A的对应点为点E，连接AE、BE、CE，

，

旋转后点D的对应点为点B，

由旋转的性质得：，

是等边三角形，

，

①当点不在同一条直线上时，

，即，

；

②当点在同一条直线上时，

，

，

综上，当点在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为6；

（3）如图，将绕点B逆时针旋转，点E的对应点为点F，连接EF、BF、CF，

四边形ABCD是正方形，

，

旋转后点A的对应点为点C，

由旋转的性质得：，

在中，，

①当点不在同一条直线上时，

，

，即；

②当点在同一条直线上时，

，

综上，当点在同一条直线上时，有最大值，最大值为．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理、旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用旋转的性质作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键．