2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）方程的解是　　

A． B． C． D．无实数根

2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）在下列各点中，抛物线经过点　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，点、、都在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图，把绕点逆时针旋转，得到，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．且

7．（3分）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是　　

A． B．函数的图象在第二、四象限 

C．函数图象经过点 D．当时，随的增大而减小

8．（3分）如图，已知中，，，，以点为圆心，3为半径作，则点与的位置关系是　　

A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定

9．（3分）如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是　　

A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 

C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关

10．（3分）如图，抛物线的对称轴为，且经过点．下列结论：

①；

②若和是抛物线上两点，则；

③；

④对于任意实数，均有．

其中正确的结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．（3分）点关于原点对称的点的坐标是　　．

12．（3分）抛物线与轴的交点个数是　　个．

13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为　　．

14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是　　．

15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是　　．

16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是　　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）解方程：．

18．（4分）如图，，是的切线，，为切点，连接．

求证：平分．

19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．

（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为　　；

（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．

（1）将绕点旋转后，得到△，画出△；

（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点经过的路径长（结果保留．

21．（8分）在二次函数，是常数）中，列表表示几组自变量与函数值的对应值：

（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向　　，对称轴为　　；

（2）求的值．

22．（10分）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．

（1）　　；

（2）若铁盒底面积是，求剪去的小正方形边长．

23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，直线轴，且与轴交于点，反比例函数的图象经过点和点．若经过点，且与轴交于，两点．

（1）求的值和点的坐标；

（2）判断与轴的位置关系，并说明理由．

24．（12分）（1）作图：如图，已知，，

①作等边，使得点，分别是直线异侧的两个点；

②作等边，使得点，分别是直线异侧的两个点；

（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．

（2）推理：在（1）所作的图中，设直线，的交点为，连接，

①求的度数；

②猜想，，与之间的等量关系，并证明：

（3）变式：已知，，按（1）的方法作图后，设直线，的交点为，连接．测得，，，．求点到直线的距离．

25．（12分）已知抛物线是常数）与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．顶点不在第二象限，记的面积为，的面积为．

（1）当时，求抛物线对应函数的解析式；

（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

（3）当取每一个确定的值时，把抛物线向右平移个单位后，得到函数的图象．当时，结合图象，求的最大值与最小值的平均数（用含的式子表示）．

2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）方程的解是　　

A． B． C． D．无实数根

【解答】解：，

，

，，

故选：．

2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：．

3．（3分）在下列各点中，抛物线经过点　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，；

所以抛物线经过点．

故选：．

4．（3分）如图，点、、都在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

5．（3分）如图，把绕点逆时针旋转，得到，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：绕点逆时针旋转得到，

，，，，

，

．

故选：．

6．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．且

【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，

，

解得且．

故选：．

7．（3分）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是　　

A． B．函数的图象在第二、四象限 

C．函数图象经过点 D．当时，随的增大而减小

【解答】解：、反比例函数的图象经过点，

，故本选项正确；

、，此函数图象的两个分支位于二四象限，故本选项正确；

、当时，，此函数图象过点，故本选项正确；

、，当时，随着的增大而增大，故本选项错误．

故选：．

8．（3分）如图，已知中，，，，以点为圆心，3为半径作，则点与的位置关系是　　

A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定

【解答】解：过点作于，

中，，，，

，

以点为圆心，3为半径作，

，

点在外．

故选：．

9．（3分）如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是　　

A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 

C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关

【解答】解：、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；

、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；

、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

故选：．

10．（3分）如图，抛物线的对称轴为，且经过点．下列结论：

①；

②若和是抛物线上两点，则；

③；

④对于任意实数，均有．

其中正确的结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：二次函数的图象开口向上，

，

二次函数的图象交轴的负半轴于一点，

，

对称轴是直线，

，

，

，故①正确；

关于直线的对称点的坐标是，

又当时，随的增大而增大，，

，故②错误；

抛物线的对称轴为，且过点，

抛物线与轴另一交点为．

当时，，故③错误；

当时，，，

，

抛物线的对称轴为直线，

当时，有最小值，

为任意实数），

，故④正确，

故结论正确有2个．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．（3分）点关于原点对称的点的坐标是　　．

