2020-2021学年湖北省武汉一中九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉一中九年级（上）期末数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，满分30分）

1．（3分）一元二次方程的解为　　

A． B． C．或 D． 且

2．（3分）下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

4．（3分）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

6．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　

A． B．且 C．且 D．

7．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，四边形中，，，，垂足是，若线段，则四边形的面积为　　

A．12 B．16 C．20 D．24

10．（3分）抛物线对称轴为，与轴的负半轴的交点坐标是，，且，它的部分图象如图所示，有下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11．（3分）函数中，自变量的取值范围是　　．

12．（3分）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为　　．

13．（3分）若关于的方程的一个根为2，则代数式的值为　　．

14．（3分）如图，、分别与相切于点、，直线与相切于点，分别交、于、，且，则的周长为　　．

15．（3分）已知的直径，是的弦，，垂足为点，且，则的长为　　．

16．（3分）在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为，水面宽，与轴交于点，，当水面上升时，水面宽为 　　．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点逆时针旋转后，得到正方形；；按此规律，绕点旋转得到正方形，则点的坐标为　　．

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18．（6分）计算：．

19．（10分）（1）请你用公式法解方程：；

（2）请你用因式分解法解方程：．

20．（8分）已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球．

（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率．

（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？

21．（9分）如图，在中，，点在边上，点在边上，以为半径的经过点，交于点，连接，且平分．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．

22．（10分）某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．

（1）请你直接写出日销售利润（元与售价（元千克）之间的函数关系式．

（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？

（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．

23．（12分）综合与实践

在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．

动手操作：

第一步：在图1中，测得三角形纸片中，，．

第二步：将图1中的纸片折叠，使点落在边上的点处，然后展平，得到折痕，连接、，如图2．

解决问题：

请根据图2完成下列问题：

（1）　　（请正确选择“”、“ ”、“ ”中的一个）；

（2）试判断的形状，并给予证明．

拓展探究：

（3）将图2中的纸片剪下来，在内选一点，连接、，，，如图3．

①将绕点顺时针旋转得到，连接，请你直接写出线段的长；

②将①中的绕点顺时针旋转的过程中，请你直接写出线段长的取值范围．

24．（14分）综合与探究

如图，已知点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；

（3）已知点在第四象限的抛物线上，过点作轴交线段于点，连接，若点，请直接写出的面积．

（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年湖北省武汉一中九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题3分，满分30分）

1．（3分）一元二次方程的解为　　

A． B． C．或 D． 且

【解答】解：方程移项得：，

分解因式得：，

解得：或，

故选：．

2．（3分）下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；

、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确；

、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选：．

3．（3分）把抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

【解答】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：；

再向下平移3个单位为：，即．

故选：．

4．（3分）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，得

点关于原点对称的点的坐标是，

故选：．

5．（3分）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【解答】解：圆心到直线的距离为，的半径为，

，

直线和圆相交．

故选：．

6．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　

A． B．且 C．且 D．

【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，

，

且．

故选：．

7．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：依题意得：．

故选：．

8．（3分）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，，

根据题意可知：

，

是等边三角形，

，

．

故选：．

9．（3分）如图，四边形中，，，，垂足是，若线段，则四边形的面积为　　

A．12 B．16 C．20 D．24

【解答】解：过点作交的延长线于点，如图，

，，

，

而，

四边形为矩形，

，

又，

，

在和中，

，

，

，，

四边形是边长为4的正方形，

，

故选：．

10．（3分）抛物线对称轴为，与轴的负半轴的交点坐标是，，且，它的部分图象如图所示，有下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为，且；

