考点05 一元二次方程-数学考点一遍过学案

这是一份考点05 一元二次方程-数学考点一遍过学案，共31页。学案主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，利用一元二次方程解决实际问题等内容，欢迎下载使用。

考点05 一元二次方程

一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式
（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；
（2）一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；
②必须只含有一个未知数；
③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
适合于或形式的方程．
2．配方法
（1）化二次项系数为1；
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；
（3）求出的值；
（4）将的值代入即可．
4．因式分解法
基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式
一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系
对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系
（1）利润=售价－成本．
（2）利润率=×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3

考向一 一元二次方程的概念
一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．

典例1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】可变形为：，
∴二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：，
故选D．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义.

1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A．（是实数） B．
C． D．
考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：

典例2 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______________．
【答案】或
【解析】因为是关于的一元二次方程的一个根，
所以，即，整理得，
解得，．故的值是或．
典例3 用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即．
故选B．

2．一元二次方程的解是_______________．
3．方程的根是_______________．
考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程，，
①若，方程有两个不相等的实数根；
②若，方程有两个相等的实数根；
③若，方程没有实数根．

典例4 【四川省成都市部分学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】对于方程，因为a=1，b=－7，c=－1，所以Δ=（–7）2–4×1×（–1）=53>0，所以方程有两个不相等的实数根.故选A.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的个数的关系是关键.
典例5 有两个一元二次方程：①，②，其中，以下四个结论中，错误的是
A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根
B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是
C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根
D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异
【答案】B
【解析】选项A，，，，所以A正确；
选项B，因为将分别代入方程，值相等，结合，可知B不正确；
选项C，因为，，即，故C正确；
选项D，由根与系数关系可知D正确．
故选B．

4．下列方程中，没有实数根的是
A． B．
C． D．
5．【安徽省芜湖市部分学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．






考向四 根与系数关系
设一元二次方程的两根分别为，，则，．

典例6 若是方程的一个根，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由根与系数的关系可得另一个根为，所以.
故选A．
典例7 如果，是一元二次方程的两个实根，那么_______________．
【答案】
【解析】由根与系数关系，可得，，
则．

6．若方程的两根是，，则的值为_______________．
7．关于的方程的两个根是和，则的值为
A．　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
考向五 一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．

典例8 【山东省滨州市博兴县2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】某地区2018年投入教育经费万元，预计2020年投入万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，由题意可列方程为_________．
【答案】
【解析】由题意得，故答案为.
【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率问题的方程形式是关键.
典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程是_______________．
【答案】
【解析】由题意可得．

8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是
A．20% B．25%
C．50% D．62.5%
9．【湖北省孝感市云梦县2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．

（1）无盖方盒盒底的长为__________dm，宽为__________dm（用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．




1．关于的一元二次方程（a2–1）2–3x+a2+3a–4=0的一个根为0，则的值是
A． B．
C．4或 D．或
2．方程2=的根是
A．1 B．±1
C．0和1 D．0
3．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是
A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1
C．k≥2 D．k≤﹣2
4．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24=0，下列变形结果，正确的是
A．（x﹣4）2=8 B．（x﹣4）2=40
C．（x﹣8）2=8 D．（x﹣8）2=40
5．同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为
A．x（x–1）=45 B．x（x–1）=
C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=45
6．制造某种产品成本100元，计划经过两年成本降低为64元，则平均每年降低
A．18% B．20%
C．36% D．以上答案均错
7．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为

A．11 B．12
C．20 D．24
8．已知是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则的值是
A．2023 B．2021
C．2020 D．2019
9．若关于x的方程的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长，则m的值为
A．24 B．15
C．15或24 D．无解
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
12．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为
A． B．
C． D．或
13．如果是方程的一个根，则此方程的另一根为
A． B．
C． D．
14．设，是方程的两根，则代数式的值是
A． B．
C． D．
15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则
A． B．
C． D．
16．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为
A． B．
C． D．
17．2018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为
A．10% B．8%
C．1.21% D．12.1%
18．已知一次函数y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的情况是

A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个根是0
19．用配方法解方程x2+6x﹣5=0时，应该变形为_______________．
20．【江苏省常州市常州市新北区实验学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】关于x的方程是一元二次方程，则a=_________．
21．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______________．
22．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有人，则可列方程_______________．
23．若x=﹣1是方程x2+px+q=0的解，则p﹣q的值是_____．
24．方程的两根为，，则=______．
25．设，是方程的两实数根，则_______________．
26．解下列方程：
（1）；




（2）；




（3）．





27．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．





28．已知，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果为非负整数，且该方程的根都是整数，求的值.






