2020-2021学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列事件中，是确定性事件的是（　　）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C．投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），向上一面的点数大于3
D．任意画一个三角形，其外角和是360°
3．（4分）将点（3，1）绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，3）
4．（4分）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（　　）
A．12 B．6 C．6 D．3
5．（4分）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，下列叙述中正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．函数有最小值
D．当x＞﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小
7．（4分）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
8．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，CG＝2，CE＝6，则（　　）

A． B． C． D．4
9．（4分）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元（　　）
A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680
B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680
C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680
D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680
10．（4分）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若⊙O的半径为2，则270°的圆心角所对的弧长是　 　．
12．（4分）若x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个解，则m的值是　 　．
13．（4分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是　 　．
14．（4分）如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点P放在以AB为直径的半圆O上，∠P的两边分别交半圆O于B，若AB＝2，则BQ的长是　 　．

15．（4分）《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方向的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率是　 　．

16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ADC＝120°，点E，AB上运动，且满足BF＝，连接BE，CFBE的最小值是 　 　．

三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，求证：直线l是⊙O的切线．

19．（8分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）（x﹣4）2+3．如图，A，B是该函数图象上的两点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）请判断铅球推出的距离能否达到11m，并说明理由．

20．（8分）为发展学生多元能力，某校九年级开设A，B，C，D四门校本选修课程，图2是九年（1）班学生A，B，C，解答下列问题．

（1）求九年（1）班学生的总人数及该班选报A课程的学生人数；
（2）在统计的信息中，我们发现九年（1）班的甲同学和乙同学选报了A课程，求甲，乙同时被抽中的概率．
21．（8分）如图，点D是等边三角形ABC内一点，连接DA，将△DAC绕点A顺时针旋转60°，点D的对应点为E．
（1）画出旋转后的图形；
（2）当C，D，E三点共线时，求∠BEC的度数．

22．（10分）如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数y＝，B两点，若OC＝2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

23．（10分）如图，AB＝AC，作△ADC，D在AC异侧，且AD＝CD，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若AB2＝2CF•AD，试判断△ACF的形状，并说明理由．

24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E是上一点，连接AE，BE．
（1）若AD＝5，BE＝6，求DE的长；
（2）若＝，且DE＝8，CD＝9.6，求

25．（14分）如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点（0，6），∠BAO＝45°．过A，B两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，且点C的横坐标为1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当＝时，求点D的坐标；
（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，若满足条件的点P有两个，且这两点间的距离为1


2020-2021学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
故选：B．
2．（4分）下列事件中，是确定性事件的是（　　）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C．投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），向上一面的点数大于3
D．任意画一个三角形，其外角和是360°
【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，故A不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，故B不符合题意；
C、投掷一枚骰子（六个面分别刻有1到6的点数），故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）将点（3，1）绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，3）
【解答】解：如图，

由图象法可知B（1，﹣3）．
故选：B．
4．（4分）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（　　）
A．12 B．6 C．6 D．3
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是2，
∴⊙O的半径为1，
∴正六边形ABCDEF的边长为8，
∴正六边形ABCDEF的周长是：1×6＝8；
故选：C．

5．（4分）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意有：s＝v•t，
故s与t之间是正比例函数，其图象在第一象限．
故选：C．
6．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，下列叙述中正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．函数有最小值
D．当x＞﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∴函数有最大值，故C错误；
∵y＝﹣x6﹣2x+3＝﹣（x+2）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣8，故B错误；
∴当x＞﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小；
故选：D．
7．（4分）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且Δ＞7，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围是：m＞﹣1且m≠7．
故选：B．
8．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，CG＝2，CE＝6，则（　　）

A． B． C． D．4
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝．
故选：C．
9．（4分）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元（　　）
A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680
B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680
C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680
D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680
【解答】解：设售价应涨价x元，则：
（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680，
故选：A．
10．（4分）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x7、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x6）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移2个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），

从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若⊙O的半径为2，则270°的圆心角所对的弧长是　3π　．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，圆心角是270°，
∴所对的弧长为＝3π，
故答案为：3π．
12．（4分）若x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个解，则m的值是　3　．
【解答】解：依题意，得22+2﹣2m＝0，
解得：m＝5，
故答案为：3．
13．（4分）已知反比例函数y＝，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是　﹣4＜y＜﹣　．
【解答】解：
在反比例函数y＝中，k＝4＞8，
∴函数图象在第一、三象限，
当﹣3＜x＜﹣1时，函数图象在第三象限，
当x＝﹣4时，y＝﹣，y＝﹣3，
∴﹣4＜y＜﹣，
故答案为：﹣4＜y＜﹣．
14．（4分）如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点P放在以AB为直径的半圆O上，∠P的两边分别交半圆O于B，若AB＝2，则BQ的长是　　．