①函数对称轴在轴右侧，则，而，故，

故①正确；

②抛物线与轴有2个交点，

，

故②正确；

③时，，

，

故③正确；

④，即，

而时，，即，

，

，

故④正确；

故选：．

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11．（3分）函数中，自变量的取值范围是　且　．

【解答】解：根据题意得，且，

解得且．

故答案为：且．

12．（3分）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为　6　．

【解答】解：由扇形的圆心角为，它所对的弧长为，

即，，

根据弧长公式，

得，

即．

故答案为：6．

13．（3分）若关于的方程的一个根为2，则代数式的值为　　．

【解答】解：把代入方程得，

所以．

故答案为．

14．（3分）如图，、分别与相切于点、，直线与相切于点，分别交、于、，且，则的周长为　　．

【解答】解：、分别与相切于点、，

，

直线与相切于点，

，，

的周长．

故答案为．

15．（3分）已知的直径，是的弦，，垂足为点，且，则的长为　9或1　．

【解答】解：分两种情况：

①当点在上时，连接，如图所示：

的直径，弦于，

，，

，

；

②当点在上时，

同①得：，

；

综上所述，的长为9或1，

故答案为：9或1．

16．（3分）在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为，水面宽，与轴交于点，，当水面上升时，水面宽为 　　．

【解答】解：，，

点坐标为，

将代入得：

，

，

．

当水面上升时，即纵坐标时，有：

，

，

，．

水面宽为：．

故答案为：．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点逆时针旋转后，得到正方形；；按此规律，绕点旋转得到正方形，则点的坐标为　　．

【解答】解：四边形是正方形，且，

，

连接，，，，，

由勾股定理得：，

由旋转得：，

将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，

相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，

，，，，，，

发现是8次一循环，所以余4，

点的坐标为，

故答案为．

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18．（6分）计算：．

【解答】解：

．

19．（10分）（1）请你用公式法解方程：；

（2）请你用因式分解法解方程：．

【解答】解：（1），

，，，

△，

，

，

（2），

，

或，

或．

20．（8分）已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球．

（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率．

（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？

【解答】解：（1）袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球，共有18个球，

任意摸出一球，摸到红球的概率是；

（2）设需要在这个口袋中再放入个红球，根据题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：需要在这个口袋中再放入27个红球．

21．（9分）如图，在中，，点在边上，点在边上，以为半径的经过点，交于点，连接，且平分．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）连接，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

与相切；

（2），，

，，

又，

，

阴影部分的面积

．

22．（10分）某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．

（1）请你直接写出日销售利润（元与售价（元千克）之间的函数关系式．

（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？

（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．

【解答】解：（1）由题意得：

，

日销售利润（元与售价（元千克）之间的函数关系式为．

（2）当时，，

解得，．

售价应定为60元或80元．

（3）

，

，抛物线开口向下，

当时，，

当售价定为70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．

23．（12分）综合与实践

在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．

动手操作：

第一步：在图1中，测得三角形纸片中，，．

第二步：将图1中的纸片折叠，使点落在边上的点处，然后展平，得到折痕，连接、，如图2．

解决问题：

请根据图2完成下列问题：

（1）　　（请正确选择“”、“ ”、“ ”中的一个）；

（2）试判断的形状，并给予证明．

拓展探究：

（3）将图2中的纸片剪下来，在内选一点，连接、，，，如图3．

①将绕点顺时针旋转得到，连接，请你直接写出线段的长；

②将①中的绕点顺时针旋转的过程中，请你直接写出线段长的取值范围．

【解答】解：（1）将纸片折叠，

，

故答案为：；

（2）是等边三角形，

理由如下：将纸片折叠，

，

又，

是等边三角形；

（3）如图3，连接，延长交与，

，，

，

将绕点顺时针旋转得到，

，，，

是等边三角形，

，

又，

是的垂直平分线，

，，

，

，

，

，

；

②将①中的绕点顺时针旋转，

点在以为圆心，为半径的圆上，

当点在线段上时，有最小值为，

当点在线段的延长线上时，有最大值为．

．

24．（14分）综合与探究

如图，已知点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；

（3）已知点在第四象限的抛物线上，过点作轴交线段于点，连接，若点，请直接写出的面积．

（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为；

（2）点是点关于函数对称轴的对称点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点．

理由：的周长为最小，

由点、的坐标得：直线的表达式为，

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，

当时，，

故点；

（3）由点、的坐标知，轴，而轴，则，

当时，，

故点，则，

由的坐标知，，

则的面积；

（4）设点的坐标为，

①当是平行四边形的边时，

点向右平移4个单位得到点，则点向右平移4个单位得到点（E），

则，，

或，

故点的坐标为或；

②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，解得，

故点的坐标为；

综上，点的坐标为或或．

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日期：2021/12/6 18:31:01；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123