【解答】解：根据两个点关于原点对称，

点关于原点对称的点的坐标是；

故答案为．

12．（3分）抛物线与轴的交点个数是　2　个．

【解答】解：令，

△，

抛物线与轴的交点个数是2．

故答案是：2．

13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为　12　．

【解答】解：正六边形的半径等于边长，

正六边形的边长，

正六边形的周长，

故答案为：12．

14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是　　．

【解答】解：扇形Ⅰ的圆心角：，

设圆的半径为，

则指针指向扇形Ⅰ的概率是：，

故答案为：．

15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是　　．

【解答】解：连接，

是边长为2的等边三角形，

，

扇形的弧长为，

圆锥的底面圆的半径是．

故答案为：．

16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是　　．

【解答】解：连接，如图，由题意可知为的斜边中线，

，

，

，，

点的运动轨迹为四个圆心分别在点，，，，半径为的四分之一圆，以及和上的一段线段．

长为，宽为的矩形花池的面积为．

种植年花的区域的面积是：．

故答案为：．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）解方程：．

【解答】解：，

，

，

，

所以，．

18．（4分）如图，，是的切线，，为切点，连接．

求证：平分．

【解答】证明：，是的切线，

，，

，

在和中，

，

，

，

即平分．

19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．

（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为　　；

（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．

【解答】解：（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为，

故答案为：；

（2）列表如下：

由表可知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的有7种结果，

所以两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．

（1）将绕点旋转后，得到△，画出△；

（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点经过的路径长（结果保留．

【解答】解：（1）如图，△即为所求；

（2），

点经过的路径长为．

21．（8分）在二次函数，是常数）中，列表表示几组自变量与函数值的对应值：

（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向　下　，对称轴为　　；

（2）求的值．

【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线；

故答案为：下，直线；

（2）把，，代入，得：，

解得：，

抛物线解析式为，

当时，；

当时，；

．

22．（10分）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．

（1）　　；

（2）若铁盒底面积是，求剪去的小正方形边长．

【解答】解：（1）设底面长为，宽为，正方形的边长为，根据题意得：

，

由②③得，解得，

故答案为：；

（2）根据题意，得

，

由，得

由①得，，

把代入②得，

再把和代入中，得

，

解得或（舍去）．

答：剪去的小正方形边长为．

23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，直线轴，且与轴交于点，反比例函数的图象经过点和点．若经过点，且与轴交于，两点．

（1）求的值和点的坐标；

（2）判断与轴的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，点的坐标为，

，

反比例函数的解析式为，

经过、点，

，

在的垂直平分线上，

直线轴，

，点的纵坐标为3，

把代入得，，则，

，

与轴交于，两点，

是的垂直平分线上的点，

；

（2）相离，理由如下：

，，

，

的半径为，

的横坐标为4，，

与轴相离．

24．（12分）（1）作图：如图，已知，，

①作等边，使得点，分别是直线异侧的两个点；

②作等边，使得点，分别是直线异侧的两个点；

（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．

（2）推理：在（1）所作的图中，设直线，的交点为，连接，

①求的度数；

②猜想，，与之间的等量关系，并证明：

（3）变式：已知，，按（1）的方法作图后，设直线，的交点为，连接．测得，，，．求点到直线的距离．

【解答】解：（1）如图1，

①则等边即为所求作的三角形；

②则等边即为所求作的三角形；

（2）①如图2，和都是等边三角形，

，，，

，

即，

，

，

，

；

②，理由是：

如图2，在上截取，

，，

，

，，

，

，即，

是等边三角形，

，

，

；

（3）如图3，过点作于，在上截取，连接，

由（2）同理得：，

，，

，，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

；

即点到直线的距离是．

25．（12分）已知抛物线是常数）与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．顶点不在第二象限，记的面积为，的面积为．

（1）当时，求抛物线对应函数的解析式；

（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

（3）当取每一个确定的值时，把抛物线向右平移个单位后，得到函数的图象．当时，结合图象，求的最大值与最小值的平均数（用含的式子表示）．

【解答】解：是常数）与轴交于，两点，

则令，解得或1，令，则，

故点、、的坐标分别为、、，

则抛物线的对称轴为直线，当时，，

故点的坐标为；

抛物线和轴有两个交点，且顶点不在第二象限，

则抛物线的顶点在第三象限，则，函数大致图象如下：

（1）由题意得：，

解得，

故抛物线的表达式为；

（2）是定值2，理由：

过点作轴于点，

则，

由（1）知，

故；

（3）抛物线向右平移个单位后，得到函数的图象，

根据平移的性质，，

由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线，

，

故在新抛物线对称轴的右侧．

①当时，即在的右侧，即，

当时，则，则抛物线在时取得最大值，

而在时取得最小值；

当时，，

当时，，

则的最大值与最小值的平均数；

②当时，

则此时，顶点的横坐标，

当时，取得最小值为，

当，即，

则当时，的最大值为0，

的最大值与最小值的平均数，

当，即，

当时，取得最大值，此时，

则的最大值与最小值的平均数；

即的最大值与最小值的平均数．

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日期：2021/12/2 15:07:37；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125