【解答】解：如图，连接OQ．

∵∠BOQ＝2∠BPQ＝90°，
又∵OB＝OQ＝1，
∴BQ＝＝，
故答案为：．
15．（4分）《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方向的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率是　　．

【解答】解：从八卦中任取一卦，共有8种等可能结果，这一卦中恰有1根“”和2根“”的有3种结果，
∴从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和5根“”的概率为，
故答案为：．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ADC＝120°，点E，AB上运动，且满足BF＝，连接BE，CFBE的最小值是 　6　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝120°，AB＝CD＝2，
如图，连接CE，

∴BF＝DE，
∴＝，＝＝，
∴，
∴△FBC∽△EDC，
∴＝，
∴CF＝CE，
∴CF+BE＝BE＝，
要求CF+BE最小值，
∴作B关于AD的对称点B'，连接B'C交AD于E，此时CE+BE最小，
∴CE+BE最小值为CB'，
∵∠ADC＝120°，
∴∠A＝60°，∠ABM＝30°，
∴AM＝AB＝，
∴BM＝＝2，
∴BB'＝2BM＝6，
∵B'C8＝B'B2+BC2，
∴B'C＝4，
∴CE+BE最小值为6，
即CF+BE最小值为6．
故答案为：6．
三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2
∴b4﹣4ac＝4﹣6×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣3x﹣1＝0，
则x5﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝4，
开方得：，
∴，．
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，求证：直线l是⊙O的切线．

【解答】证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
又∵l⊥AD，即∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥l，
∴l是圆O的切线．
19．（8分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）（x﹣4）2+3．如图，A，B是该函数图象上的两点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）请判断铅球推出的距离能否达到11m，并说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝﹣（x﹣4）4+3，
∴抛物线的顶点B的坐标为（4，8），
对称轴为直线x＝4，
当x＝0时，y＝﹣2+3＝﹣×16+3＝，
∴点A坐标为（0，），
点A关于对称轴的对称点C（8，）也在抛物线上，
当y＝0时，﹣（x﹣3）2+3＝6，
解得：x1＝10，x2＝﹣4，
∴抛物线与x轴正半轴的交点为（10，0），
函数的大致图象如图所示，

（2）不能，理由：
令y＝0时，﹣（x﹣4）2+7＝0，
即（x﹣4）3＝36，
解得：x1＝10，x2＝﹣3（舍去），
∵10＜11，
∴铅球推出的距离不能达到11m．
20．（8分）为发展学生多元能力，某校九年级开设A，B，C，D四门校本选修课程，图2是九年（1）班学生A，B，C，解答下列问题．

（1）求九年（1）班学生的总人数及该班选报A课程的学生人数；
（2）在统计的信息中，我们发现九年（1）班的甲同学和乙同学选报了A课程，求甲，乙同时被抽中的概率．
【解答】解：（1）九年（1）班学生的总人数有：16÷40%＝40（人），
该班选报A课程的学生人数有40×10%＝4（人）．

（2）选报A课程其它两名同学分别用丙、丁表示

共有12种等可能的结果数，其中甲，
所以甲、乙两名学生同时被选中的概率＝．
21．（8分）如图，点D是等边三角形ABC内一点，连接DA，将△DAC绕点A顺时针旋转60°，点D的对应点为E．
（1）画出旋转后的图形；
（2）当C，D，E三点共线时，求∠BEC的度数．

【解答】解：（1）旋转后的图形如图所示：

（2）∵AE＝AD,∠EAD＝60°,
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°,
∴∠ADC＝∠AEB＝120°,
∴∠BEC＝∠AED＝60°．
22．（10分）如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数y＝，B两点，若OC＝2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵OC＝2，
∴C（0，5），
∴y＝x+2，
∵点B的纵坐标为3，
∴8＝x+2得x＝1，
∴B（8，3），
把B（1，6）代入反比例函数y＝，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由得或，
∴A（﹣3，﹣3），3），
而C（0，7），
∴S△AOC＝OC•|xA|＝×2×6＝3，
S△BOC＝OC•|xB|＝×5×1＝1，
∴S△AOB＝8．
23．（10分）如图，AB＝AC，作△ADC，D在AC异侧，且AD＝CD，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若AB2＝2CF•AD，试判断△ACF的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴＝，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC；
（2）解：△ACF是直角三角形，理由如下：
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，＝，
∵AB＝AC，
∴AB2＝BC•AD，
∵AB2＝2CF•AD，
∴BC＝2CF，
如图，取BC中点G，
∴BC＝2CG，
∵BC＝4CF，
∴CG＝CF，

∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
在△AGC和△AFC中，
，
∴△AGC≌△AFC（SAS），
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴△ACF是直角三角形．
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E是上一点，连接AE，BE．
（1）若AD＝5，BE＝6，求DE的长；
（2）若＝，且DE＝8，CD＝9.6，求

【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝5，
∴BD为直径，且BD＝，
∴∠BED＝90°，
在△Rt△BED中，由勾股定理得：
∴DE＝；
（2）连接CE，CO，并延长EO交CD于点G，

∵＝，
∴CE＝DE，
∵CO＝DO，
∴EG垂直平分CD，
∴CG＝CD＝8.8，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
EG＝，
设半径为R，
在Rt△COG中，R2＝2.82+（7.4﹣R）2，
解得R＝4，
∴BD＝10，
∴AD＝BD＝5，
则BE＝，
∵∠BFE＝∠AFD，∠BEF＝∠DAF，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴，
设EF＝7k，AF＝5kk，DF＝2﹣6k，
∵∠AFE＝∠DFB，∠ABD＝∠AED，
∴△AEF∽△DBF，
∴，
∵k＞0，
解得k＝，
∴AF＝，BF＝，
∴，
25．（14分）如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点（0，6），∠BAO＝45°．过A，B两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，且点C的横坐标为1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当＝时，求点D的坐标；
（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，若满足条件的点P有两个，且这两点间的距离为1

【解答】解：（1）∵B（0，6），
∴OB＝2，
∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝6，
∴A（6，4），
将A（6，0），2）代入解析得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣8x+6，
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+8；
（2）如图，过点E作EF⊥x轴于点F，

∴∠AFE＝90°＝∠AOB，
∴EF∥BO，∠AEF＝∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴＝，OA＝OB＝3，
∴OF＝OA＝8，0），
∴FA＝4，
∴EF＝OB＝4，4），
∵点C横坐标为1，并且在抛物线上，
∴将x＝1代入解析式可得，y＝7.5，
∴C（1，6.5），
∴由C（1，5.5），4）得直线CD的解析式为y＝，
将y＝x+1代入y＝x2﹣4x+2，得x5﹣4x+6＝x+1，
解得x2＝1，x2＝10，
∵C（2，2.5），
∴D的横坐标为10，
将x＝10代入y＝x+1得y＝16，
∴D点的坐标为（10，16），
故点D的坐标为（10，16）；
（3）由（2）的C（6，2.5），
设D（xD，yD），P（t，
由题意可知，点D在点C的上方，
∴5＜t＜xD，
如图，分别过点C，I，

∴∠CHI＝∠DIH＝90°，
∴∠HCP+∠HPC＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠IPD+∠HPC＝90°，
∴∠IPD＝∠HCP，
∴△HCP∽△IPD，
∴，
∴，（t﹣1）（xD﹣t）＝2.7yD①，
将点C（1，2.7）代入y＝kx+m中，
∴直线CD的解析式为y＝k（x﹣1）+2.3，
将y＝k（x﹣1）+2.7代入y＝x6﹣4x+6，
整理可得x6﹣（2k+8）x+8k+7＝0，
解得xC＝5，xD＝2k+7，
∴D（8k+7，2k4+6k+2.6），
将D（2k+7，2k2+6k+6.5）代入①，
整理可得t2﹣（7k+8）t+5t6+17k+＝0，
Δ＝﹣16k2﹣36k+11，
因为满足条件的点P有两个，可设P点横坐标分别为t1，t2，且t2＜t2，
根据韦达定理可知t1+t7＝2k+8，t4t2＝5k7+17k+，
由题意得t2﹣t2＝1，
∴（t2﹣t7）2＝（t1+t6）2﹣4t2t2，
化简得8k6+18k﹣5＝0．
解得k8＝，k3＝＜4（舍去），
当k＝，Δ＝﹣16k8﹣36k+11＞0，满足条件，
所以直线CD的解析式为y＝x+，
故直线CD的解析式为y＝x+．
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日期：2021/12/10 14:32:05；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124