2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列事件是必然事件的是　　

A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 

B．打开电视频道，正在播放新闻 

C．射击运动员射击一次，命中十环 

D．方程有实数根

3．（3分）已知点是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为　　

A． B． C． D．

4．（3分）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是　　

A． B． C． D．

5．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，正三角形内接于圆，动点在圆周的劣弧上，且不与，重合，则等于　　

A． B． C． D．

8．（3分）在平面直角坐标系中，为双曲线上一点，点的坐标为．若的面积为6，则点的坐标为　　

A． B． 

C．或 D．或

9．（3分）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为　　

A． B． C． D．2

10．（3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：

①；②；③；④；⑤的实数）．

其中正确的结论有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11．（3分）若点与点关于原点对称，则　　．

12．（3分）如图，在中，，，，则的长是　　．

13．（3分）将二次函数化成的形式，则　　．

14．（3分）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的坐标是，则点的坐标是　　．

15．（3分）如图，弦的长等于的半径，那么弦所对的圆周角的度数是　　．

16．（3分）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 　　．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

请画出绕点逆时针旋转后的△．（不要求写作法）

18．（4分）如图，已知，，求证：．

19．（6分）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．

（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为2，轴于点，连接．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请直接写出点的坐标．

21．（8分）如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，为半径的与相交于点

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

22．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加元．

（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？

（2）用含的代数式表示商店获得的利润元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？

23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例为常数，且的图象交于，两点．

（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；

（2）①在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标；

②在轴上找一点，使的值为最大，直接写出点的坐标．

24．（12分）已知内接于，的平分线交于点，连接，．

（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式　　；

（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若，，求的值（用含，的式子表示）．

25．（12分）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；

（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．

2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是　　

A． B． C． D．

【解答】解：两个相似三角形的面积比是，

两个相似三角形的相似比是，

两个相似三角形的周长比是，

故选：．

2．（3分）下列事件是必然事件的是　　

A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 

B．打开电视频道，正在播放新闻 

C．射击运动员射击一次，命中十环 

D．方程有实数根

【解答】解：、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件；

、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件；

、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件；

、方程的判别式△，则方程有实数根，是必然事件；

故选：．

3．（3分）已知点是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设反比例函数的解析式为，

点是反比例函数图象上的一 点，

，得，

反比例函数解析式为．

故选：．

4．（3分）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，

其中摸出的球是白球的结果有5种，

从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是，

故选：．

5．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，

对称轴为直线，

故选：．

6．（3分）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

绕点旋转到的位置，

，，

，

，

．

故选：．

7．（3分）如图，正三角形内接于圆，动点在圆周的劣弧上，且不与，重合，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：正三角形，

，

．

故选：．

8．（3分）在平面直角坐标系中，为双曲线上一点，点的坐标为．若的面积为6，则点的坐标为　　

A． B． 

C．或 D．或

【解答】解：设点的坐标为，，

点的坐标为．若的面积为6，

，

解得：，

点的坐标为，，．

故选：．

9．（3分）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：连接，作于，

则，

，，

，

，

，

故选：．

10．（3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：

①；②；③；④；⑤的实数）．

其中正确的结论有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：开口向下，；对称轴在轴的右侧，、异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方，，则，所以①不正确；

当时图象在轴上，则，即，所以②不正确；

对称轴为直线，则时图象在轴上方，则，所以③正确；

，则，而，则，，所以④不正确；

开口向下，当，有最大值；当时，，则，即，所以⑤正确．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11．（3分）若点与点关于原点对称，则　　．

【解答】解：点与点关于原点对称，

，，

，

故答案为：．

12．（3分）如图，在中，，，，则的长是　18　．

【解答】解：，

，

即，

．

故答案为：18．

13．（3分）将二次函数化成的形式，则　　．

【解答】解：，

，

，

．

故答案为：．

14．（3分）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的坐标是，则点的坐标是　　．

【解答】解：正比例函数与反比例函数的两交点、关于原点对称，

点关于原点对称点的坐标为．

故答案为．

15．（3分）如图，弦的长等于的半径，那么弦所对的圆周角的度数是　或　．

【解答】解：在优弧上取点，连接，，在劣弧上取点，连接，，

弦的长等于的半径，

是等边三角形，

，

，

，

弦所对的圆周角的度数是：或．

故答案为：或．

16．（3分）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 　2　．

【解答】解：，

，

，

，

点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，

在中，，，，

，

．

最小值为2．

故答案为2．

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

请画出绕点逆时针旋转后的△．（不要求写作法）

【解答】解：如图，△即为所求．

18．（4分）如图，已知，，求证：．

【解答】证明：，

，

即，

，

．

19．（6分）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．

（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：

由树形图可知三次传球有8种等可能结果；

（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率；传到乙脚下的概率，

所以球回到乙脚下的概率大．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为2，轴于点，连接．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）点的横坐标为2，轴于点，

在正比例函数中，当时，

将代入反比例函数，可得

，即

反比例函数的解析式为；

（2），

，

、关于原点对称，

点坐标为，

到的距离为4，

，

，

设点坐标为，则到的距离为，

，

解得或，

点坐标为或．

21．（8分）如图，在中，，是角平分线，以点为圆心，为半径的与相交于点

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【解答】（1）证明：过点作于点，

，平分，

．

是的半径，，

是的切线；

（2）解：．

与相切，

是的切线，

．

，，

，．

在中，

设，则

，

解得：．

．

22．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加元．

（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？

（2）用含的代数式表示商店获得的利润元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？

【解答】解：（1）根据题意得：，

解得：，，

当时，，

当时，，

要使进货量较少，则每个定价为元，应进货200个．

答：每个定价为70元，应进货200个．

（2）根据题意得：，

当时，有最大值为6250．

所以每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．

23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例为常数，且的图象交于，两点．

（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；

（2）①在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标；

②在轴上找一点，使的值为最大，直接写出点的坐标．

【解答】（1）把点代入一次函数，得，

，

把点代入反比例，得，

反比例函数的表达式，

解得或，

故．

（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小

设直线的解析式为，则，解得，

直线的解析式为，令，则，

点坐标为，；

（3）直线与轴的交点即为点，此时的值为最大，

令，则，

点的坐标为．

24．（12分）已知内接于，的平分线交于点，连接，．

（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式　　；

（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若，，求的值（用含，的式子表示）．

【解答】解：（1）如图①在上截取，连接，

，的平分线交于点，

，，

和都是等边三角形，

，

，

又，，

，

，

；

故答案为：．

（2）．理由如下：

如图②，延长至点，使，连接，

四边形内接于，

，

，

，

，

，，

．

，即，

；

（3）如图③，延长至点，使，连接，

四边形内接于，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

又，，，

．

25．（12分）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；

（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．

【解答】解：（1）抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，

点，点，

设直线解析式为：，

，

，

直线解析式为：①，

，

抛物线顶点坐标为，；

（2）点，点，

，，

，

则，则，

则为最大，

当点为抛物线顶点时，最大，

故点的坐标为，，

则的最大值为最大，最大值为；

（3）设平移后的抛物线解析式为②，

联立①②并整理得：，

设点，，点，，

直线与抛物线交于，两点，

，是方程的两根，

，

点是的中点，

，

，

，

平移后的抛物线解析式为．

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日期：2021/12/2 15:08:20；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125