数学9.5 多项式的因式分解学案设计

 第四讲：提公因式法

一、主要内容     

1、因式分解                2、公因式               3、提公因式法    

二、基本概念

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解法的结果一定是多个因式相乘。

分组分解法步骤

类型一   分组后能直接提取公因式

1.分组后能直接提取公因式

2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。

类型二  分组后能直接运用上面的公式

总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。

因式分解常用公式：平方差公式和完全平方公式

要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

1、观察下列从左到右的变形：

⑴；     ⑵

⑶；  ⑷

其中是因式分解的有         （填序号）

平方差：

1．将整式9－x2分解因式的结果是(　　)

A．(3－x)2  B．(3＋x)(3－x)

C．(9－x)2  D．(9＋x)(9－x)

2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(　　)

A．x2＋4y2  B．x2－2y2＋1   C．－x2＋4y2  D．－x2－4y2

3．将(x－1)2－9分解因式的结果是(　　)

A．(x＋8)(x＋1)  B．(x＋2)(x－4)

C．(x－2)(x＋4)  D．(x－10)(x＋8)

4．将(a＋b)2－4(a－b)2分解因式的结果为(　　)

A．(a＋b－2a－2b)(a＋b＋2a－b)

B．(5a－3b)(5b－3a)

C．(3a－b)(3b－a)

D．(3a－b)(2b－a)

5．已知54－1能被20～30之间的两个整数整除，这两个整数是( 　　)

A．22和24  B．24和26   C．26和28  D．25和27

完全平方：

1．把多项式x2－4x＋4分解因式，所得结果是     (　　)

A．x(x－4)＋4  B．(x－2)(x＋2)  C．(x－2)2    D．(x＋2)2

2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是(　　)

A．x2＋x＋1    B．x2＋2x－1     C．x2－1      D．x2－6x＋9

3．如果多项式x2－kx＋16可以因式分解为(x－4)2，那么k的值是(　　)

A．4           B．－4           C．8          D．－8

4．将9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2分解因式的结果是(　　)

A．(5a－b)2     B．(5a＋b)2     C．(3a－2b)(3a＋2b)    D．(5a－2b)2

5．已知x，y为有理数，设M＝x2＋y2，N＝2xy，则M与N之间的大小关系为(　　)

A．M≤N  B．M≥N    C．M＜N  D．M＞N

2、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

1、(1)多项式的公因式是________；

(2)多项式的公因式是________；

(3)多项式的公因式是________；

(4)多项式的公因式是________．  

举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）

A．    B．     C．     D．

2、若，则E是（　　）

A．      B．       C．       D．

举一反三：【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（　　）

A．        B．        C．2        D．

3、提公因式法

如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即 .

（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

1、若，求的值.

2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是(　　)

A．x2－y      B．x2＋2x       C．x2＋y2     D．x2－xy＋y2

3．下列用提公因式法分解因式正确的是(　　)

A．12abc－9a2b2c2＝3abc(4－3ab)     B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y)

C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)      D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x)

4．将多项式－6a3b2－3a2b2＋12a2b3分解因式时，应提取的公因式是(　　)

A．－3a2b2     B．－3ab    C．－3a2b    D．－3a3b3            

5．用提公因式法将下列各式分解因式：

(1)ax－ay；　　　(2)－x3z＋x4y；

三、课堂讲解                            

一、选择题

1．把x3－16x分解因式，结果正确的是(　　)

A．x(x2－16)       B．x(x－4)2     C．x(x＋4)2     D．x(x＋4)(x－4)

2．把a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果为           (　　)

A．a2b(a2－6a＋9)  B．a2b(a－3)(a＋3)    C．b(a2－3)2      D．a2b(a－3)2

3．一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是(　　)

A．x2－y2＝(x－y)(x＋y)    B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2

C．x2y－xy2＝xy(x－y)      D．x3－x＝x(x2－1)

4．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能(　　)

A．被8整除  B．被m整除    C．被(m－1)整除  D．被(2m－1)整除

二．填空题

5．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2=　　．

6．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　　．

7．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=　　．

8．分解因式：4x2﹣4xy+y2=　　．

9．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=　　．

10．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　　．

11．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是　　．

三、解答题

12．把下列各式分解因式：

(1)＋mn＋n2；               (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋25；

【达标检测】

一.选择题

1. 下列各式变形中，是因式分解的是（    ）

A.       B.

C.             D.

2.多项式6abc﹣3a2bc+12ab的公因式是（　　）

A.abc          B.3ab     C.3abc          D.3ab

3. 多项式分解因式的结果是（    ）

   A.          B.   

C.         D.

4. 分解因式的结果是（    ）

   A.                    B.    

   C.                  D.

5. 把﹣6xy﹣3xy﹣8xy因式分解时，应提取公因式（　　）

　A.﹣3xy B.-2xy C.xy D.﹣xy

6. 计算的结果是（      ）

   A.         B.－1         C.       D.－2

二.填空题

7. 把下列各式因式分解：

（1）__________.

（2）_________________.

8. 在空白处填出适当的式子：

（1）；（2）

9. 因式分解：______________.

10. 因式分解：____________.

11.分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=_____________________.

12. 因式分解＝_____________________.

三.解答题

13. 应用简便方法计算：

   （1）；                    （2）

14.已知：，求的值.

15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；

（1）1＋＋（1＋）；

（2）1＋＋（1＋）＋；

（3）1＋＋（1＋）＋＋

问题：

．先探索上述分解因式的规律，然后写出：

1＋＋（1＋）＋＋＋…＋分解因式的结果是_______________.

．请按上述方法分解因式：

1＋＋（1＋）＋＋＋…＋（为正整数）．