29．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程的解为________________________；
②方程的解为________________________；
③方程的解为________________________；
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程的解为________________________；
②关于的方程________________________的解为，．
（3）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．








30．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的，求小路的宽．








31．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．







32．【江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】赣州蓉江新区某汽车销售公司去年12月份销售新上市一种新型低能耗汽车200辆，由于该型汽车优越的经济适用性，销量快速上升，今年2月份该公司销售该型汽车达到450辆，并且去年12月到今年1月和今年1月到2月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；
（2）若该型汽车每辆的盈利为5万元，则平均每天可售8辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利48万元，每辆车需降价多少？









1．（2019•河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情况是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．（2019•黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为

A．（30–x）（20–x）=×20×30 B．（30–2x）（20–x）=×20×30
C．30x+2×20x=×20×30 D．（30–2x）（20–x）=×20×30
4．（2019•河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
5．（2019•新疆）若关于x的一元二次方程（k–1）x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是
A．k≤ B．k＞ C．k<且k≠1 D．k≤且k≠1
6．（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A．x（x–1）=36 B．x（x+1）=36
C．x（x–1）=36 D．x（x+1）=36
7．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x1≠x2 B．x12–2x1=0
C．x1+x2=2 D．x1•x2=2
8．（2019•江西）设x1，x2是一元二次方程x2–x–1=0的两根，则x1+x2+x1x2=__________．
9．（2019•山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________．

10．（2019•安徽）解方程：（x–1）2=4．





11．（2019•呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x–6）=16的实数根．






12．（2019•北京）关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．




13．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．






变式拓展

1．【答案】D
【解析】A、错误，当a=0时，是一元一次方程；
B、两边去括号后会抵消变成一元一次方程；
C、错误，是分式方程；
D、正确，符合一元二次方程的定义．
故选D．
【名师点睛】一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．【答案】，
【解析】方法一：方程中，
则，所以，．
方法二：方程可化为，则或，解得，．
3．【答案】，
【解析】，即，即，即或，解得，．
4．【答案】B
【解析】A、，所以方程有两个不相等的实数根；
B、，方程没有实数根；
C、，所以方程有两个不相等的实数根；
D、，所以方程有两个不相等的实数根．
故选B.
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的定理是关键.
5．【解析】（1）依题意，得Δ＝（k+1）2–4k＝（k–1）2，
∵（k–1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由求根公式，得x1＝–1，x2＝–k，
∵方程有一个根是正数，
∴–k>0，
∴k<0．
【名师点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
6．【答案】5
【解析】根据题意得，，所以．
7．【答案】C
【解析】因为关于的方程的两个根是和，所以，，所以，，所以．
故选C．
8．【答案】C
【解析】设该店销售额平均每月的增长率为，则二月份销售额为万元，三月份销售额为万元，由题意可得，解得，（舍去），故该店销售额平均每月的增长率为50%.
故选C．
9．【答案】（1）（12–2x）；（6–2x）；（2）剪去的正方形的边长为1dm．
【解析】（1）无盖方盒盒底的长为（12–2x）dm，宽为（6–2x）．
故答案为：（12–2x）；（6–2x）．
（2）依题意得：（12–2x）（6–2x）＝40，
整理得：x2–9x+8＝0，
解得x1＝1，x2＝8（应小于纸板的宽，故舍去）．
答：剪去的正方形的边长为1dm．
【名师点睛】此题考查的是根据实际问题列代数式及方程，根据前后图形的关系用第一个图形的数据表示第二个图形的长度是解决此题的关键.
考点冲关

1．【答案】A
【解析】根据题意知，是关于x的一元二次方程的根，∴，解得或，又∵，∴，
∴；故选A.
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程，和一元二次方程的根，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法.
2．【答案】C
【解析】平方根是本身的数只有0和1，故选C.
【名师点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法.
3．【答案】B
【解析】根据题意得k+1≠0且△=22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1.
故选B.
【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2–4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
4．【答案】D
【解析】x2﹣16x+24=0，x2﹣16x+64=﹣24+64，（x﹣8）2=40，故选D．
【名师点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方．
5．【答案】C
【解析】由题意列方程得：x（x﹣1）=45．故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准相等关系是解答本题的关键．
6．【答案】B
【解析】设平均每年降低x．由题意100（1–x%）2=64，∴x=20，故选B．
【名师点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然后根据现在的成本可列方程求解.
7．【答案】B
【解析】设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∵图1中的重叠部分为正方形，且它的面积为4，
∴重叠部分的边长为2，
∴，
整理得：①，
图2中阴影部分可以用大正方形的面积减去两个小正方形的面积加上两个小正方形重叠部分的面积，其
中：由下图可知两个小正方形重叠部分的边长为：，

∴②，
将①代入②中，并整理得：
解得：（不符合实际，舍去），
此时.
∵图3中阴影部分的长为，宽为，
∴图3中两个小正方形重叠部分的面积为，
故选B.
【名师点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
8．【答案】A
【解析】∵m，n是方程x2＋x−3=0的两个实数根，∴n=3−n2，m＋n=−1，mn=−3，
∴，故选A．
【名师点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
9．【答案】B
【解析】依题意得：x−4=0或x2−8x＋m=0，
∴x=4，x2−8x＋m=0，
设x2−8x＋m的两根为a、b，
∴（−8）2−4m>0，a＋b=8，ab=m，
∴m<16，
分情况讨论：
①4为斜边时，a2＋b2=42，
∴（a＋b）2−2ab=42，即82−2m=42，
解得：m=24（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，42＋b2=a2，
∴42＋（8–a）2=a2，
解得：a=5，
∴b=8–5=3，
∴m=ab=15，
故选B．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键．
10．【答案】A
【解析】由题可得，解得．
故选A．
11．【答案】B
【解析】因为点在第二象限，所以，，所以，所以，所以方程有两个不相等的实数根．
故选B．
12．【答案】B
【解析】设方程的两根为，，根据题意得，所以，解得或，
当时，方程化为，显然无解，所以的值为0．
故选B．
13．【答案】B
【解析】由根与系数关系，可得，有一个根是，则另一个根是．故选B．
【名师点睛】一元二次方程根与系数的关系：，．
故选B．
14．【答案】A
【解析】由根与系数关系，可得，，则．
故选A．
15．【答案】A
【解析】由根与系数关系可得，，解得，．所以 ．
故选A．
16．【答案】D
【解析】由根与系数的关系可得，，所以.
故选D．
17．【答案】A
【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为x，
依题意可得，解得，(舍去)．
即该市这两年该项投入的平均增长率为10%．
故选A．
18．【答案】A
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0，
∴△=(−2)2−4（kb+1）=−4kb>0，
∴方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根.
故选A．
【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
19．【答案】（x+3）2=14
【解析】方程移项得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14.
【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
20．【答案】3
【解析】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴a2–2a–1=2且a+1≠0，解得：a=3．故答案为：3．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的概念和解法，熟记概念是解决此题的关键，注意二次项系数不能为0．
21．【答案】
【解析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得．
22．【答案】
【解析】参加聚会的有人，每个人都要握手次，可列方程：．
23．【答案】1
【解析】∵x=﹣1是方程x2+px+q=0的解，∴1﹣p+q=0，∴p﹣q=1．
故答案为：1．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等，难度不大．
24．【答案】
【解析】∵方程的两根为，，
∴，，
∴.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握根与系数的关系
是解题关键.
25．【答案】
【解析】方程可化为，因为，是方程的两实数根，所以，，所以，，所以．
26．【答案】（1）；（2）；（3），．
【解析】（1），开平方可得，即，
所以方程的解为．
（2）由，可得，，
所以，
所以方程的解为．
（3），即，即，
即，解得，，
所以方程的解为，．
【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用．
27．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，
所以方程总有两个实数根．
（2）因为，
所以，，
因为方程总有一根小于1，
所以，即．
故的取值范围为．
【思路分析】（1）由方程根的判别式即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为的形式，解出两根即可．
28．【解析】（1）根据题意得：，
解得：.
故的取值范围为；
（2）由（1）得：，
为非负整数，或，
把代入原方程得：，
解得：，，
不合题意，舍去；
把代入原方程得：，
解得：，.
故的值是.
【名师点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．
29．【答案】（1）①，，②，，③，；
（2）①，，②；（3），，猜想结论正确．
【解析】（1）①，；②，；③，．
（2）①，；②．
（3），即，即，即，
所以，
所以，．
故猜想结论正确．
30．【答案】小路的宽为2米．
【解析】设小路的宽为x米，
由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=×40×50，
解得x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的”，建立方程求解即可得出结论．
31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）设经过x秒以后△PBQ的面积为6 cm2，
则×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8 cm2，则
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
因为△=25﹣32=﹣7＜0，
所以此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8 cm2．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6 cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6 cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm2．
32．【解析】（1）设该公司销售该型汽车每次的增长率为x，
根据题意列方程：，
解得：（不合题意，舍去），．
答：该公司销售该型每次增长率为50%．
（2）设每辆车需降价y万元，日销售量为：辆.
根据题意得：，
解得：y1=1，y2=2．
因题意要尽快减少库存，∴y=2．
答：每辆车需降价2万元．
【名师点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
直通中考

1．【答案】A
【解析】原方程可化为：x2–2x–4=0，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A．
2．【答案】
【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据题意，得：1+x+x2=43，解得：x1=–7（舍去），x2=6．故选C．
3．【答案】D
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D．
【名师点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
4．【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1，
∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
5．【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程（k–1）x2+x+1=0有两个实数根，∴，
解得：k≤且k≠1．故选D．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
6．【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x–1）=36，故选A．
【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
7．【答案】D
【解析】∵Δ=（–2）2–4×1×0=4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2–2x=0的实数根，∴x12–2x1=0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1•x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选D．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
8．【答案】0
【解析】∵x1、x2是方程x2–x–1=0的两根，∴x1+x2=1，x1x2=–1，∴x1+x2+x1x2=1–1=0．故答案为：0．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=–，x1•x2=．
9．【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
10．【答案】x1=3，x2=–1．
【解析】两边直接开平方得：x–1=±2，
∴x–1=2或x–1=–2，
解得：x1=3，x2=–1．
【名师点睛】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
11．【答案】x1=，x2=．
【解析】原方程化为一般形式为2x2–9x–34=0，
x2–x=17，
x2–x+=17+，
（x–）2=，
x–=±，
所以x1=，x2=．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．【答案】x1=x2=1．
【解析】∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，
∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，
∴x2–2x+1=0，
则（x–1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
13．【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．